分析力学第三章

1、质点组在惯性系K和质心系K之间 a N a a c a N a ac N a a m Mdt d m M mM v R V rR 1 1 1 1 1 质心的运动速度： 质点组的质心： 整体质量： 2 2 1 MVEE 内能 整体运动能量 PRLL c VVPPMM0 内禀角动量 整体角动量 第三章第三章 有心力场中的运动有心力场中的运动 二体问题（二体问题（两体问题）：N2的质点组的运动问题，例 宇观：行星绕太阳的运动 微观：电子绕原子核的运动 多体问题： 比较复杂，难以直接求解运动学方程。 3N 指导思想：指导思想： 将将二体运动二体运动分解为分解为内部运动（相对运动）内部运动（相对运动）和

2、和整体运动整体运动 1）怎样实现？）怎样实现？ 2）主要结论？）主要结论？ 1.3.1 二体问题 折合质量 21, m m 21, r r两个质点 ，矢径 22 1 12 2 11 ( )() 22 LmmU rrrrr 22 2 1 )( 2 1 Rr MrUmL 折合质量折合质量 21 1 2 21 2 1 rRr rRr mm m mm m 21 21 21 , mm mm mmmM 21 21 2211 rrr rr R mm mm 暂不考虑外场暂不考虑外场 由于势能只依赖于由于势能只依赖于r，故作如下变量代换，故作如下变量代换 整体质量整体质量 21 rrr 22 2 1 )( 2

3、1 Rr MrUmL 整体运动： 相对运动： )( 2 1 2 rUmL r 2 2 1 R ML L中没有r和R的交叉项，所以二体问题可分解为： 21 1 2 21 2 1 rRr rRr mm m mm m 每个质点运动都是每个质点运动都是 这两种运动的叠加这两种运动的叠加 有心力场中的运动 选择运动平面为为xz平面，则：0 1.3.2 有心力场中运动的一般分析 Lr 是常矢量prL 平面运动。 例：太阳系八大行星的运动近似在一个平面上。 )()( 2 1 )()sin( 2 1 222 222222 rUrrm rUrrrmL )( 2 1 2 rUmL r 有心力场角动量守恒有心力场角

4、动量守恒 1 1、与循环变量 对应的广义动量 1 222 2 2 2 () ( ) 22 ( ) 22 s LLL EqLrL qr mm rrU r pm rU r mr 2 L pmr 常量 2、L不显含t 能量守恒 )()( 2 1 222 rUrrmL 一、有心力场的两个守恒量 质点的矢径在单位时间内扫过的面积是常数， 在相等的时间内扫过的面积相等。 2 2 1 rA m p r dt dA 22 1 2 2 pmr 常量 1 1、 t 矢径r在时间 内扫过的面积 两边除以 ，再取极限 ，得到0tt )(tr )(ttr A A O 等面积定律 惯性离心力 2 2 2 )()( mr

5、p rUrU eff 3 2 )()( mr p rFrFeff 等效势能等效力 离心势 守恒 2 2 2 2 )( 2mr p rUr m E 2、 只包含一个变量只包含一个变量r, 是标量。形式上等效一维运动。是标量。形式上等效一维运动。 UF 等效一维运动是在以 转动的坐标系中得到，此系是非惯性系。 二、运动区域 2 2 2 )()( mr p rUrUeff 情形1： 可否出现？那么如果0 , 0)(rrU eff U r O 0 2 )()( , 0)( 2 2 mr p rUrUrU r eff 所以 ，相互作用可以忽略时，两质点相距无限远 0 2 )( 2 2 2 2 mr p

6、rUr m E )., 0 rr答： 情形2：0 2 )()()(,0 2 2 mr p rUrUrUr eff ，但时当 守恒 2 2 2 2 )( 2mr p rUr m E eff U r O E0 E0 E0 E0 rmr p mr p rUrUeff 2 2 2 2 22 )()( 束缚运动 无限运动 运动区域取决于 , 0 , 0 E E UE eff 二、运动轨道 22 /(1/ )Fruur 22 2 p m u d ud 2 22 2 () d u p uumF d 比耐公式比耐公式 谐振动方程 2 /um p令 0 2 2 d d 则 )cos( 0 A 0 ( ,:A积分

7、常数)其解为： )cos()(1)cos( 111 0 2 2 2 0 2 mAp mp pmApmu r即 cos1 :, 0 0 e p r 得到运动轨道令 ampp amApe / / , 2 2 焦点参数 离心率其中 E0: e0: e1 双曲线轨道 (无限运动) 22 )()(2 r p UEmrdrpd ./dtdr ./dtd 由能量守恒 由角动量守恒 2 )(2(1 pmEe 运动轨道: 能量与偏心率的关系: )(rr cos1e p 三、行星的运动 开普勒问题：从轨道获得力学关系 开普勒的天文观测，总结为行星运动三定律 第一定律：第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，并以太阳为椭圆

