二次函数讲义二次函数的概念

1、二次函数的概念一、复习提问1什么叫函数？它有几种表示方法？2什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k0的条件？ k值对函数性质有什么影响？(复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解强调k0的条件，以备与二次函数中的a进行比较)二、由实际问题引入新课函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系(出示小黑板)例1 正方形的边长是x(cm)，面积y(cm2)与边长x之间的函数关系如何表示？例2 农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的

2、产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？由以上两例，启发学生归纳出(1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)三、讲解新课二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数巩固对二次函数概念的理解：1强调“形如”，即由形来定义函数名称二次函数即y是关于x的二次多项式2在y=ax2bxc中自变量是x，它的取值范围是一切实数但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值如例1中，x03在y=50x2100x50中， a=50， b=100， c=504为什么二次函数定义中要求a0

3、？(若a=0，ax2bx+c就不是关于x的二次多项式了)5b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零若b=0，则y=ax2c；若c=0，则y=ax2bx；若b=c=0，则y=ax2以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式四、巩固新课例1 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c(1)y=1-3x2；(2)y=x(x-5)；(5)y=3x(2-x)3x2；(6)y(x2)(2-x)；(8)y=x42x21例2 设圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积v(cm3)与底面周长c(cm)之间的函数关系式例3 篱笆墙长30m，靠

4、墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围例4 已知二次函数y=ax2bxc，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1求a、b、c，并写出函数解析式 五、布置作业1在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围2已知二次函数y=4x25x1，求当y=0时的x的值3已知二次函数y=x2-kx-15，当x=5时，y=0，求k4已知二次函数y=ax2bxc中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，

5、试求a、b、c的值二次函数y=ax2的图象(一)复习提问2在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？2什么是一元二次方程？3怎样用描点法画函数的图象？新课2由具体问题引出二次函数的定义(2)已知圆的面积是scm2，圆的半径是rcm，写出这个圆的面积s与半径r之间的函数关系式(2)已知一个矩形的周长是60m，一边长是lm，写出这个矩形的面积s(m2)与这个矩形的一边长l之间的函数关系式(3)农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？我们说三个式子都表示的是二次函数一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的

6、二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a02画二次函数y=x2的图象按照描点法分三步画图：(2)列表 x可取任意实数，以0为中心选取x值，以2为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；(2)描点按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；(3)连线用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象注意两点：(2)由于我们只描出了7个点，但自变量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分而图象在x3或x-3的区间是无限延伸的(2)所画的图象是近似的3在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象 在原

7、点附近，y=x2的图象形状到底如何？ 为了说明函数y=x2图象的形状，我们把原点附近的部分再画细一些在-2与2之间，每隔0.2取一个x的值，列出下表：描点、连线，就得到原点附近部分比较精确的图象：4引入抛物线的概念关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x2看，当x=0时，y=x2取得最小值0，故抛物线y=x2的顶点是(0，0)小结2二次函数的定义(2)函数解析式关于自变量是整式；(2)函数自变量的最高次数是22二次函数y=x2的图象(2)其图象叫抛物线；(2)抛物线y=x2的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点补充例题下列函数中，哪些是二次函

8、数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？(2)y=2-3x2；(2)y=x(x-4)；(5)y=7x(2-x)+4x2；(6)y=(x-6)(6+x)作业：p122中a组2，2，3四、教学注意问题2注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点2注意培养学生观察分析问题的能力比如，结合所画二次函数y=x2的图象，要求学生思考：(2)y=x2的图象有什么特点(答：具有对称性)(2)如何判断y=x2的图象有上面所说的特点？(答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x2看出来)二次函数y=ax2的图象(二)复习提问1在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是二次

9、函数？(1)y=12x+7；(3)y=(x-2)2-x2；(4)y=4(x+3)2+2x2抛物线y=x2的对称轴是什么？顶点是什么？3在y=ax2+bx+c(a0)中，若b=0，或c=0，或b，c同时为0，解析式是什么？4请同学们回忆，前面我们在学习了正比例函数、一次函数后，是如何进一步研究这些函数的？(答：先用描点法画出函数图象，再结合图象研究性质)新课观察所列的表，对于y=2x2中所得对应值(-4，32)很大，故还可以把y=2x2另取点列表来处理观察由描点所画出的图象，我们可得到结论：在y=ax2(a0)中，x2的系数越大，抛物线开口越小结合图象，师生一道归纳得到结论(1)它们的开口方向都

10、向上；(2)它们的对称轴是y轴；(3)它们的顶点是原点2运用对比的方法讲解例2画出函数y=-x2的图象仍把y=-x2与y=x2的图象对比引导同学得到结论：(1)从函数的解析式上看：两个函数式仅相差一个符号(2)从列表中的y值看：y=x2的表中，y0，y=-x2的表中y0(3)从图象上看：在同一坐标系中抛物线y=-x2与y=x2关于x轴对称(联想：在(4)抛物线y=-x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点小结1抛物线y=ax2(a0)的对称轴是y轴，顶点是原点2a0时，抛物线y=ax2的开口向上3a0时，抛物线y=ax2的开口向下练习：选用课本练习作业：选用课本习题补充例题1在同一平面直角坐标

