第9章 内压薄壁容器的应力(4学时

1、1 第三章第三章 内压薄壁容器的应力分析内压薄壁容器的应力分析 教学重点：教学重点： 薄膜理论及其应用薄膜理论及其应用 教学难点：教学难点： 对容器的基本感性认识对容器的基本感性认识 2 2 . 1 1 . 0 0 ii D D K D 或 薄壁容器薄壁容器 容器的厚度与其最大截面圆的容器的厚度与其最大截面圆的内径之内径之 比小于比小于0.10.1的容器称为薄壁容器。的容器称为薄壁容器。 （超出这一范围的称为厚壁容器）（超出这一范围的称为厚壁容器） 第一节 回转壳体的应力分析回转壳体的应力分析薄膜应力理论薄膜应力理论 应力分析是强度设计中首先要解决的问题应力分析是强度设计中首先要解决的问题 3

2、 结论结论 在任何一个压力容器中，总在任何一个压力容器中，总 存在着两类不同性质的应力存在着两类不同性质的应力 1. 内压薄壁容器的结构与受力：内压薄壁容器的结构与受力： 2. 内压薄壁容器的变形：内压薄壁容器的变形： 3. 内压薄壁容器的内力内压薄壁容器的内力： m 一、薄膜容器及其应力特点一、薄膜容器及其应力特点 无力矩无力矩 理论求解理论求解 薄膜应力薄膜应力 边缘应力边缘应力 有力矩有力矩 理论求解理论求解 4 环向应力或周向应力，用环向应力或周向应力，用 表示，单位表示，单位MPa， 方向为垂直于纵向截面；方向为垂直于纵向截面； 轴向应力或经向应力，用轴向应力或经向应力，用 表示，单

3、位表示，单位MPa， 方向为垂直于横向截面；方向为垂直于横向截面； 由于厚度由于厚度 很小，认为很小，认为 、 都是沿壁厚均匀都是沿壁厚均匀 分布的，并把它们称为薄膜应力。分布的，并把它们称为薄膜应力。 m m 图图3-2内压薄膜圆筒壁内的两向应力内压薄膜圆筒壁内的两向应力 5 回转壳体回转壳体由回转曲面作中间面形成的壳体。由回转曲面作中间面形成的壳体。 回转曲面回转曲面 由平面直线或平面曲线绕其同平面内由平面直线或平面曲线绕其同平面内 的回转轴回转一周所形成的曲面。的回转轴回转一周所形成的曲面。 中中间面间面 平分壳体厚度的曲面称为壳体的中间平分壳体厚度的曲面称为壳体的中间 面。中间面与壳体

4、内外表面等距离，面。中间面与壳体内外表面等距离， 它代表了壳体的几何特性。它代表了壳体的几何特性。 二、基本概念与基本假设二、基本概念与基本假设 1、回转壳体中的基本的几何概念、回转壳体中的基本的几何概念 6 轴对称问题轴对称问题 几何形状几何形状 所受外力所受外力 约束条件约束条件 均对称于回转轴均对称于回转轴 化工用压力容器通常化工用压力容器通常 都属于轴对称问题都属于轴对称问题 本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体 7 母线母线 形成回转壳体中间面的形成回转壳体中间面的 那条直线或平面曲线。那条直线或平面曲线。 如图所示的回转壳体即如图所示的回转壳体即

5、 由平面曲线由平面曲线ABAB绕绕OAOA轴旋轴旋 转一周形成，平面曲线转一周形成，平面曲线 ABAB为该回转体的母线。为该回转体的母线。 注意：母线形状不同注意：母线形状不同 或与回转轴的相对位或与回转轴的相对位 置不同时，所形成的置不同时，所形成的 回转壳体形状不同。回转壳体形状不同。 图图3-3 回转壳体的几何特性回转壳体的几何特性 8 经线经线 通过回转轴的平面与中间通过回转轴的平面与中间 面的交线，如面的交线，如ABAB、 ABAB。 经线与母线形状完全相同经线与母线形状完全相同 法线法线 过中间面上的点过中间面上的点M M且垂直且垂直 于中间面的直线于中间面的直线n n称为中称为中

