二项式定理(一)2013年3月15日星期五 2课时

1、单三步单三步 2013年3月15日 星期五 2课时 单三步单三步 1、掌握二项式定理的概念、通项、掌握二项式定理的概念、通项、 展开式。展开式。 2、掌握并会应用二项式定理。、掌握并会应用二项式定理。 单三步单三步 艾萨克艾萨克牛顿牛顿 Isaac newton (16431727) 英国科学家英国科学家. 他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一. 他不仅是一位他不仅是一位 物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家. 情景导入 22 2aab b 2 ()a b 3 ()a b 3223 33aa babb 4 ()a

2、b () n a b ? 432234 464aa ba babb 1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的年冬，牛顿研读沃利斯博士的无穷算术无穷算术 ()()ab ab ()()()ab ab ab ()()()()ab ab ab ab 体验感知 含含a2 2、ab、b2 2这三种形式的项是如何得到的这三种形式的项是如何得到的? ? 各项的系数是如何确定的？各项的系数是如何确定的？ 请你观察请你观察( (a+ +b) )2 ( (a+ +b) )3 的展开式并思考：的展开式并思考： ()()()a b a b a b 3 ()a b 3223 33aa babb ()()ab ab 22 2aa

3、b b a2ab ba b2 2 ()a b 这四种形式的项是如何得到的这四种形式的项是如何得到的? ? 单三步单三步 (a+b)2 (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b 恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C21种，则种，则ab前的系数为前的系数为C21 恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C22 种，则种，则b2前的系数为前的系数为C22 每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C20 ,则则a2前的系数为前的系数为C20 (a+b)2

4、 = a2 +2ab+b2 C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3 2 )ba（ 22 2baba 3 )(ba 3223 33aa babb 单三步单三步 单三步单三步 (a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？ 问题：问题： 1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？展开后各项形式分别是什么？ 2)各项前的系数代表着什么？各项前的系数代表着什么？ 3)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 各项前的系数代表着这些项在展开式各项前的系数代表着这些项

5、在展开式 中出现的次数中出现的次数 单三步单三步 单三步单三步 a4 a3b a2b2 ab3 b4 都都 不不 取取 b 取取 一一 个个 b 取取 两两 个个 b 取取 三三 个个 b 取取 四四 个个 b 项项 系数系数C4 0 C4 1 C4 2 C4 3 C4 4 (a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4 单三步单三步 你能轻松说出你的探究结果吗？你能轻松说出你的探究结果吗？ 单三步单三步 011222 () nnnn nnn rnrrnn nn abC aC abC a

6、b C abC b 单三步单三步 单三步单三步 二项展开式定理二项展开式定理: 一般地，对于一般地，对于n Nn N* *，有：，有： 011222 () nnnn nnn rnrrnn nn abC aC abC ab C abC b 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式 右边的多项式叫做右边的多项式叫做 (a+b) n的的 ， 其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ， 叫做二项展开式的叫做二项展开式的 用用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有项，展开式共有 _个项个项. r n C 展开式展开式 二项式系

7、数二项式系数 rrnr n baC r+1 n+1 1 (0,1,2,) rnrr rn TCnabr 通项通项 单三步单三步 2.二项式系数规律：二项式系数规律： n nnnn CCCC、 210 3.指数规律：指数规律： （1）各项的次数）各项的次数和均为和均为n； （2）二项和的）二项和的第一项第一项a的次数的次数由由n逐次降到逐次降到0， 第二项第二项b的次数的次数由由0逐次逐次升到升到n. 1.项数规律：项数规律： 展开式共有展开式共有n+1个项个项 )( Nn 011 ()n nnrn rrn n nnnn a bC aC a bC a bC b 二项展开式定理二项展开式定理 单三

