材料力学第五章 弯曲强度1

1、材料力学材料力学9 何斌 2021年6月23日星期三 Page 2 何斌何斌 材料力学 Page 3 何斌何斌 材料力学 Page 4 何斌何斌 材料力学 实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能 力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。 拉压拉压：, FFl l AEA 扭转：扭转： m ax , PPP TTTl IWGI 弯曲：弯曲：max , zz MyM IW A, IP, WP, Iz, Wz表征截表征截 面几何性质的面几何性质的 量量 Page

2、5 何斌何斌 材料力学 Page 6 何斌何斌 材料力学 一、一、 静矩静矩 z A y A SydA SzdA z y o y z dA 积分积分 分别称为对坐标轴分别称为对坐标轴z和和y的静矩的静矩 或一次矩。或一次矩。 静矩的量纲：静矩的量纲： 3 L Page 7 何斌何斌 材料力学 二二. . 形心形心 回顾理论力学的回顾理论力学的 质心计算公式：质心计算公式： V c ydm y M AA c hydAydA y hAA zcyc Sy A Sz A z y o y z dA C zc yc 均质等厚薄板质均质等厚薄板质 心位于中面形心心位于中面形心 , zy AA SydASzd

3、A 静矩静矩： , y z cc SS yz AA 或或 如果截面对某轴的静矩为零，则该轴为形心轴。如果截面对某轴的静矩为零，则该轴为形心轴。 形心轴：通过截面形心的坐标轴。形心轴：通过截面形心的坐标轴。 Page 8 何斌何斌 材料力学 三、三、 组合截面的静矩与形心组合截面的静矩与形心 z A AAA ccc SydA ydAydAydA yAyAyA 23 1 123 123 123 z y o A1 A2 A3 11 i nn ici zii c SyA S y AAA z y o A1 A2 ()() zzz SSS 整整孔孔 ()() ()() zz c SS y AA 整整孔孔

4、整整孔孔 负面积法负面积法 Page 9 何斌何斌 材料力学 例例: 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。轴的静矩。 解：解：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条， )()(yh h b yb易求 yyh h b Ad)(d 因此 所以对所以对x轴的静矩为轴的静矩为 6 d)(d 2 0 bh yyyh h b Ay S h A x Ox y b(y ) ydy h b Page 10 何斌何斌 材料力学 例：例： 确定下图所示截面的形心位置确定下图所示截面的形心位置 60 10 50 10 y zA1 A2 1122 12 cc c y

5、AyA y AA 解：解：将截面分为两部分，将截面分为两部分， 利用组合截面的公式：利用组合截面的公式： Page 11 何斌何斌 材料力学 Page 12 何斌何斌 材料力学 z y o y z dA 22 , zy AA Iy dAIz dA 2 p A IdA 一、一、 截面对截面对o点的极惯性矩或二次极矩点的极惯性矩或二次极矩 二、二、 截面对截面对z轴或轴或y轴的惯性矩轴的惯性矩 或二次轴矩或二次轴矩 三、三、 一个恒等式一个恒等式 222 () pzy IIIzy Page 13 何斌何斌 材料力学 z y o y z dA 五、五、 截面对截面对z轴或轴或y轴的惯性半径轴的惯性半

6、径 , y z yz II ii AA 四、四、 截面对截面对z轴与轴与y轴的惯性积轴的惯性积 yz A IyzdA 六、六、 惯性矩与惯性积的组合截面公式惯性矩与惯性积的组合截面公式 z y o A1 A2 A3 y 111 , nnn zziyiyzyzi iii IIIIII Page 14 何斌何斌 材料力学 0 0 或或 0 0 0 z y O dA y z Page 15 何斌何斌 材料力学 例例: 试计算图试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x 和和y的惯性矩。的惯性矩。 解：解：取平行于 取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条， 则则 d

7、A=b dy 12 dd 3 2 2 22 bh ybyAy I h h A x 同理同理 12 3 hb Iy y h C x dy y b (a) Page 16 何斌何斌 材料力学 已知：已知：圆截面直径圆截面直径d 求：求：Iy， Iz， IP d r dr dA C y z 解：解：取圆环微元面积取圆环微元面积 Page 17 何斌何斌 材料力学 Page 18 何斌何斌 材料力学 设有面积为设有面积为A的任意形状的截面。的任意形状的截面。 C为其形心，为其形心，Cxcyc为形心坐标为形心坐标 系。与该形心坐标轴分别平行系。与该形心坐标轴分别平行 的任意坐标系为的任意坐标系为Oxy

8、,形心形心C在在 在在Oxy坐标系下的坐标为坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元任意微面元dA在两坐标系在两坐标系 下的坐标关系为：下的坐标关系为： ayybxx CC a yc y xc x C O b dAxc yc y x Page 19 何斌何斌 材料力学 Aa I AayAa I AaAyaAy AayAy I c c x c x AA c A c A c A x 2 2 2 2 22 2 dd2d dd 同理，有：同理，有： AaII c xx 2 AbII c yy 2 abAII ccy xxy （此为此为平行移轴公式平行移轴公式 ） 注意：注意： 式中的式中的a、b代表

9、坐标值，有时可能取负值。代表坐标值，有时可能取负值。 等号右边各首项为相对于形心轴的量。等号右边各首项为相对于形心轴的量。 Page 20 何斌何斌 材料力学 Page 21 何斌何斌 材料力学 任意面元任意面元dA 在旧坐标系在旧坐标系oxy和和 新坐标系新坐标系ox1y1的关系为：的关系为： sincos sincos 1 1 xyy yxx 代入代入惯性矩惯性矩的定义式：的定义式： AyI A x d 2 1 1 x y O x y x y 1 1 A B C D E dA x y1 1 Page 22 何斌何斌 材料力学 cossin2sincos dcossin2 dsindcos

