物理学毕业论文高斯定理

1、 本科毕业论文本科毕业论文 题目 高 斯 定 理 学生姓名 专业名称 物 理 学 指导教师 2011 年 5 月 25 日 教学单位 物理与信息技术系 学生学号 编 号 目目 录录 一、论文正文 1 高斯定理的表述高斯定理的表述.1 1.1 数学上的高斯公式.1 1.2 静电场的高斯定理.1 1.3 磁场的高斯定理.2 2.1.1 静电场的高斯定理.2 2.1.2 磁场的高斯定理.4 2.2 高斯定理的直接证明.5 2.3 高斯定理的另一种证明.6 3 高斯定理的应用高斯定理的应用.8 4 将高斯定理推广到万有引力场中将高斯定理推广到万有引力场中.11 4.1 静电场和万有引力场中有关量的类比

2、.11 4.2 万有引力场中的引力场强度矢量.11 4.3 万有引力场中的高斯定理.12 5 结束语结束语.12 参考文献参考文献.14 谢辞谢辞.15 二、附录 1 宝鸡文理学院本科毕业论文任务书.16 2 宝鸡文理学院本科毕业论文中期检查报告.18 3 宝鸡文理学院本科毕业论文指导教师指导记录表.19 4 宝鸡文理学院本科毕业论文结题报告.20 5 宝鸡文理学院本科毕业论文成绩评定及答辩评议表.22 6 宝鸡文理学院本科毕业论文答辩过程记录（附页）.24 高斯定理高斯定理 摘要：摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用， 而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程

3、。本文比较详细的介绍了高斯 定理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注 意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。 最后把高斯定理推广到万有引力场中去。 关键词：关键词：高斯定理；应用；万有引力场 gaussian theorem abstract:abstract: gaussian theorem is an important theorem of electromagnetism. it not only has important application in electrostatic field, but also is an

4、important equation in maxwell electromagnetic field theory. this thesis introduces the gaussian theorem in detail and proves it by using many methods such as the mathematical method and the direct proof method etc.it also introduces the several problems that we should pay attention to when we apply

5、and use gaussian theorem. it can be found convenient when we use the gaussian theorem to solve the problems related to the electromagnetism. the last part of this thesis is to introduce the gauss theorem to the gravitational field. key words: gaussian theorem; application; gravitational field 目目 录录

6、1 高斯定理的表述高斯定理的表述.1 1.1 数学上的高斯公式.1 1.2 静电场的高斯定理.1 1.3 磁场的高斯定理.2 2.1.1 静电场的高斯定理.2 2.1.2 磁场的高斯定理.4 2.2 高斯定理的直接证明.5 2.3 高斯定理的另一种证明.6 3 高斯定理的应用高斯定理的应用.8 4 4 将高斯定理推广到万有引力场中将高斯定理推广到万有引力场中.11 4.1 静电场和万有引力场中有关量的类比.11 4.2 万有引力场中的引力场强度矢量.11 4.3 万有引力场中的高斯定理.12 5 结束语结束语.12 参考文献参考文献.14 谢辞谢辞.15 引言引言 高斯定理又叫散度定理，高斯定

7、理在物理学研究方面，应用非常广泛，应 用高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强 度或者磁感应强度。虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它 也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应 对高斯定理有一定的了解。 1 高斯定理的表述高斯定理的表述 1.1 数学上的高斯公式数学上的高斯公式 设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面所围成，若函数在上vs,p q rv 连续，且有一阶连续函数偏导数，则 11 sv pqr dxdydzpdydzqdzdxrdxdy xyz 其中的方向为外发向。11 式称为高斯公式1。s 1.2 静电场的高斯定理

8、静电场的高斯定理 一半径为 的球面包围一位于球心的点电荷，在这个球面上，场强的rsqe 方向处处垂直于球面，且的大小相等,都是。通过这个球面的电e 2 0 4 q e r s 通量为 2 222 0000 4 444 e sss qqqq e dsdsdsr rrr 其中是球面积分，等于。从此例中可以看出，通过球面的电通量只 s ds 2 4 rs 与其中的电量有关，与高斯面的半径 无关。若将球面变为任意闭合曲面，qrs 由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为。 0 q 若闭合曲面内是负电荷，则的方向处处与面元取相反，可计算sqe ds 穿过面的电通量为。若电荷在闭合曲面之外，它的电

