第三讲单自由度系统的振动(阻尼)

1、机械振动学机械振动学 1.1.阻尼阻尼 上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随 时间改变的，振动过程将无限地进行下去。时间改变的，振动过程将无限地进行下去。 实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 2.1.2.2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 阻尼类型：阻尼类型： 1）介质阻尼；）介质阻尼；

2、2）结构阻尼；）结构阻尼； 3）库仑阻尼）库仑阻尼 当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正 比，这种阻尼称为粘性阻尼比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此。这种阻尼实际上较多，这里将以此 研究。研究。 振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件c表示。表示。 vcF 比例常数比例常数c称为粘性阻尼系数称为粘性阻尼系数 负号表示方向负号表示方向 设振动质点的速度为为设振动质点的速度为为v，则粘性阻尼的阻力，则粘性阻尼的阻力FC可表示为可表示为： 一般的机械振动系统都可以简化为

3、：一般的机械振动系统都可以简化为： 由惯性元件（由惯性元件（m）、弹性元件（）、弹性元件（k）、阻）、阻 尼元件（尼元件（c）组成的系统。）组成的系统。 k c m 当以平衡位置当以平衡位置O为坐标原点，建立此系统的振动微分方程时为坐标原点，建立此系统的振动微分方程时 可以不再计入重力作用。可以不再计入重力作用。 （2）粘性阻尼力）粘性阻尼力 ；方向与速度方向相反。；方向与速度方向相反。xc dt dx cFc 2.2.振动微分方程振动微分方程 振动过程中作用在物块上的力有：振动过程中作用在物块上的力有： （1） 恢复力恢复力 ；方向指向平衡位置；方向指向平衡位置O； 0kxxcxm 根据达朗

4、贝尔原理，质量块的微分方程为根据达朗贝尔原理，质量块的微分方程为： m ( )f t m k c k c m s x x x kxx c o x m o x kxFk x m k 2 0 整理得：整理得： 02 2 0 xxnx m c n 2 0-xckxxm 有阻尼自由振动微分方程的标准形式有阻尼自由振动微分方程的标准形式,它是一个二它是一个二 阶齐次常系数线性微分方程阶齐次常系数线性微分方程 两端除以两端除以m，并令，并令： m kxx c x m o x x n称为衰称为衰 减系数减系数 rt ex 02 2 0 2 nrr 2 0 2 2, 1 nnr 该方程通解为：该方程通解为：

5、trtr eCeCx 21 21 其解可设为：其解可设为： 代入（代入（1 1）式，得到特征方程）式，得到特征方程： 两个特征根为：两个特征根为： 02 2 0 xxnx （1 1） 特征根特征根 为实数或复数时，运动规律有很大为实数或复数时，运动规律有很大 不同，因此下面按不同，因此下面按n0和和n=0三种不同情形分别进行讨论。三种不同情形分别进行讨论。 2 0 2 2, 1 nnr 当当n0时，时， 特征根特征根 为为共轭复数共轭复数，即：，即： 22 01 ninr 22 02 ninr 微分方程的解微分方程的解 可以表示为：可以表示为： 2 0 2 2, 1 nnr 3.3.小阻尼情形

6、小阻尼情形 阻尼较小，称为小阻尼情形。阻尼较小，称为小阻尼情形。 m c n 2 )sin( 22 0 tnAex nt )sin( tAex d nt 其中：其中：A和和为两个积分常数，由运动的初始条件确定为两个积分常数，由运动的初始条件确定 22 0 n d 或或 称有阻尼自由振动的圆频率称有阻尼自由振动的圆频率 ；其中其中 trtr eCeCx 21 21 当当初瞬时初瞬时t=0，质点的坐标为，质点的坐标为x=x0 速度速度v= ;可求得有阻尼自可求得有阻尼自 由振动中的振幅和相位：由振动中的振幅和相位： )sin( tAex d nt 00 22 0 arctan nxx nx n 这

7、种振动的这种振动的 振幅是随时间振幅是随时间 不断衰减的，不断衰减的， 称为衰减振动称为衰减振动。 衰减振动的运衰减振动的运 动图线如图所动图线如图所 示。示。 x t A0 x d T d nt Ae 1 A 2 A 3 A 22 0 2 00 2 0 )( n nxx xA 0 x 衰减曲线的包络线衰减曲线的包络线 由衰减振动的表达式由衰减振动的表达式： 但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特 点。我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所点。我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所 需的时间称为需的时间称为衰

8、减振动的周期衰减振动的周期，记为，记为Td ，如上图所示。，如上图所示。 )sin( tAex d nt x t A0 x d T d nt Ae 1 A 2 A 3 A 这种振动不符合周期振这种振动不符合周期振 动动 的定的定 义，所以义，所以不是周期振动不是周期振动。 )()(nTtftf 称为阻尼比称为阻尼比。它是振动系统中反映阻尼特性的重要参数。它是振动系统中反映阻尼特性的重要参数。 在小阻尼情形下，在小阻尼情形下，1, ,有阻尼自由振动周期有阻尼自由振动周期Td、频率、频率fd和圆频率和圆频率 d与相应的无阻尼自由振动的与相应的无阻尼自由振动的T 、f和和0的关系：的关系： 2 1