6、 间面在该点的法线。间面在该点的法线。 （法线的延长线必与回转（法线的延长线必与回转 轴相交）轴相交） 9 纬线纬线 以法线以法线NK为母线绕回转为母线绕回转 轴轴OA回转一周所形成的回转一周所形成的 园锥法截面与中间面的园锥法截面与中间面的 交线交线CND圆圆 K 平行圆：垂直于回转轴平行圆：垂直于回转轴 的平面与中间面的交线的平面与中间面的交线 称平行圆。显然，平行称平行圆。显然，平行 圆即纬线。圆即纬线。 10 第一曲率半径第一曲率半径R1 第二曲率半径第二曲率半径R2 中间面上任一点中间面上任一点M M 处经线的曲率处经线的曲率 半径为该点的半径为该点的“第一曲率半径第一曲率半径” ”

7、 2 3 2 1 1 y y R 11 MKR 通过经线上一点通过经线上一点M 的法线作垂直于经线的平面与中的法线作垂直于经线的平面与中 间面相割形成的曲线间面相割形成的曲线MEF，此曲线在此曲线在M 点处的曲率点处的曲率 半径称为该点的第二曲率半径半径称为该点的第二曲率半径R2 ，第二曲率半径的第二曲率半径的 中心落在回转轴上，其长度等于法线段中心落在回转轴上，其长度等于法线段MK2 。 22 MKR 11 曲率及其计算公式曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,s对应切线 , 定义 弧段 上的平均曲率s s K M M s 点 M 处的曲率 s K s 0 lim sd

8、 d 注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为 12 例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解解: 如图所示 , Rs s K s 0 lim R 1 s R M M 13 y tan) 22 ( 设 y arctan得 xyd)arctan(d x y y d 1 2 xysd1d 2 故曲率计算公式为 s K d d 2 3 )1( 2 y y K 又 曲率曲率K 的计算公式的计算公式 )(xfy 二阶可导,设曲线弧 则由 14 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 T y xo ),(D ),(yxM C 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 K DM 1 把以

9、 D 为中心, 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 , 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心. M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 15 小位移假设小位移假设 直法线假设直法线假设 不挤压假设不挤压假设 壳体受力后，壳体中各点的位移远壳体受力后，壳体中各点的位移远 小于壁厚小于壁厚 ，利用变形前尺寸代替利用变形前尺寸代替 变形后尺寸变形后尺寸 壳体在变形前垂直于中间面的直线壳体在变形前垂直于中间面的直线 段，在变形后仍保持为直线段，并段，在变形后仍保持为直线段，并 且垂直于变形后的中间面。且垂直于变形后的中间面。 壳体各层纤维变形前后均互不挤压壳体各层纤维变形前后均互不挤

10、压 假定材料具有连续性、均匀性和假定材料具有连续性、均匀性和 各向同性，即壳体是完全弹性的各向同性，即壳体是完全弹性的 2、无力矩理论基本假设、无力矩理论基本假设 16 经向应力，经向应力，MPa p p 工作压力，工作压力，MPa R R2 2 第二曲率半径， 第二曲率半径，mm 壁厚，壁厚，mm 用假想截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径用假想截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径D D 处有垂直于经线的处有垂直于经线的法向圆锥面法向圆锥面截开，取下部作脱离体，建截开，取下部作脱离体，建 立静力平衡方程式。立静力平衡方程式。 2 2 pR m 思考：为什么不能用横截面？思考：

11、为什么不能用横截面？ m 三、经向应力计算公式三、经向应力计算公式区域平衡方程式区域平衡方程式 1 1、截面法、截面法 17 Z轴上的合力为轴上的合力为Pz 作用在截面上应力的合力作用在截面上应力的合力 在在Z轴上的投影为轴上的投影为Nz 在在Z 方向的平衡方程方向的平衡方程 pDP z 2 4 sinDN mz 0 zz NP sin2 sin2 0sin 4 2 2 2 RD D R DpD m 2 2 pR m 2、回转壳体的经向应力分析回转壳体的经向应力分析 图图3-5 回转壳体上的径向应力分析回转壳体上的径向应力分析 18 p RR m 21 壳体的内外表面壳体的内外表面 两个相邻的