9、场线就会穿s 0 /qqs 入又穿出面，通过面的电通量为零2。ss 如果闭合面内有若干个电荷，由场强叠加原理可知，通过s 123 , n q q q q 面的电通量为 s 111 0 1 nnn eiii sss iii e dse dse dsq 此式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在 该面内的所有电荷的代数和的分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭 0 合曲面称为高斯面，对于连续分布的电荷，电荷体密度为，则上式可以表s 述为 0 1 e sv e dsdv 1.3 磁场的高斯定理磁场的高斯定理 由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定

10、 会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合了。如果对于一个闭合曲面， 定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那 么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为零。这个规律类似于电场中的高 斯定理，因此也称为高斯定理。用式子表示： 0 s b ds 与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由 于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净 余的正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而 在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，极和极是不能分离的，磁ns 感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量

11、必等于零，即磁场 是无源场2。2 高斯定理的证明高斯定理的证明 2.1 高斯定理的数学证明高斯定理的数学证明 2.1.1 静电场的高斯定理静电场的高斯定理 静电场中高斯定理的证明主要分以下四种情况： (a)点电荷在球面中心，点电荷的电场强度为 球面的电通量q 3 0 1 4 q er r 为 21 2 322 0000 111 4 444 sss qq e dsr dsdsr rrr (b)点电荷在任意闭曲面外，闭曲面的通量为s 22 33 00 333 0 11 () 44 111 4 sss s qq e dsr dsxdydzydxdzzdxdy rr q xdydzydxdzzdxdy

12、 rrr 根据高斯公式 23 s v pqr dxdydzpdydzqdzdxrdxdy xyz 并考虑到在内有连续一阶偏导数，故 22 式可以用高 333 , xyz pqr rrr s 斯公式计算。将 22 式代入 23 式得 3 0 3 0 333 0 333 0 1 4 1 4 111 4 0 4 ss s s v q e dsr ds r q xdydzydxdzzdxdy r q xdydzydxdzzdxdy rrr xyz qrrr dxdydz xyz (c)点电荷在任意闭曲面内 在任意闭曲面内以点电荷为球心作一辅助球面，其法向朝内，根据sq 1 s 21 式可知点电荷在闭曲

13、面的电通量为零，即：q 1 ss 1 0 ss e dse ds 24 12 0 sss q e dse dse ds 其中式 24 中和大小相等，法向相反。 1 s 2 s (d)点电荷系在闭曲面内外 设闭曲面内的点电荷为；闭曲面外的点电荷为根据 23 , n q q qq 1n q ； 上述讨论可得 111 0 1 nnn i ii sss iii e dsedse dsq 这就是静电场中的高斯定理3。 2.1.2 磁场的高斯定理磁场的高斯定理 磁场中高斯定理的证明主要分以下四种情况： (a)电流元在球面中心idl 由磁通量的定义和毕奥萨法尔定律为了方便，把简 00 2 4 idlr db

14、 r db 写为，则可得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为b 0000 22 44 sss idlrirds b dsdsdl rr 因为，所以 0/ rds 0 s b ds (b)电流元在任意闭曲面外idl 电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为 00 2 4 ss idlr b dsds r 因为，并设，则rxiy jzk dldlk dlrydlixdl j 代入原式得 00 222 44 sss idlidlryx b dsdsdydzdxdz rrr 根据高斯公式 s v pqr dxdydzpdydzqdzdxrdxdy xyz 同理可得 00 222 0 44 sss idlid

