第08讲 应变与小变形几何方程

1、第三章第三章 金属塑性变形的力学基础金属塑性变形的力学基础 第二节第二节 应变分析应变分析 第一讲第一讲 应变与小变形几何方程应变与小变形几何方程 应变的基本概念应变的基本概念 小变形几何方程小变形几何方程 点的应变状态点的应变状态 应变的基本概念应变的基本概念 PP1 拉长变细 Q Q1 单元体取的方位不同，变形方式不同，歪斜了 PP1 沿中心线压扁 Q Q1 由于摩擦的作用，压扁且歪斜了 R R1 成鼓形后有明显的角度偏转 PP1 剪斜了 Q Q1 平移到Q1 ，未变形 PP1 缩短且转动一角度 Q Q1转动一角度，但未变形 由以上实例可以得到以下概念： 2、变形 正变形（线变形）：线性尺

2、寸伸长或缩短 切变形（角变形）：单元体发生畸变 3、同一质点的不同方位，有不同的变形值 4、物体变形时，单元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变 形。除去刚体位移后，才能得到纯变形。 1、变形就是各点位移不同，致使各点相对位置发生变化。 应变的基本概念应变的基本概念 应变的基本概念应变的基本概念 1 1、名义应变及其分量、名义应变及其分量 设单元体PABCP1A1B1C1 PA:rx r1= rx+r 线变形(r)：单元体棱边的伸长或缩短 线应变（正应变）：单位长度上的线变形 棱边PA的线应变： xx x r r r rr 1 棱边PA在x方向的线应变： x x x r r z z z y

3、 y y r r r r 应变的基本概念应变的基本概念 1 1、名义应变及其分量、名义应变及其分量 11PA CCPA 相对切应变（工程切应变）： xyyxyxyx y r r tan 单位长度上的偏移量或两棱边所夹直角的变化量 工程切应变工程切应变 应变的基本概念应变的基本概念 1 1、名义应变及其分量、名义应变及其分量 )( 2 1 yxxyyxxy xyyxxy )( 2 1 xyyxz zyxyx zxyxy zzyzx yzyyx xzxyx ij xzzxzyyzyxxy , 角标的意义：第一个角标表示线元（棱边）的方向，第二个角标表示 线元的偏转方向。如xy表示x方向的线元向y方

4、向偏转的角度。 )( 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 ; xzzxxzzxxzzx zyyzzyyzzyyz yxxyyxxyyxxy z z z y y y x x x r r r r r r 统称为应变分量。 xzzxzyyzyxxyyyx , 应变的基本概念应变的基本概念 1 1、名义应变及其分量、名义应变及其分量 zzyzx yzyyx xzxyx ij 应变的基本概念应变的基本概念 2 2、对数应变及其分量、对数应变及其分量 0 0 l lln 变形体由l0ln可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。 1 1 2 23 1 12 0 0

5、1 n nn l ll l ll l ll l ll 应用微分的概念 n l l l l l dln 0 ln 0 自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也 称真实应变。 应变的基本概念应变的基本概念 2 2、对数应变及其分量、对数应变及其分量 对数应变的优点： 1、表示变形的真实情况； 2、具有可加性：总应变为各阶段应变之和。 0 l 拉伸 1 l 拉伸 2 l 拉伸 3 l 0 03 03 l ll 2 23 23 1 12 12 0 01 01 ; l ll l ll l ll 23120103 2 3 23 1 2 12 0 1 01 ln;ln;ln l l l l l l

6、 03 0 3 2 3 1 2 0 1 231201 lnlnlnln l l l l l l l l 应变的基本概念应变的基本概念 2 2、对数应变及其分量、对数应变及其分量 对数应变的优点： 1、表示变形的真实情况； 2、具有可加性：总应变为各阶段应变之和。 3、具有可比性：拉伸后再压缩至原长，对数应变相等，仅差一符号。 l 拉伸 l2l2 压缩 l和 %50 2 2 %;100 2 l ll l ll %69 2 1 ln 2 ln%;692ln 2 ln l l l l 质点 MM1 靠弹性或塑性变形实现。 位移：位移：变形体内任一点变形前 后的直线距离(MM1) 位移分量：位移分量：

7、在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为 该点的位移分量。用u，v，w或ui表示。 位移场：位移场：变形体内不同点的位移分量不同。根据连续性基本假设， 位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶 偏导数。 ),( ),( ),( zyxww zyxvv zyxuu 或),(zyxuu ii 小变形几何方程小变形几何方程 1 1、位移与应变、位移与应变 变形体内无限接近两点的位移分量间的关系 ),(zyxuu ii ),(dzzdyydxxuuuu iiii iij j i i iiii i ii uudx x u zyxu dx x u dz z u dy y u dx x