8、步单三步 特别地特别地: 2、令、令a=1，b=x 1、把、把b用用- -b代替代替 (a-b)n= Cnan-Cnan-1b+ +(-1)rCnan-rbr + +(-1)nCnbn 0 1 r n n ) 11 ( n 2 nn n rr nnn n xCxCxCxCx 221 11）（ 01 CCC n nnn 3、 )( Nn 011 ()n nnrn rrn n nnnn a bC aC a bC a bC b 二项展开式定理二项展开式定理 单三步单三步 单三步单三步 4 1 1)1 x ：展展开开（ 例例 注：注：1）注意对二项式定理的灵活应用）注意对二项式定理的灵活应用 2）注意

9、区别）注意区别二项式系数二项式系数与与项的系数项的系数的概念的概念 二项式系数二项式系数为为 ； 项的系数项的系数为：为：二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积 r n C 解解: 412233 444 1111 1)1()()()CCC xxxx （ 44 4234 14641 ()1.C xxxxx 单三步单三步 单三步单三步 6 1 () 6 223x x ：展开，并求第 项的 二项式系数和第 例 项的系数. 解解: 66 3 1 (2)1)xx xx 1 =(2 6152433 666 3 )(2 )(2 )(2 )xCxCxCx x 1 =(2 4256 666 (2 )(

10、2 )CxCxC 32 23 60121 64192240160 xxx xxx = 第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为 2 6 15C 第六项的系数为第六项的系数为 55 6 2( 1)12C 单三步单三步 你还有其它解法吗？你还有其它解法吗？ 单三步单三步 7 )3x: :( (1 1) )求求（1 1+ +2 2的的展展开开式式的的第第例例4 4项项的的系系数数 93 1 )xx x ( (2 2) )求求（的的展展开开式式中中 的的系系数数和和中中间间项项 解解: 37 333 3 17 (1)1(2 )280TCxx 第四项系数为第四项系数为280 99 2 199 1 (2)

11、()( 1) rrrrrr r TC xC x x 33 9 923,84rxC 3 由得r=3.故 的系数为(-1) 49 44 4 19 59 55 5 19 1 5,6,()70 170 () TC xx x TC x xx 中间一项是第项 单三步单三步 单三步单三步 1写出(pq)7的展开式 解： 7 07162523434345256677 77777777 ()p q C pC p q C p qC p qC p qC p qC pqC q 765243342567 7213535217pp qp qp qp qp qpqq 练 习 2求(2a3b)6的展开式的第3项 24242

12、2 16 (2 ) (3 )2160TCaba b 解： 3求求(3b2a)6的展开式的第的展开式的第3项项 解： 24242 2 16 (3 ) (2 )4860TCbab a 4写出 的展开式 的第r+1项。 解： 3 3 1 () 2 n x x 4 2 3 3 1 3 1( 1) ()() 22 nrr rn rrr rnn r TCxC x x 5 5填空：填空：( (x x3 32 2x x) )7 7的展开式的第的展开式的第 4 4 项的二项式系数是项的二项式系数是 ， 第第 4 4项的系数是项的系数是 35 280 6选择题： (x1)10的展开式的第6项的系 数是( ) (A

13、) (B) (C) (D) 6 10 C 6 10 C 5 10 C 5 10 C D 单三步单三步 课堂小结：课堂小结： 二项式定理是初中多项式乘法的延二项式定理是初中多项式乘法的延 伸，又是后继学习概率的基础，要理解和伸，又是后继学习概率的基础，要理解和 掌握好展开式的规律，利用它对二项式展掌握好展开式的规律，利用它对二项式展 开，进行相应的计算与证明；开，进行相应的计算与证明； 要注意要注意“系数系数”、“二项式系数二项式系数” 等概念的区别与联系，对二项式展开式的等概念的区别与联系，对二项式展开式的 特征要分析清楚，灵活运用展开式特征要分析清楚，灵活运用展开式. . 单三步单三步 以下