15、lryx b dsdsdydzdxdz rrr (c)电流元在任意闭曲面内idl 以此类推，在闭曲面内，以电流元为球心作一辅助球面，因为s 1 s 1 0 ss b dsb ds 所以 1 0 ss b dsb ds (d)电流元在闭曲面上idl 由上述易知，所有的电流元在闭曲面上的磁通量也为零，即0 s b ds 这正是磁场的高斯定理4。 2.2 高斯定理的直接证明高斯定理的直接证明 图图 1 1 如图 1 所示，电荷量为的带电体中任一点处的电荷密度为,则由电场q 1 ( )r 强度定义知该带电体在空间 点产生的电场强度为 r 25 1 1 1 3 0 ( ) 4 v r erdv r 式中

16、为原点位矢，为原点到场点的位矢。将对任意闭合曲面求 1 r 1 rrr e s 面积分，即得 26 1 sv e dsedv 由 25 式可得 11 11 11 33 00 ( )( )11 44 vv rr erdvr dv rr 由于算符是对的微分算符，与 无关，故r 1 r 27 11 11 2 1111 3 00 1 11111 000 111 ( )( ) 44 ( )11 ( ) 4( )() 4 vv vv r erdvrdv rr r rr dvrrr dv 式中最后一步用到了函数的筛选性，将式 27 代入式 25 中得： 1 0 ( ) sv r e dsdv (1)当电荷包

17、含在闭合曲面内时，则 qs 1 00 ( ) sv rq e dsdv (2)当电荷的不包含在闭合曲面内时，则qs 1 0 ( ) 0 sv r e dsdv 由此高斯定理得证。 2.3 高斯定理的另一种证明高斯定理的另一种证明 图图 2 2 如图 2 所示，设有一电量为孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，q 任意 为半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为 方向沿r 3 0 4 q er r 径向离开球心，和球面上该点的法线正方向相同。通过该闭合曲面的电通量为 与半径 无 2 322 0000 4 444 e sss qqqq e dsr dsdsr rrr r 关。 这一结果根据电通

18、量的定义表明, 电量为的正点荷发出条电场线, q 0 /q 由于电通量与半径无关, 说明电场线是不间断的；若为负电荷, 则表明有q 条电场线汇集到这个负点电荷上, 同样这些电场线也是不间断的。由于电 0 q 场线是不间断的, 面外电荷不影响闭合曲面的电通量。现在我们设想这个点电 荷不位于球心而位于球面内任意点处,那么据以上分析同样得穿过这个闭合球面 的电通量亦为。现在我们进一步设想, 电量为的点电荷不是位于球面内 0 /qq 而是位于任意的闭合曲面内, 则同样得到结论, 通过这个闭合曲面的电通量 。 0 /q 若一闭合曲面内包含个点电荷, 其中个是正的, 个是负的。n()m mnnm 设个正点

19、电荷所带的总电量为, 则这个点电荷发出条不间断的m m qm 0 / m q 电场线；个负点电荷所带的总量为， 则这个负点电荷汇集nm n m q nm 条不间断的电场线，据电通量的定义,发出的即穿出闭合曲面为正, 0 mn q 汇集的即进人闭合曲面的为负, 所以通过闭合曲面的电通量为 00 | mnm e s qq e ds 即 0 mmn e s qq e ds 这里有可能出现面内一些正电荷发出的电场线没有穿出闭合曲面而直接汇 集到负电荷上，也就是说，负电荷汇集的电场线不是由闭合曲面外来的，而是 由闭合曲面内来的，这并不影响我们的结论。 因此就一般情况而言，若任一闭合曲面内包围的净余电荷为

20、，则 12 , n q qq 穿过这个闭合曲面的电通量为 1 0 1 n ei s i e dsq 由此，高斯定理得证5。 3 高斯定理的应用高斯定理的应用 高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。虽然 高斯定理的适用范围很广，但用它求带电体的电场分布时有很大的局限性，只 对那些电荷分布高度对称的带电体，才能使用高斯定理求场强。在选择高斯面 时，应注意：场强是面积元处的，随的不同，也不同；场强 1 e ds e ds e 2 是全部带电体系中（无论在高斯面内还是在高斯面外）所有电荷产生的总场e 强，而只是对高斯面内的电荷求和，这是因为高斯面外的电荷对总通量 1 n i i