9、T Td 2 1 ff d 2 0 1 d 表明：表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频 率减小率减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为： 其中：其中： mk cn 2 0 d =0 ， Td =T 2 0 2 0 0 22 0 1 2 )(1 2 - 22 n n T d d 阻尼对周期的影响阻尼对周期的影响 i nt i AeA 经过一个周期经过一个周期Td，系统到达另一个，系统到达另一个 比前者略小的最大偏离值比前者略小的最大偏离值Ai+1 这两个相邻这两个相邻 振幅之比为振幅之比

10、为: : )( 1 di Ttn i AeA d di i nT Ttn nt i i e Ae Ae A A )( 1 设在某瞬时设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为，振动达到的最大偏离值为Ai有有: : 由衰减振动运动规律：由衰减振动运动规律：)sin( 22 0 tnAex nt Ae-nt相当于振幅相当于振幅 称为振幅系数称为振幅系数。任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减振任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减振 动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。 Ai+1 Ai 阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响 2 0 1 2 d T mk cn 2 0

11、2 1 2 1 2 22 0 n 上式表明：上式表明：对数减缩率对数减缩率与阻尼比与阻尼比之间只差之间只差2倍，倍，也是反映阻尼也是反映阻尼 特性的一个参数。特性的一个参数。 d nT nTelnln 称为对数减缩系数称为对数减缩系数 两端取自然对数得两端取自然对数得 d di i nT Ttn nt i i e Ae Ae A A )( 1 由由 对数减缩率对数减缩率与阻尼比与阻尼比之间的关系为：之间的关系为： （ 21 ） 其中其中 例例 在欠阻尼（在欠阻尼（ 1）的系统中，在振幅衰）的系统中，在振幅衰 减曲线的包络线上，已测得相隔减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的个周期的 两点两点P

12、、R的幅值之比的幅值之比xP/xR=r r，如图所示，如图所示， 试确定此振动系统的阻尼比试确定此振动系统的阻尼比 。 解解：振动衰减曲线的包络线方程为振动衰减曲线的包络线方程为 nt Ax e 设设P、R两点在包络线上的幅值为两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有，则有 r d nNT R P x x e 当当 21 具有具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。 因此质量因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动， 临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现

13、临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现 反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而 且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然，且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然， 只有临界阻尼器才能满足这种要求。只有临界阻尼器才能满足这种要求。 t 当当n0( 1)时，称为大阻尼情形。此时阻尼系数时，称为大阻尼情形。此时阻尼系数c cc ;在这在这 种情形下，特征方程的根为两个不等的实根，种情形下，特征方程的根为两个不等的实根，即：即： 2 0 2 1 nnr 2 0 2 2 nnr 微分方程的

14、解为微分方程的解为 )( 2 0 22 0 2 21 tntn nt eCeCex 其中其中C1、 C2为两个积分常数，由运动起始条件来确定，运动图为两个积分常数，由运动起始条件来确定，运动图 线如下图所示，线如下图所示，也不再具有振动性质也不再具有振动性质。 x tO 0 x 0 0 0 0 x x x tO 0 x 较小|0 0 00 0 xx x x tO 0 x 较大|0 0 00 0 xx x 例例. 图示弹簧质量阻尼系统，其物块质量为图示弹簧质量阻尼系统，其物块质量为0.05 kg，弹簧刚度，弹簧刚度 k=2000 N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅之比为：。使系统发生

15、自由振动，测得其相邻两个振幅之比为： 98/100/ 1 ii AA, ,求系统的临界阻尼系数和阻尼系数各为多少求系统的临界阻尼系数和阻尼系数各为多少？ kc m c F k F m O x x 解：解： 1 ln i i A A 求出对数减缩率求出对数减缩率: : 0202.0 98 100 ln 阻尼比为阻尼比为: : 003215. 0 2 系统的临界阻尼系数为系统的临界阻尼系数为: : msNmkcc/20200005. 022 阻尼系数阻尼系数: :msNcc c /0643. 0 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 *例：阻尼缓冲器例：阻尼缓冲器 静载荷静载荷 P 去除后质量块越过平衡位去除

16、后质量块越过平衡位 置的最大位移为初始位移的置的最大位移为初始位移的 10 求：求： 缓冲器的相对阻尼系数缓冲器的相对阻尼系数 k c x 0 x0 P m 平衡位置平衡位置 解：解： 由题知由题知 0)0( x 设设 0 )0(xx )sincos()( 000 0 0 t xx txetx d d d t 求导求导 ： te x tx d t d sin)( 0 0 2 0 设在时刻设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为： 0sin)( 1 0 2 0 10 te x tx d t d d t 1 即经过半个周期后出现第一个振幅即经过半个周期后出现第一个振幅 x1 2 10 1 0011 )( exextxx t k c x 0 x0 P m 平衡位置平衡位置 由题知由题知 %10 2 1 0 1 e x x 解得：解得：59. 0 2 10 1 0011 )( exextxx t 例：例： 刚杆质量不计刚杆质量不计 求：求： （1）写出运动微分方程）写出运动微分方程 （2）临界阻尼系数，阻尼固有频率）临界阻尼系数，阻尼固有频率 小球质量小球质量 m l a k c