第七章弯曲应力(新模板)

1、湘潭大学土木工程与力学学院 第七章第七章 弯曲应力 (Bending Stress) 湘潭大学土木工程与力学学院 7.1 概述概述 7.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 7.4 横力弯曲时的正应力、正应力强度条件横力弯曲时的正应力、正应力强度条件 7.5 弯曲剪应力及其强度条件弯曲剪应力及其强度条件 7.7 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 湘潭大学土木工程与力学学院 7.1 概述 湘潭大学土木工程与力学学院 弯曲时梁的横截面上一般同时存在着两种内力 剪力Q和弯矩M，这些内力皆是该截面内力系合成的 结果。由于剪力Q是和横截面相切的内力，所以它是 与横截面相切的剪应力

2、t 的合力；而弯矩M作用面则是 与横截面垂直的力偶矩，故它是由与横截面上垂直的 正应力s 合成的结果。总之，由于梁的横截面上一般 同时存在弯矩和剪力，所以，梁的横截面上一般即有 正应力s ，又有剪应力t 。本章将分别讨论正应力s 和 剪应力t 在横截面上的分布规律及其计算。 湘潭大学土木工程与力学学院 7.2 纯弯曲时梁横纯弯曲时梁横 截面上的正应力截面上的正应力 湘潭大学土木工程与力学学院 7.2.1 纯弯曲纯弯曲(pure bending) 下图CD段称为纯弯曲 M Pa x x P P Q PP aa aa x x A A C C D B BD P P 湘潭大学土木工程与力学学院 con

3、stant 0 M Q 其它段(如AC、DB)剪力不为零，则称为剪切弯曲剪切弯曲 或横力弯曲横力弯曲。 在CD段 湘潭大学土木工程与力学学院 7.2.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 (a) (b) m m 现象：梁上的纵向线（包 括轴线）都弯曲成圆弧曲线， 靠近凹侧一边的纵向线缩短， 而靠近凸侧一边的纵向线伸长； 梁上的横线仍为直线，各横线 间发生相对转动，不再相互平 行，但仍与梁弯曲后的轴线垂 直。在梁的纵线伸长区，梁的 宽度减小；而在梁的纵线缩短 区，梁的宽度增大。 湘潭大学土木工程与力学学院 假设梁的横截面在纯弯曲变形后仍保 持平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截

4、 面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一 个角度。这就是弯曲变形的平面假设。 平面假设 湘潭大学土木工程与力学学院 假设梁的纵向纤维 间无挤压，只是发生了 简单的轴向拉伸或压缩 。 中性层 中性轴 横截面对称轴 纵向对称面 从纵向纤维伸长区到 缩短区，梁内必有一层纤 维既不伸长，又不缩短。 这一纤维层，称为中性层。 中性层与横截面的交线， 称为中性轴 。 湘潭大学土木工程与力学学院 。，使一点 内必有异号，则在与连续，且在设 0 , f babfafbaxf 介值定理： 湘潭大学土木工程与力学学院 湘潭大学土木工程与力学学院 1. 几何关系 图示dx微段，其中x轴为假设的中性轴(待确定)，所以O

5、1O2 在变形前后长度不变，而变形后的弧段O1O2的转角为dq，考虑 线段ab在变形后的线应变， dd dd y ydx ababyy xab q q q （ 对给定截面曲率半径 为常数，所以y y ，也就是说截面上 某点的应变与该点到轴线的距离成正比。 y y 湘潭大学土木工程与力学学院 )(a 21 ab 21 1 o 2 o y x dx y 12 a 1 o 2 o b y 12 dx dq z )(b y E E s 2. 物理关系 湘潭大学土木工程与力学学院 y AA z A d0,d0 d NAMzA MyAM ss s z A dMyAMs 首先，有 2 dd z AA EEE

6、 Myy AyAI y I M E z s 3. 静力关系 z y z x dAs y o 湘潭大学土木工程与力学学院 横截面上点的应力与该点 到中性轴的距离y成正比。其 分布图如右示。 ddd0 z AAA EEE NAy Ay ASs M y z 可见z为过形心的轴。 d0 A NAs 考虑 湘潭大学土木工程与力学学院 00 yzyz A y II E dA Ey zM，则有同样考虑 说明y、z为主惯性轴，从而它们为形心主惯性轴。 湘潭大学土木工程与力学学院 zz W M I My max max s maxz yIW z 其中 是构件横截面的几何性质，称为抗弯截面模量（或截 面系数），量