12、，通过壳两个相邻的，通过壳 体轴线的体轴线的 经线平面经线平面 两个相邻的，与壳体两个相邻的，与壳体 正交的园锥法截面正交的园锥法截面 经向应力经向应力,MPa 环向应力，环向应力，MPa p 工作压力工作压力.MPa R1 第一曲率半径，第一曲率半径，mm R2 第二曲率半径第二曲率半径,mm 壁厚，壁厚，mm m 四、环向应力计算公式四、环向应力计算公式微体平衡方程式微体平衡方程式 图图3-6 确定环向应力微元体的取法确定环向应力微元体的取法 1、截取微元体、截取微元体 19 微元体微元体abcd 的受力的受力 上下面：上下面： 内表面：内表面：p 环向截面：环向截面： m 微元体受力放大

13、图微元体受力放大图 图图3-7 微小单元体的应力及几何参数微小单元体的应力及几何参数 20 内压力内压力p在微体在微体abcd上所产生的外力上所产生的外力 的合力在法线的合力在法线n上的投影为上的投影为Pn 在在bc与与ad截面上经向应力截面上经向应力 的合力的合力 在法线在法线n上的投影为上的投影为Nmn 21 dlpdlP n 2 sin2 1 2 d SdlN mmn 在在ab与与cd截面上环向应力截面上环向应力 的合力的合力 在法线在法线n 上的投影为上的投影为 m n N 2 sin2 2 1 d SdlN n 2、回转壳体的经向环向应力分析、回转壳体的经向环向应力分析 图图3-8

14、回转壳体的环向应力分析回转壳体的环向应力分析 21 根据法线根据法线n n方向上力的平衡条方向上力的平衡条 件，得到件，得到 = 0 n N n P mn N 21 dlpdl - 2 sin2 1 2 d Sdl m - 2 sin2 2 1 d Sdl =0 （3-8） 因为微体的夹角很小，因此取 即即 =0 （3-8） 因为微体的夹角 2 d很小，因此取 2 sin 1 d 2 1 d = 1 1 2R dl 2 sin 2 d 2 2 d = 2 2 2R dl 代入式（3-8） ，并对各项均除以 微元体的夹角微元体的夹角 和和 很小，可取很小，可取 1 d 2 d （式1） 式式1

15、1各项均除以各项均除以 整理得整理得 2 sin 2 d 2 2 d 代入式（3-8） ，并对各项均除以 21 dlSdl ，整理得 p RR m 21 22 回转壳体曲面在几何上是轴对称回转壳体曲面在几何上是轴对称, ,壳体厚度无突变；曲壳体厚度无突变；曲 率半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能率半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能 （主要是（主要是E E和和）应当是相同的应当是相同的 载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的 壳体边界的固定形式应该是自由支承的壳体边界的固定形式应该是自由支承的 壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要

16、求在边界壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界 上无横剪力和弯矩上无横剪力和弯矩 /Di0.1 无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩 的作用。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又的作用。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又 称薄膜理论。称薄膜理论。 五、薄膜理论的适用条件五、薄膜理论的适用条件 23 p RR m 21 2 2 pR m 区域平衡方程式区域平衡方程式 微体平衡方程式微体平衡方程式 第二节第二节 薄膜理论的应用薄膜理论的应用 24 1 R， 2 2 D rR 由区域平衡方程式 一、受气体内压的圆筒形壳体一、受气体内压的

17、圆筒形壳体 图图3-9 受气体内压的圆筒形壳体受气体内压的圆筒形壳体 25 讨论讨论1：薄壁圆筒上开孔的有利形状：薄壁圆筒上开孔的有利形状 环向应力是经向应力环向应力是经向应力 的的2 2倍，所以环向承受应倍，所以环向承受应 力更大，环向上就要少削力更大，环向上就要少削 弱面积，故开设椭圆孔时，弱面积，故开设椭圆孔时， 椭圆孔之短轴平行于筒体椭圆孔之短轴平行于筒体 轴线，见图轴线，见图 图图3-10 薄壁圆筒上开孔薄壁圆筒上开孔 讨论讨论2：介质与压力一定，壁厚越大，是否应力就越小：介质与压力一定，壁厚越大，是否应力就越小 26 二、受气体内压的球形壳体二、受气体内压的球形壳体 讨论：对相同的