11、系内画出下列函数的图象：y=6x2，y=-6x22已知点m(k，2)在抛物线y=x2上，(1)求k的值(2)点n(k，4)在抛物线y=x2上吗？(3)点h(-k，2)在抛物线y=x2上吗？3已知点a(3，a)在抛物线y=x2上，(1)求a的值(2)点b(3，-a)在抛物线y=x2上吗？四、教学注意问题1注意渗透分类讨论思想比如在y=ax2中a0时，y=ax2的图象开口向上；当a0时，y=ax2的图象开口向下，等等2注意训练学生对比联想的思维方法二次函数y=ax2+bx+c的图象(一)复习提问1用描点法画出函数y=x2的图象，并根据图象回答下列问题：(1)抛物线y=x2的开口方向、对称轴与顶点坐

12、标；(2)当x=-2时，y的值；(3)当y=9时，x的值(2)当x=-3时，y的值(精确到0.1)；(3)当y=-9时，x的值(精确到0.1)新课1用和抛物线y=x2对比的方法讲解例1画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象(1)列表：(2)在同一平面直角坐标系中画出图象；(3)引导同学结合图象分析研究以下问题：1抛物线y=x2+1，y=x2-1与y=x2的相同点与不同点是什么？(答：形状相同；位置不同)2抛物线y=x2+1的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_；(答：向上；y轴；(0，1)3抛物线y=x2-1的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_(答：向上；y轴；(0，-1)(1)列表：

13、(2)在同一平面直角坐标系中画出图象；(3)引导同学结合图象分析研究以下问题：什么？(答：形状相同；位置不同)(答：向下；x=-1；(-1，0)_(答：向下；x=1；(1，0)小结用填空或列表的方法总结抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x+h)2的开口方向、对称轴、顶点坐标1当a0时，抛物线y=ax2的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_；y=ax2+k的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_；y=a(x-h)2的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_；y=a(x+h)2的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_2当a0时，抛物线y=ax2的开口方向是_，对称轴是_

14、，顶点坐标是_；y=ax2+k的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_；y=a(x-h)2的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_；y=a(x+h)2的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_练习：选用课本练习作业：选用课本习题四、教学注意问题1用“抽象具体抽象”的思考方法突破教学难点位置沿x轴方向平移，学生不易理解，此时可结合函数对应值表，用具体的数字说明2用联想的方法突破教学难点3充分运用对比分析法4注意培养学生观察图象分析问题的能力5注意渗透分类讨论思想，培养学生数学思维的周密性二次函数y=ax2+bx+c的图象(二)复习提问1说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：(1)y=8x2-

15、2；(2)y=7(x-5)2；(3)y=-0.2x2+3.1；2求下列抛物线与y轴交点的坐标：新课在同一直角坐标系内，画出函数的图象1列表 注意两点：1运用函数的对称性，以顶点横坐标为中心选值；2尽量选取整数，以便于计算2描点先确定顶点，再利用对称性，描出各点3连线把抛物线画得平滑、对称在画出三条抛物线后，用对比法进行分析、对比、归纳：(1)这两条抛物线的形状有什么关系？位置有什么关系？(2)这两条抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标各是什么？最后结合表格，从而得到一般性结论，二次函数的基本型是y=a(x-h)2+k小结一般的二次函数，都可以变形为y=a(x-h)2+k的形式，具有特点：(1)a

16、0时，开口向上；a0时，开口向下(2)对称轴是直线x=h(3)顶点坐标是(h，k)练习：选用课本练习作业：选用课本习题四、教学注意问题1充分运用对比法观察、分析、研究二次函数的图象及其有关性质2渗透分类讨论的思想，区分邻近概念，培养学生思维的周密性比如，抛物线y=a(x-h)2+k，当a0时，开口向上；a0时，开口向下只有这样对字母a分两类情况讨论，才能全面刻划抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向等等3注意渗透归纳的思想方法，提高学生概括知识的能力比如，由例3的三个具体抛物线归纳得出抛物线的一般基本型：y=a(x-h)2+k，等等4注意精微，较深刻地认识函数解析式的结构特征比如，抛物线的基本

17、型：y=a(x-h)2+k中，前面是“-”号，后面是“+”号二次函数y=ax2+bx+c的图象(三)复习提问1填空题：(1)x2+4x+_=(x+_)2；(3)x2+6x+12=(x+3)2+_；2说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标：(2)y=11(x+9)2+16；(4)y=-0.6(x+2.3)2-3.23请说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴与顶点坐标新课1运用“由特殊到一般”的思考方法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象1用配方法把函数写成y=a(x-h)2+k的形式；2所画图象开口向上，对称轴x=6，顶点坐标是(6，3)；3利用函数对称性列表以对称轴x=6为中