7、纲为长度3。 M y z 7.2.3 梁横截面上的最大正应力 湘潭大学土木工程与力学学院 对于高为h，宽为b的矩形截面，抗弯截面模量为 6212 23 max z z bhhbh y I W 32264 34 max z z ddd y I W 直径为d的圆形截面 湘潭大学土木工程与力学学院 若梁的横截面对中性轴不 对称，则其截面上的最大拉应 力和最大压应力并不相等，如 右图示中的T形截面。这时， 应把y1和y2分别代入公式，计 算截面上的最大正应力，最大 拉应力为 z 1 maxt I My s 最大压应力为： z 2 maxc I My s z M y 2 y 1 y x maxt s m

8、axc s 湘潭大学土木工程与力学学院 7.4 横力弯曲时的正应力、正应力强度条件 湘潭大学土木工程与力学学院 7.4.1 横力弯曲时的正应力 横力弯曲时，由于横截面上存在剪应力而且并非均 匀分布，所以，弯曲时横截面将发生翘曲，这势必使横 截面再不能保持为平面(平面假设不适用)。特别是当剪 力随截面位置变化时，相邻两截面的翘曲程度也不一样。 这时，截面上除有因弯矩而产生的正应力外，还将产生 附加正应力(纵向纤维无挤压假设不满足)。另外，分布 载荷作用下的横力弯曲，纵向纤维之间也是存在正应力 的。 湘潭大学土木工程与力学学院 弹性理论表明，对于横力弯曲时的细长梁，即 截面高度远小于跨度的梁，横截

9、面上的上述附加正 应力和纵向纤维间的正应力都是非常微小的。这时 可以采用纯弯曲时梁横截面上的正应力公式来近似 z I My s 湘潭大学土木工程与力学学院 7.4.2 弯曲正应力强度条件及其应用 ss z max W M 对于铸铁等这一类抗拉和抗压的能力不同脆性 材料，工程上常将此种梁的横截面做成如T字形等对 中性轴不对称的截面，其最大拉应力和最大压应力 的强度条件分别为 湘潭大学土木工程与力学学院 t tmaxt z c cmaxc z () () My I My I ss ss 和最大压应力点的坐标 分别表示最大拉应力、 ct yy z M y 2 y 1 y x maxt s maxc

10、s 湘潭大学土木工程与力学学院 例题例题 图示所示外伸梁，用铸铁制成，截面为T字形， 已知梁的载荷P1=10kN，P2=4kN，铸铁的许用应力st =30MPa， sc =100MPa。截面的尺寸如图所示，试 校核此梁的强度。 m1m1m1 1 P 2 P A C B B R A R 1 y 2 y z y 20 20 120 90 湘潭大学土木工程与力学学院 Nk11kN,3 BA RR 解 计算梁的支反力并作弯矩图 mkN4 mkN3 - max max M M )(b )(a m1m1m1 1 P 2 P A C B B R A R mkN3 M mkN4 x 作梁的弯矩图如图所示 湘潭

11、大学土木工程与力学学院 mm50 201209020 8020120109020 2C yy 46 2 3 2 3 z m1089. 7 3020120 12 12020 402090 12 2090 I 确定截面形心位置并计算形心惯性矩 湘潭大学土木工程与力学学院 分别校核铸铁梁的拉伸和压缩强度 在B截面(上拉下压) )(c C M 1 y 2 y B M 33 B2 tmaxt 6 z 4 1050 10 25.1MPa 7.98 10 M y I ss 33 B1 cmaxc 6 z 4 1090 10 45.1MPa 7.98 10 M y I ss 湘潭大学土木工程与力学学院 33

12、c2 cmaxc 6 z 3 1050 10 18.8MPa 7.98 10 M y I ss 33 c1 tmaxt 6 z 3 1090 10 33.8MPa 7.98 10 M y I ss 在C截面(上压下拉) )(c C M 1 y 2 y B M 湘潭大学土木工程与力学学院 7.5 弯曲剪应力及其强度条件 湘潭大学土木工程与力学学院 )(a dx n 1 n m1 m 7.5.1 弯曲剪应力 矩形截面梁的弯曲剪应力 湘潭大学土木工程与力学学院 横力弯曲的矩形截面梁任一横截 面上剪力与纵向对称轴重合。当截 面高度大于宽度时，关于矩形截面 上的剪应力分布规律，可作如下假 设： v截面上