8、u zyxu dzzdyydxxuu ),( 2 1 ),( ),( 2 2 2 j j i i dx x u u M 点相对于M 点的位移增量 小变形几何方程小变形几何方程 1 1、位移与应变、位移与应变 dz z w dy y w dx x w w dz z v dy y v dx x v v dz z u dy y u dx x u u 若无限接近的两点的连线MM平行于某一坐标轴，例如MMx轴，则 dx x w w dx x v v dx x u u 若已知变形物体内一点M的位移分量，则与 其邻近一点M的位移分以可以用M点的位移 分量及其增量来表示。 小变形几何方程小变形几何方程 1 1

9、、位移与应变、位移与应变 j j i i dx x u u 小变形几何方程小变形几何方程 2 2、小变形几何方程、小变形几何方程 dz z w dy y w dx x w w dz z v dy y v dx x v v dz z u dy y u dx x u u dy y v vdy y u u dx x v vdx x u u bb cc , , 小变形几何方程小变形几何方程 2 2、小变形几何方程、小变形几何方程 x u dx u dx uuu dx acca c c x 21 y v dy v dy vvv dy abba b b y 21 dy y v vdy y u u dx x

10、 v vdx x u u bb cc , , 小变形几何方程小变形几何方程 2 2、小变形几何方程、小变形几何方程 dyv u vdyvv uuu ba bb b b b b yx 21 21 tan y v y u y v dy dy y u yx 1)1 ( tan dy y v vdy y u u dx x v vdx x u u bb cc , , 1 y y v y u yxyx tan x v xyxy tan )( 2 1 x v y u yxxy )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 z u x w z w y w z v y v x v y u x u xzzxz zyy

11、zy yxxyx )( 2 1 i j j i ij x u x u (3-66) (3-66a) y u yxyx tan x v xyxy tan 小变形几何方程小变形几何方程 2 2、小变形几何方程、小变形几何方程 点的应变状态点的应变状态 设任意点a(x,y,z)的应变分量： zzyzx yzyyx xzxyx ij 设线元 ab=r r在三个坐标轴上的投影：dx,dy,dz 方向余弦： r dz n r dy m r dx l; 2222 dzdydxr 长度： a)线应变 变形后：ab 移至 a1b1 长度： rrr 1 在三个轴上的投影： a1N: dx, dy, dz 2222

12、 1 2)(rrrrrrr )(2 )()()( 222222 2222 1 wdzvdyudx wvudzdydx wdzvdyudxr 点的应变状态点的应变状态 bN: u, v, w b1b: u +u, v+v,w+ w Nb1: u, v,w 略去r, u, v, w的平方项 wdzvdyudxrr r w r dz r v r dy r u r dx r r r w n r v m r u l r 2222 2 2() rr rdxdydz dx udy vdz w 2222 1 2)(rrrrrrr )(2 )()()( 222222 2222 1 wdzvdyudx wvudz

13、dydx wdzvdyudxr 点的应变状态点的应变状态 r w n r v m r u l r dz z w dy y w dx x w w dz z v dy y v dx x v v dz z u dy y u dx x u u )(2 )()()( 222 222 nlmnlmnml nl z u x w mn y w z v lm x v y u n z w m y v l x u r w n r v m r u l zxyzxyzyx r 比较：比较： )(2 222 nlmnlmnml zxyzxyzyx )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 z u x w z w y w

14、z v y v x v y u x u xzzxz zyyzy yxxyx 点的应变状态点的应变状态 b)切应变(线元变形后的偏转角） 引NMa1b1在NMb1中，有 2 1 22 1 2 1 2 )(MbuMbNbNM i 由于rNaMa 11 故 Ma NM rr 1 tan r r r rMabaMb 1111 于是： 2 2 2 2 22 2 2 1 2 1 2 2 2 )()( r ii r r u r ru r MbNb r NM 如果没有刚体转动， r 就是切应变 r 如果有刚体转动， j i j j i j i j j i j i j i j j i j j i i dx x

15、u x u dx x u x u dx x u x u x u dx x u u )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 纯剪变形引起 的 位 移 增 量 刚性转动引起 的 位 移 增 量 去除刚性转动 jijj i j j i i dxdx x u x u u )( 2 1 所以 2 2 2 2 ) ( r i r r u 比较 222 S 结论：若一点互相垂直的三 个方向上的应变分量已知， 则该点任意方向应变可求。 一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分 量来表示。与应力状态相似，如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的 九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上 张量之定义，即 ) , , ,;,(zyxrkzyxjill rjkiijkr ij为二阶对称张量。 zzyzx yzyyx xzxyx ij z yzy xzxyx ij 例一：矩形柱体在无摩擦的光滑平板间压