21、q 没有贡献，但不是对场强没有贡献；高斯面内所包围的电荷等于零时， e 3 不一定等于零，只说明通过高斯面的电通量等于零；高斯定理虽由库仑e s 4 定律引申而来，但它的适用范围广，而不论对静止电荷还是运动电荷都适用， 但应用时，必须在电场具有某种对称性时（球、轴、面对称） ，才有可能；在 5 应用高斯定理时，除应注意到场强具有对称性外，对高斯面的选取还应注意到： 所选高斯面应平行电场线或垂直电场线；当高斯面法向与电场线平行时，高斯 面上的场强的大小应处处相等，这样可提出积分号外，积分被简化为对面e e 元的取和。 利用高斯定理求场强的一般步骤： （1）进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分

22、析电场分布的对称性， 判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称 性、面对称性等） ，这是解题的关键，也是解题的难点； （2）根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：待求场强的场点应 在此高斯面上，穿过该高斯面的电通量容易计算；一般地，高斯面各面元的 法线矢量与平行或垂直，与平行时，的大小要求处处相等，使得能n e n e e e 提到积分号外面； （3）计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯e ds 定理求出场强。 应该指出，在某些情况下（对称） ，应用高斯定理是比较简单的，但一般情 况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据

23、具 体情况选用。利用高斯定理，可简捷地求得具有对称性的带电体场源（如球型、 圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合 适的闭合曲面高斯面。 高斯定理的应用举例 例一：求无限长均匀带电直线的电场分布，已知线上线电荷密度为。 图图 3 3 解法一：（利用库仑定律求解） 如图 3 所示，我们选择电荷元为长度上所带电量，即，在dqdldqdldq 点产生的元场强的大小 p 2 0 4 dl de r 为计算该积分，首先必须统一积分变量。为便于计算，将变量 和 统一lr 用表达。由图 3 可知，由又可以得secrrtanlrtanlr ，代入及 后，可得 2 secdlrd

24、dlr 0 4 d de r 对于每一个正 轴上的长度，一定存在另一个对称的负轴上的，ydlydl 这两个长度上的电荷元在点产生的场强分量相互抵消，因此求总场强时我py 们只需对积分。注意，积分限为和，则有 x decos x dede 2 2 22 00022 cossin 442 x eded rrr 图图 4 4 解法二：（利用高斯定理求解） 带电直线的电场分布具有轴对称性，考虑离直线距离为的一点处的场rp 强（如图 4 所示） 。由于空间各向同性而带电直线为无限长，且均匀带电，所e 以电场分布具有轴对称性，因而点的电场方向唯一的可能是垂直于带电直线p 而沿径向，并且和点在同一圆柱面（以

25、带电直线为轴）上的各点的场强大小p 也都相等，而且方向都沿径向。 作一个通过点，以带电直线为轴，高为 的圆筒形封闭面为高斯面，通pls 过面的电通量为 s 1tb e ssss e dse dse dse ds 在面的上、下底面（和）上，场强方向与底面平行，因此，上式等号右s t s b s 侧后面两项等于零。而在侧面（）上各点的方向与各该点的法线方向相同， 1 se 所以有 11 2 sss e dse dsedserl 此封闭面内包围的电荷 int ql 由高斯定理得 0 2 l erl 由此得 0 2 e r 由上所述，解法一与解法二的结果相同，由解法一和解法二比较可知，当条件 允许时，

26、利用高斯定理计算场强分布要简便得多。 4 将高斯定理推广到万有引力场中将高斯定理推广到万有引力场中 4.1 静电场和万有引力场中有关量的类比静电场和万有引力场中有关量的类比 静电学中的库仑定律： 12 2 0 1 4 r q q fe r 41 牛顿万有引力定律： 12 2 r m m fge r 42 以上 41、42 两式在数学形式上完全等同。比较两式可得如下结论：电学 1 中相当于力学中的，为了记忆的方便，我们记为（下同）于 0 1 4 g 0 1 4 g 是有 0 1 4 g 43 上式中电学中电 122121122 0 8.85 10(),6.67 10()cnmgn mkg 2 荷