10、22 2222 1 xyyx AAA x III AxyAxAyI 利用二倍角函数代入上式，得利用二倍角函数代入上式，得转轴公式转轴公式 ： 2cos2sin 2 2sin2cos 22 2sin2cos 22 11 1 1 xy yx yx xy yxyx y xy yxyx x I II I I IIII I I IIII I Page 23 何斌何斌 材料力学 注：注： 上式中的上式中的 的符号为：从旧轴的符号为：从旧轴x至新轴至新轴x1逆时针为正，逆时针为正， 顺时针为负。顺时针为负。 yxyx IIII 11 （上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直（上式表明，截面对于通过同

11、一点的任意一对相互垂直 的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐 标原点的极惯性矩标原点的极惯性矩 ） 将前两式相加得将前两式相加得 Page 24 何斌何斌 材料力学 Page 25 何斌何斌 材料力学 由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性 积将随着积将随着 角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一 特定的角度特定的角度 0，使截面对于新坐标轴，使截面对于新坐标轴x0、y0的惯性积等于的惯性积等于 零。零。 (1) 主惯性轴主惯性轴: :截面对其

12、惯性积等于截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。的一对坐标轴。 (2) 主惯性矩主惯性矩: :截面对于主惯性轴的惯性矩。截面对于主惯性轴的惯性矩。 (3) 形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的 形心重合时。形心重合时。 (4) 形心主惯性矩形心主惯性矩: :截面对于形心主惯性轴的惯性矩。截面对于形心主惯性轴的惯性矩。 Page 26 何斌何斌 材料力学 确定确定主惯性轴主惯性轴的位置的位置 设设 0 0是旧轴是旧轴x 逆时针转向逆时针转向主惯性主惯性轴轴x0的角度，则由的角度，则由惯性惯性 积的转轴公式及主惯性轴的定义，得积的转轴公式及主惯性轴的定义

13、，得 02cos2sin 2 00 xy yx I II 可改写为可改写为 yx xy II I 2 2tan 0 （注：将负号置于分子上有利于确定（注：将负号置于分子上有利于确定2 0 0角的象限）角的象限） Page 27 何斌何斌 材料力学 由上面由上面tan2 0的表达式求出的表达式求出cos2 0、 、sin2 0后，再代入 后，再代入 惯性矩的转轴公式惯性矩的转轴公式 ，化简后可得，化简后可得主惯性矩的计算公式：主惯性矩的计算公式： I II II I xy yx yx x 2 2 4 2 1 2 0 I II II I xy yx yx y 2 2 4 2 1 2 0 极大值Im

14、ax 极小值Imin Page 28 何斌何斌 材料力学 几个结论几个结论 若截面有一根对称轴，则此轴即为形心若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，主惯性轴之一， 另一另一形心形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。 若若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。主惯性轴。 若若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心 主惯性轴，且主惯性矩相等。主惯性轴，且主惯性矩相等。 Page 29 何斌何斌 材料力学 Page 30 何斌何斌 材料力学 Page 31 何

15、斌何斌 材料力学 将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位 置。置。 以形心为坐标原点，设以形心为坐标原点，设Oyz坐标系，坐标系，y、z 轴轴 一般与简单图一般与简单图 形的形心主轴平行。确定简形的形心主轴平行。确定简 单图形对自身形心轴的惯性矩，利单图形对自身形心轴的惯性矩，利 用移轴用移轴 定理（必要时用转轴定理）确定各个简单定理（必要时用转轴定理）确定各个简单 图形对图形对y、z轴轴 的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的 Iy、Iz 和和Iyz。 计算

16、形心主惯性矩计算形心主惯性矩Iy0和和Iz0。 确定形心主轴的位置，即形心主轴与确定形心主轴的位置，即形心主轴与 z 轴的夹角。轴的夹角。 Page 32 何斌何斌 材料力学 例题例题 已知：已知：图形尺图形尺 寸如图所示。寸如图所示。 求：求：图形的形图形的形 心主矩心主矩 50 27030 300 解解 ：1 1将所给图形分解为简单图形的组合将所给图形分解为简单图形的组合 C1 C2 2.2.建立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置 Page 33 何斌何斌 材料力学 例题例题 Iy0=Iy0()+Iy0(II) 90 C1 C2 C y z 150 60 3. 3. 确定形心

17、主惯性矩确定形心主惯性矩 y0 z0 Page 34 何斌何斌 材料力学 例题例题 Iz0=Iz0()+Iz0() 3. 3. 确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩 90 C1 C2 C y z 150 60 y0 z0 Page 35 何斌何斌 材料力学 思考思考：O为直角三角形为直角三角形ABD斜边上的中点，斜边上的中点，x、y轴为过点轴为过点 且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩 有四种答案有四种答案(已知已知ba)： （A）Ixy （B） Ixy (C) Ixy= （D） Ix=Iy 正确答案是正确答案是(C) x A B D y O a b Page 36 何斌何斌 材料力学 思考：等腰直角三角形如图所示，思考：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点轴是过斜边中点 的任意一对坐标轴（即图中的任意一对坐标轴（即图中 为任意值），该图形的为任意值），该图形的: : (1)(1)惯性积惯性积Ixy (2)(2)惯性矩惯性矩I Ix 、 I Iy。 y x a a 答案：答案：0；a4/24; a4/24 Page 37 何斌何斌 材料力学 1. 静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系中的