13、任意一点的剪应力都平行 于剪力的方向。 v剪应力沿截面宽度均匀分布，即 剪应力的大小只与坐标y有关。 )(b h Q b z x y p 1 p t y 湘潭大学土木工程与力学学院 湘潭大学土木工程与力学学院 在基本假设基础上矩形截面上点的剪应力分 布分析图在右边图形中，pq1面上的应力是均匀分 布的，它等于截面上离中性轴距离为y的点处的剪 应力（剪应力互等定理）。或者说在横截面上， 剪应力沿z轴方向均匀分布，而沿y轴方向的分布 是未知的待求。 湘潭大学土木工程与力学学院 m 1 m n 1 n MdMM QQ x dx 1 mm n 1 n 1 y x p 1 p 1 s 2 s t y y

14、 2 y 2h 湘潭大学土木工程与力学学院 为确定横截面上剪应 力沿y轴方向的分布，选取 pp1n1n作为研究对象，先研 究各面上的内力合力。 1 y p 1 p t 2h 2 N 1 N 1dA s y z dx b n 1 n 11 * 1 zz d d * * A z A NA MM y AS II s 湘潭大学土木工程与力学学院 A*为横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积， 记 * z1d* A Sy A * z z 2 S I dMM N 1 y p 1 p t 2h 2 N 1 N 1dA s y z dx b n 1 n 湘潭大学土木工程与力学学院 21 0,d0XNNb x

15、t * zz zz d d0 MMM SSb x II t * z z d d SM x bI t 将N1、N2代入上式得 1 mm n 1 n x p 1 p 1 s 2 s t y y 2h 1 N 2 N 湘潭大学土木工程与力学学院 d d M Q x z * z bI QS t 故有 由载荷集度与截面内力关系知 此即为横截面上剪应力分布规律 湘潭大学土木工程与力学学院 * z1 2 2 2 11 d d 24 * A b y Sy A b h by yy 2 2 42 y h I Q z t max t 2h 2h b * Ay 1 dy y 1 y z 对图示矩形截面 z I Qh

16、y h y 8 , 0; 0, 2 2 max tt 湘潭大学土木工程与力学学院 ，得到进一步，考虑到 12 3 z bh I tt 2 3 2 3 2 3 max A Q bh Q 的平均应力。是按实用计算方式得到其中t 湘潭大学土木工程与力学学院 2 2 42 y h GI Q z 横截面上的剪应变分析 翘曲 可见，剪应变 沿矩形截面的高度同样按抛物线 规律变化。 由剪切Hooke定律，得 湘潭大学土木工程与力学学院 0, 2 8 , 0 2 max h y GI Qh y z 所以，横力弯曲时由于截面上有剪力，横截面将 发生翘曲(不翘曲的条件是纤维沿高度作线性变化)。 这时，梁的纯弯曲正

17、应力公式将受到影响(不符合平 面假设)，这种影响在第一节中已作了较详细的说明。 湘潭大学土木工程与力学学院 对圆形与工字形这 一类具有对称轴的截面， 其剪应力分布都比较复 杂，而在材料力学中， 我们关心的往往是最大 剪应力。这里我们给出 对这类截面问题分析的 结论。 圆形与工字形截面梁的弯曲剪应力 湘潭大学土木工程与力学学院 A Q k max t ，工字性、箱形，圆形；矩形；134,23kkk 具有对称性截面的 梁，其最大剪应力往往 发生在中性轴处，且可 写为 翼缘 B max t min t y z b y hH腹板 其中k称为截面系数 湘潭大学土木工程与力学学院 几点说明 v对于工字钢，

18、其面积指的是腹板部分的面积，在 查型钢表计算时使用公式A=d(h-2t)。 v对于工字钢而言，其腹板部分主要承受剪力(约 97%)，而翼缘部分主要承受弯矩 (也是约97%)。所 以在用经验公式计算最大剪应力时，不计翼缘的面 积。 湘潭大学土木工程与力学学院 例题例题 试比较图示受均布载荷q作用的矩形截面梁的 最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力。 q B R lA R AB h b z 湘潭大学土木工程与力学学院 解 计算支反力并作 内力图 2 2 ql )(c )(a q l A R A B B R 2 ql 2 ql )(b 2 ql RR BA 8 , 2 2 maxmax ql M ql Q

19、 湘潭大学土木工程与力学学院 计算梁的最大应力在梁的中间截面上的上、下边缘 处有最大弯曲正应力 2 2 z max max 4 3 bh ql W M s bh ql bh Q 4 3 2 3 max max t h l bh ql bh ql 4 3 4 3 2 2 max max t s 湘潭大学土木工程与力学学院 z max * zmax max tt bI SQ max max tt A Q k 7.5.2 弯曲剪应力强度条件 或 湘潭大学土木工程与力学学院 例题 图示简易吊车梁，最大起重量（包括电葫芦 的自重）为P=30kN，梁的跨度l=5m，许用应力s =160MPa，t=100M