8、 的一个焦点； 第二定律：第二定律：从太阳引向行星的矢径在相等时间内扫过 相等的面积； 第三定律：第三定律：行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方 成正比。 2 2 1 rA m p r dt dA 22 1 2 2 pmr 常量 t 矢径r在时间 内扫过的面积 )(tr )(ttr A A O 开普勒第二定律 空间具有各向同性是循环变量， U(r)UL 有心力场 , 0 (1) 1cos p re e 开普勒第一定律 行星受到太阳的平方反比力 mp p 2 太阳和行星之间相互作用力的具体形式是什么？ 求更普适的 22 2 2 2 ) cos1 cos() cos1 ( rr mpp p e p

9、 e p e m p F 2 22 2 () d u p uumF d 代入比耐公式 开普勒第三定律 m p dt dA 2 (2 )abpm T 222 2 3 24 () Tmbm apa abp mp p 2 2 ，椭圆焦点最后一步用到 )( 4 2 3 2 3 2 Mfa T M m a T 故设 有关可能与太阳质量 无关与太阳系内行星质量 )(Mmf 相互作用的对称性 MmG 22 r mM G r F )( 4 4 22 Mf m 万有引力定律 1.3.4 碰撞与散射 卢瑟福公式 碰撞: 两个粒子从相互远离的地方飞拢，然后再飞开。 例：两个台球、两个天体、两个粒子（如电子）都可发生

10、碰撞。 如果说一次碰撞就是一个事件，如果说一次碰撞就是一个事件， 那么散射对应的是一个事件集合。那么散射对应的是一个事件集合。 散射：一束射弹粒子以不同瞄准距离与靶发生碰撞。 弹性碰撞： 初态二粒子，末态还是这两个粒子。 非弹性碰撞：至少有一个入射粒子被打破了。 例：高能碰撞质子质子碰撞、核核碰撞 固定靶实验中，两个碰撞粒子分别被称为 射弹 和 靶。 对撞机实验中，射弹和靶是相对的。 实验室系：射弹粒子: 靶粒子: 0. 1 m 2 m 111 vpm 1 p 2 p b:瞄准距离 1 m 2 m 1 p 1 p 2 p 散射角: 碰撞：求解粒子运动 轨迹和末态动量 本节我们主要讨论 固定靶实

11、验、弹性碰撞。 散射：散射角的概率分布 （末态动量角度分布） 微分散射截面 微分散射截面 dddsin ),( 方位角 x z y 靶 射弹流 】出射的粒子数【：单位时间从方位角 】的射弹数【单位时间单位面积入射入射流强 1 21 : td d dN LtJ 总散射截面 】【 2 Ld d d 】角出射的几率【：单位面积入射从方位 2 1 L d dN Jd d 2-2863 m10b10mb101b 常用截面单位： 微分散射截面 d dN Jd d1 如果散射问题具有绕Z轴的轴对称性 则微分截面只依赖于 而不依赖于 从瞄准距离b 和散射角 的关系 则从方位角 出射的粒子数 dd sin2 )

12、(bb bdbJdN2 d bdb d bdbJ Jd dN Jd d sin 1 sin2 211 则 b db 三、 粒子的散射 卢瑟福公式 1909年盖革、马斯登运用 粒子束透过金膜的散射实验 散射实验是研究物质的微观结构的有力工具 )2/(sin 1 4 d d 测得 卢瑟福假定原子是有核的，解释了实验结果。 原子结果模型：卢瑟福的有核模型 取代了 汤姆孙的枣糕模型。 历史： 为什么有核模型可以解释实验，为什么枣糕模型解释不了？为什么有核模型可以解释实验，为什么枣糕模型解释不了？ rF 2 2 2 r Ze 有核模型解释实验有核模型解释实验 射弹粒子：射弹粒子： 粒子2p+2n， 电荷

13、：+2e， 质量: m=4u 靶粒子：金核Zp+(A-Z)n，电荷：+Ze, 质量：M197u 评论：这里忽略了电子的电荷！ 二题问题、平反反比斥力：二题问题、平反反比斥力： 2 2 2 Ze r rF 运用前面的知识 角动量守恒 2 2 1 mvE bmvp 能量守恒 m v 散射角: b M r 1 2 ctg 2 a b 角是双曲线两渐近线的夹 2 ctg 2 )( 22 ctg 2 2 2 2 mv Ze bb Ze bmv 即 )cos(1 0 p r 2 2 22 2 1() 22 ppE p Ze mmZe 粒子的运动轨道： MmM假定, 2 sin 2 ctg 2 22 2 2 2 mv Ze d db mv Ze b d bdb d d sin 1 )2(sin 1 ) 4 ( )2(sin 1 )( 4 2 4 2 2 2 Emv Ze 2 2Ze 卢瑟福公式 ?sin2 )2(sin 1 ) 4 ( )2(sin 1 ) 4 ( 4 2 4 2 d E d E 一点数学问题： 1、哪个方向出射了最多的 粒子？ 2、总截面 评论：这里忽略了电子的电荷，实验现象却得到了解释。 这说明了什么？ 射弹粒子：射弹粒子： 粒子2p+2n，电荷：+2e， 质量: m=4u 靶粒子：金核Zp+(A-Z)n，电荷：+Ze,