14、是备选例题和训练题 视学生学习情况而定，如果不能完成，可 留作下节课的课前复习回顾练习 单三步单三步 解：设展开式中的第解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：项为常数项，则： 88 24 4 3 188 3 11 1 22 rrr r r rr r x TCCx x 由题意可知，由题意可知， 244 06 3 r r 故存在常数项且为第故存在常数项且为第7项，项， 常数项常数项 8 6 6 60 78 1 17 2 TCx 常数项即常数项即 项项. 0 x 例例4(1)：试判断在：试判断在 的展开式中有的展开式中有 无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果 没

15、有，说明理由没有，说明理由. 8 3 1 2 x x 单三步单三步 单三步单三步 100 ,. 23 6,0100. 0,6,12,96,17. r r T rr 均为整数时为有理数 为 的倍数 且 即r为展开式中共有项有理项 解：解： 的展开式的通项公式为：的展开式的通项公式为： 1003 )23( x 100 100 1003 32 1100100 3232 rr rr rrr r TCxCx 012100r ， ， ， ， 点评：点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由求常数项、有理项等特殊项问题一般由 通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思 维

16、的严密性要求也高维的严密性要求也高. 有理项即有理项即 整数次幂整数次幂项项 (2)：由：由 展开式所得的展开式所得的x的的 多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？ 1003 )23( x 单三步单三步 单三步单三步 1、求、求 的展开式常数项的展开式常数项 9 3 () 3 x x 1 9 99 2 199 31 ( )()( )3 33 rr rrrrrr r x TCCx x 06.rr 1 由9-r-得 2 69 66 79 1 ( )32268 3 TC 解解: 单三步单三步 单三步单三步 2、求、求 的展开式的中间项的展开式的中间项 9 3 ()

17、3 x x 解解:展开式共有展开式共有10项项,中间两项是第中间两项是第5、6项项 49 443 54 19 3 ( )()42 3 x TTCx x 3 59 55 2 65 19 3 ( )()42 3 x TTCx x 单三步单三步 单三步单三步 课本P125页 第4、5题 单三步单三步 单三步单三步 1 1、课堂教学完成情况：基本完成二项式定理知、课堂教学完成情况：基本完成二项式定理知 识点第一、二课时的学习，并能当堂理解二项识点第一、二课时的学习，并能当堂理解二项 式定理的推导和实质意义，并能记好公式，能式定理的推导和实质意义，并能记好公式，能 用二项式定理求出通项。用二项式定理求出

18、通项。 2 2、课后总结、课后总结: :因为能在学习定理前理了解一下定因为能在学习定理前理了解一下定 理发现者牛顿的简介，又有多媒体辅助教学，理发现者牛顿的简介，又有多媒体辅助教学， 从而激发了学生的学习兴趣，所以整节课学生从而激发了学生的学习兴趣，所以整节课学生 的参与度较高，因此我觉得多媒体辅助教学有的参与度较高，因此我觉得多媒体辅助教学有 一大优势一大优势不仅能增大课堂的容量，而且能不仅能增大课堂的容量，而且能 更好的激发学生的学习欲望，同时还能使学生更好的激发学生的学习欲望，同时还能使学生 对教师产生佩服感和认同感，因为现在的学生对教师产生佩服感和认同感，因为现在的学生 很喜欢电脑，但不太了解电脑的真正用处，当很喜欢电脑，但不太了解电脑的真正用处，当 他们看见老师比自己更会玩电脑，而且还能用他们看见老师比自己更会玩电脑，而且还能用 电脑工作，就能激励学生学会合理使用电脑的电脑工作，就能激励学生学会合理使用电脑的 欲望，从而将学生引导到正确使用电脑和网络欲望，从而将学生引导到正确使用电脑和网络 的轨道上来，同时能更亲近和亲信老师，提高的轨道上来，同时能更亲近和亲信老师，提高 教学效果。教学效果。 3 3、课后改进建议：课堂教学中尽量合理使用多、课后改进建议：课堂教学中尽量合理使用多 媒体辅助教学，多写电子教案和制作课件，但媒体辅助教学，多写电子教案和制