27、相当于力学中的质量，于是有qm 44qm 4.2 万有引力场中的引力场强度矢量万有引力场中的引力场强度矢量 静电场中点电荷在电场中受到的电场力为 45fqe 经典力学中质点在引力场中受到的重力为 46pmg 和电场强度类似，在万有引力场中定义一个引力场强度矢量（以下简称引 力场强），则 g 47 eg 且规定：试探质点在引力场中某点受到的力与其质量之比定义为引力场中f 该点的引力场强 48 f g m 如果已知引力场中某点的引力场强，则质点在该处受到的引力可由下式g 给出 49fmg 4.3 万有引力场中的高斯定理万有引力场中的高斯定理 一般说来，引力场中的某点的是该点位置 的矢量函数，对于多

28、个质点g r 产生的引力场，引力场强满足叠加原理。有了万有引力场强的定义后，就可以 仿照电通量的概念，在引力场中定义引力场强通量。对某面积微元的引 e g 力场强通量：。其中是引力场强与面积微元的夹cos g dg dsgds g ds 角，因此，对某面的总引力场强通量为s 410 g s g ds 有了引力场强通量的概念，就可以讨论穿过闭合曲面引力场强通量的问题。 仿照电场中高斯定理的证明过程可以证明引力场中的高斯定理。由 43、44、47 式，并考虑到闭合曲面面积微元的法线正方向定义后，不难 得到穿过某闭合曲面的引力场强通量应满足s 411 0 1 4 ii ss e dsqg dsgm

29、上式称为万有引力场中的高斯定理，与静电场中的高斯定理具有相似的形 式。根据散度的定义，我们可以将 411 式写成相应的微分形式 412 0 4egg 此式说明万有引力场是一种有源场，它的源可认为就是质量分布6。 5 结束语结束语 根据上述分析可知，对于电电磁学中重要的基本定理之一的高斯定理，我 们可以运用数学法、直接法等方法来证明，在电磁学中，当条件允许时，利用 高斯定理可以很方便的解决相关的问题。 参考文献参考文献 1 高等数学第二册（第三版）m.北京：高等教育出版社，1996 年第 3 版：234235 2 张丹海、宏小达.简明大学物理（第二版）m.北京：科学出版社，2008 年第 2 版

30、： 173176 196200 3 籍延坤.大连铁道学院学报j.2004 年 9 月第 25 卷第 3 期：13-15 4 梁灿彬、秦光戎等.电磁学（第二版）m.北京：高等教育出版社，2004 年第二版： 1424 182185 5 郭慧成.吉林师范大学学报（自然科学版）j.2006 年 5 月第 2 期：103 6 陈国云.骆成洪等.南昌大学学报j.2008 年 12 月第 30 卷第 4 期：354358 谢谢 辞辞 本论文得以完成，要感谢的人实在太多了，首先要感谢王参军老师，因为 论文是在王老师的悉心指导下完成的。 王老师渊博的专业知识，严谨的治学态 度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高

31、尚师德，严以律己、宽以待人的崇高 风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。本论文从选题到完成， 每一步都是在王老师的指导下完成的，倾注了王老师大量的心血。 王老师指导我的论文的写作方向和架构，并对本论文初稿进行逐字批阅， 指正出其中误谬之处，使我有了思考的方向，他的循循善诱的教导和不拘一格 的思路给予我无尽的启迪，他的严谨细致、一丝不苟的作风，将一直是我工作、 学习中的榜样。在此，谨向王老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢王老师 在我撰写论文的过程中给与我的极大地帮助。 同时，论文的顺利完成，离不开其它各位老师、同学和朋友的关心和帮助。 在整个的论文写作中，各位老师、同学和朋友积极的帮