18、心选值即可；4描点画图先找顶点；画出对称轴；对称描点；用平滑曲线顺次连结各点(2)画函数y=ax2+bx+c的图象当给出a，b，c的具体数值后，则其画图的方法步骤和(1)中的相同2讲解；通过配方求抛物线y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标例已知一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个函数的解析式小结1用配方法可把y=ax2+bx+c变形成的形式故有2已知二次函数图象上三个点的坐标，用待定系数法可求出这个二次函数的解析式练习：选用课本练习作业：选用课本习题四、教学注意问题1要熟练掌握配方法，待定系数法，这两种方法都是初等数学的基本方法2注意渗透方程思想比如，例5

19、从本质上来说，就是解方程组问题同时还要懂得“点在抛物线上，则点的坐标一定适合方程”还要注意，一般地有几个待定系数，就需要已知图象上几个点的坐标二次函数习题课一、二次函数解析式1前面我们只学习了二次函数解析式的两种形式，即一般式y=ax2bxc(a0)，和顶点式y=a(xh)2k(a0)但在实际应用中，还有一种形式也有重要的作用这种称为双根式，即y=a(x-x1)(x-x2)(a0)其中x1和x2分别为抛物线与x轴的两个交点的横坐标当然只有抛物线与x轴有两个交点时，才能使用这种形式因此小结我们学过的三种解析式的形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a0)(3)双根式：y=a(x-x1)(x-

20、x2)(a0)，x1，x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标二、求二次函数解析式上面我们学习了二次函数的三种解析式这三种不同形式的解析式对于处理不同的问题，有不同的作用要求一个二次函数的解析式，就是要根据条件确定式子中的未知系数a、b、c或a、h、k及x1、x2的值例1 求经过a(0，-1)、b(-1，2)，c(1，-2)三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式例2 已知二次函数为x4时有最小值-3且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式例3 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x轴相切(1)求二次函数的解析式；(2)当x在什么范围时，y随x的增大而增大；(3)当x在什么

21、范围时，y随x的增大而减小分析：因为抛物线与x轴相切即与x轴只有一个交点，所以判别式b2-4ac=0又由于抛物线过(-1，1)和(2，1)点，所以可设解析式的形式为y=ax2bxc，三、小结：(挂小黑板)1二次函数的解析式有三种表达形式：一般式：y=ax2bxc(a0)双根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)，x1、x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标2求解析式的方法是待定系数法3根据已知条件列出关于a、b、c或h、k及x1、x2的方程(注意有几个未知数就列出几个方程)4解方程组求出待定的系数5写出解析式，要化为一般式四、布置作业1二次函数图象顶点坐标是(-1，-3)，且过(1，-1

22、5)点求二次函数解析式2已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1=1，x2=2，且x=3时y=4(1)选择最简便的方法求解析式，并画出图象(2)指出图象的对称轴、顶点坐标以及开口方向(3)从图象上观察x在什么范围时，y随x的增大而增大；x在什么范围时，y随x的增大而减小二次函数的综合练习课(一)复习1二次函数yax2bxc图象的顶点坐标是_2函数y2x2-12x1的最小值是多少？这时的x值是多少？(y2(x-3)2-17-17所以x3时， y有最小值-17)(二)新课上几节课，我们已学习了二次函数的性质和五个主要问题，那就是：1yax2bxc图象的顶点坐标公式2yax2bxc图象的画法3用待定

23、系数法求二次函数的解析式4图象法解ax2bxc0的几何意义5有关二次函数的最大值、最小值问题本节课是要解决这些主要问题综合在一起的题目，要求同学们善于把二次函数的知识灵活运用(1)把它配方成ya(xh)2k形式；(2)写出它的开口方向、顶点m的坐标、对称轴方程和最值；(3)求出图象与y轴、x轴的交点坐标；(4)作出函数图象；(5)x取什么值时y0，y0；(6)设图象交x轴于a，b两点，求amb面积例2. k取什么值时，对于任意实数x，二次不等式(4-k)x2-3xk40都成立例3. 已知图22是二次函数yax2bxc的图象，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2

24、-4ac；(5)2ab；(6)abc；(7)a-bc例4 利用二次函数yax2bxc的图象回答以下各问：(1)二次方程ax2bxc0的根的几何意义是什么？(2)在什么样的几何条件下，二次方程ax2bxc0有两个不相等的实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？(3)在什么样的几何条件下，二次方程ax2bxc0有两个相等的实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？(4)在什么样的几何条件下，二次方程ax2bxc0没有实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？例5 .方程2x2-4mx(5m2-9m-12)0的两个实数根为x1，x2问：当m取什例6 已知抛物线yx2-2(k2)x2(k-1