20、Pa，试选择该工字钢梁的型号。 湘潭大学土木工程与力学学院 解：吊车梁为工字钢， 属于细长薄壁截面梁， 因此，应先用梁的正应 力强度条件选择工字钢 的型号，然后再用梁的 剪应力强度条件进行校 核。 max M M P Q max Q 湘潭大学土木工程与力学学院 用正应力强度条件选择工字钢 的型号，梁的弯矩图如右。 mkN5 .37530 4 1 4 max Pl M 3 6 3 max cm234 10160 105 .37 s M Wz 由梁的强度条件，有 max M M 查型钢表知，应选20a号工字钢，其Wz=237cm3。 湘潭大学土木工程与力学学院 校核梁的剪应力强度 当 起吊重物移至

21、支座附近时， 该处截面上剪力为最大，其 极限情况的剪力图如图e所 示。最大剪力为： PRQ Amax P Q max Q 湘潭大学土木工程与力学学院 查型钢表可知20a号工字钢的腹板d=7mm， cm2 .17 * z SI z MPa9 .24 102 .17107 1030 23 3 * z z max t t S I d Q 因此，选择20a号工字钢是合适的。 湘潭大学土木工程与力学学院 弯曲 应力 弯曲正 应力 弯曲剪 应力 y I M z s z max * zmax max bI SQ t A Q k max max t 以矩形截面承受正 的弯矩和剪力为例 maxc s maxt

22、s max t 湘潭大学土木工程与力学学院 maxc s maxt s max t ss z max W M tt tt A Q k bI SQ max max z max * zmax max 思考： 对上述矩形梁截面的正应力和剪应力极值点我们分别建立了 相应的强度条件，那么它们是不是就是最危险的点呢？而对 于除中性层和上下边沿点以外的其它即存在正应力同时存在 剪应力的点是否可能是危险点呢？如果是，应该怎样确定其 特征应力？ 湘潭大学土木工程与力学学院 7.7 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 湘潭大学土木工程与力学学院 提高梁的静强度的措施 由梁弯曲的正应力和剪应力强度条件在细长梁中前

23、者占主 要地位，或者说前者处于支配地位，所以要控制梁的静强度应 以弯曲正应力强度条件来确定。 ss z max W M 根据弯曲正应力强度条件，具体地，我们有如下措施 v尽量降低梁的弯矩尽量降低梁的弯矩 v提高梁的抗弯截面模量提高梁的抗弯截面模量 v同时降低梁的弯矩和提高抗弯截面模量同时降低梁的弯矩和提高抗弯截面模量等强度梁等强度梁 湘潭大学土木工程与力学学院 ss z max W M 降低M降低smax 提高Wz降低smax 同时降低M 和提高Wz 目的smax=s 物尽其用 湘潭大学土木工程与力学学院 7.7.1 合理安排梁的支承及载荷 弯矩的降低幅值 %80 5 4 81 40181 x

24、 8 2 ql l q q l l 2 . 0l 2 . 0 M 40 2 ql x 50 2 ql 1. 合力布置梁的支座 湘潭大学土木工程与力学学院 工程实例 湘潭大学土木工程与力学学院 P4l43l 163Pl 2. 合理布置载荷 使集中载荷尽量靠近支座 尽可能把较大的集中力分散为较小的力，或者改变成 分布载荷 弯矩降低幅 度25% 4Pl P 2l2l 湘潭大学土木工程与力学学院 2P2P 4l4l 8Pl 降低50% lPq 8Pl 降低50% 湘潭大学土木工程与力学学院 7.7.2 梁的合理截面 1. 根据截面的几何特性选择截面 为了减轻梁的自重、节省材料，梁所采用的截面 形状应该

25、是横截面面积A较小，而抗弯截面模量Wz相 对地较大的合理截面。截面形状的合理性可用比值 Wz/A来衡量。 Wz/A比值越大，截面越合理。 湘潭大学土木工程与力学学院 矩形圆形圆环形槽钢工字钢 截面形状 0.167h0.125h0.205h (0.270.31)h A Wz 8 . 0 湘潭大学土木工程与力学学院 2 根据材料的性质选择合理截面 对于抗压与抗拉性能相同的塑性材料，工程中一 般采用矩形、工字形等对称于中性轴的截面。 对于像铸铁等脆性材料，由于抗拉能力低于抗压 能力，则适宜选用不对称于中性轴的截面，如T字形 截面等。此时，中性轴偏于截面一侧。而且，设计时 要有意识地使截面的中性轴偏于梁的受拉一侧。通过 设计截面尺寸，使梁的最大