32、助我查资料和提供有利 于论文写作的建议和意见，在他们的帮助下，论文得以不断的完善，最终帮助 我完整的写完了整篇论文。 通过本次论文的写作，我学到了很多知识，跨越了传统方式下的教与学的 体制束缚，在论文的写作过程中，通过查资料和搜集有关的文献，培养了自学 能力和动手能力。并且由原先的被动的接受知识转换为主动的寻求知识，这可 以说是学习方法上的一个很大的突破。在以往的传统的学习模式下，我可能会 记住很多的书本知识，但是通过毕业论文，我学会了如何将学到的知识转化为 自己的东西，学会了怎么更好的处理知识和实践相结合的问题。 总之，通过本次论文的写作，我收获了很多，即为大学四年划上了一个完 美的句号，也

33、为将来的人生之路做好了一个很好的铺垫。 再次感谢我的大学和所有帮助过我并给我鼓励的老师，同学和朋友，谢谢 你们。 宝鸡文理学院本科毕业论文任务书宝鸡文理学院本科毕业论文任务书 课题条件： 1.在电磁学课程的学习中，对高斯定理有一定的了解和认识。 2.在王老师的指导下，对此课题有了进一步的认识。 3.通过查阅大量的参考文献，关于此课题的理论知识得到加强和深化，为完 成论文打下基础。 4.利用图书馆的图书资源和通过网络查阅文献资料，对国内近些年来关于此 课题的文章有了系统的认识。 毕业论文（设计）主要内容： 高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而 且也是麦克斯韦电磁场理论

34、中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定 理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意 的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。最 后把高斯定理推广到万有引力场中去。 1.高斯定理的表述 2.高斯定理的证明 3.高斯定理的应用 4.将高斯定理推广到万有引力场中 注：课题性质分为理论型实践应用型。下同。 主要参考文献： 1 高等数学第二册（第三版）m.北京：高等教育出版社，1996 年第 3 版： 234-235 2 张丹海、宏小达.简明大学物理（第二版）m.北京：科学出版社，2008 年第 2 版：173176 196200 3 籍延坤.大

35、连铁道学院学报j.2004 年 9 月第 25 卷第 3 期：13-15 4 梁灿彬、秦光戎等.电磁学（第二版）m.北京：高等教育出版社，2004 年第二版：1424 182185 5 郭慧成.吉林师范大学学报（自然科学版）j.2006 年 5 月第 2 期：103 6 陈国云.骆成洪等.南昌大学学报j.2008 年 12 月第 30 卷第 4 期：354 358 指导教师意见： 1通过； 2完善后通过；3未通过 签 名： 年月日 注：以上各项内容由学生填写，指导教师审核后签署意见。 宝鸡文理学院本科毕业论文中期检查报告宝鸡文理学院本科毕业论文中期检查报告 学生撰写情况： （1）3 月 16

36、日讨论资料收集情况，如何查找资料。 （2）3 月 24 日根据现有资料及掌握知识，确定论文主题。 （3）4 月 5 日提交初稿，交谈自己的设想。 （4）4 月 14 日讨论初稿的修改。 （5）5 月 5 日第二稿网上提交，电话交流。 （6）5 月 16 日修改第二稿。 （7）5 月 23 日修改论文格式。 指导教师： （签名） 教师指导情况： 检查人： （签名） 系主任： （签名） 注：学生撰写情况由指导教师填写，教师指导情况由检查人填写。 宝鸡文理学院本科毕业论文指导教师指导记录表宝鸡文理学院本科毕业论文指导教师指导记录表 指导的具体时间及指导内容（由学生分次填写）： 第一次指导：3 月 11 号指导选题，拟定任务书，下达任务书； 第二次指导：3 月 17 号对提纲进行了指导； 第三次指导：4 月 1 号对论文内容进行了指导，对文章结构进行了调整； 第四次指导：4 月 11 号对论文初稿进行修改； 第五次指导：5 月 13 号对论文二稿进行了指导。 第六次指导：5 月 19 号对论文的细节进行了指导。 对第一稿提出的修改意见： 1.根据论文内容，把原来题目高斯定理简介改为高斯定理，该论文主要 对高斯定理作了详细的介绍，运用多种方法证明了它，介绍应用高斯定理时应 注意的一些问题。对其成文思路及相关知识出现的漏洞部分提出改进。 2.文中出现的公式推导，要搞清楚，不能一