18、内压，球壳应力比同直径、讨论：对相同的内压，球壳应力比同直径、 同同 厚度的圆筒壳的应力有何不同呢？厚度的圆筒壳的应力有何不同呢？ 结论：对相同的内压，球壳的环向应力要比同结论：对相同的内压，球壳的环向应力要比同 直径、直径、 同厚度的圆筒壳的环向应力小一半，这同厚度的圆筒壳的环向应力小一半，这 是球壳显著的优点。是球壳显著的优点。 27 圆锥形壳半锥角为圆锥形壳半锥角为 ，A A点处半点处半 径径r r，厚度为厚度为，则在，则在A A点处：点处： cos 21 r RR cos2 pr m cos pr 三、受气体内压的锥形壳体三、受气体内压的锥形壳体 图图3-13 锥壳的应力分析锥壳的应力

19、分析 28 在锥形壳体大端在锥形壳体大端r r= =R R时，应力最大，在锥顶处，应力为零。因时，应力最大，在锥顶处，应力为零。因 此，一般在锥顶开孔。此，一般在锥顶开孔。 锥形壳体环向应力是经向锥形壳体环向应力是经向 应力两倍，随半锥角应力两倍，随半锥角a a的增的增 大而增大大而增大 角要选择合适，不宜太大角要选择合适，不宜太大 cos4 pD m cos2 pD 锥顶锥顶锥底各点应力锥底各点应力 图图3-14 锥形封头的应力分布锥形封头的应力分布 29 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 22 x a b by 椭圆壳经线为一椭椭圆壳经线为一椭 圆，圆，a a、b b分别为椭

20、分别为椭 圆的长短轴半径，圆的长短轴半径， 其曲线方程其曲线方程 y x a b y 2 2 / 32 4 / 1 ya b y 2 3 2 1 1 y y R ba baxa R 4 2/32224 1 )( 四、受气体内压的椭球壳四、受气体内压的椭球壳 1、第一曲率半径、第一曲率半径R1 30 如图，自任意点如图，自任意点A（x,y） 作经线的垂线，交回转轴作经线的垂线，交回转轴 于于O点，则点，则OA即为即为R2 ，根，根 据几何关系，可得据几何关系，可得 b baxa R 2/12224 2 )( 2、第二曲率半径第二曲率半径R2 图图3-11 椭球壳的应力分析椭球壳的应力分析 31

21、)( 2 )( 2 )( 2 2224 4 2224 2 2224 1 baxa a baxa b p baxa b p 把把R1和和R2的表达式代入微体平衡方程及区域平衡的表达式代入微体平衡方程及区域平衡 方程得：方程得： m a,b分别为椭球壳的长、短半径，分别为椭球壳的长、短半径，mm ; x 椭球壳上任意点距椭球壳中心轴的距离椭球壳上任意点距椭球壳中心轴的距离mm 其它符号意义与单位同前。其它符号意义与单位同前。 3、应力计算公式、应力计算公式 32 由由 和和 的公式可知：的公式可知： m 在在x=0处处 )( 2b apa m )2( 2 , 2 2 2 b apapa m 在在x

22、=a处处 4、椭圆形封头的应力分布、椭圆形封头的应力分布 (1)(1)在椭圆形封头的中心在椭圆形封头的中心(x=0(x=0处处),),经向应力与环向应力相等。经向应力与环向应力相等。 (2)(2)经向应力经向应力恒为正值，是拉应力。恒为正值，是拉应力。 (3)(3)周向应力最大值在周向应力最大值在x=0 x=0处，最小值在处，最小值在x=ax=a处。处。 33 顶点应力最大，经向应力与环向应力是相等的拉应力。顶点应力最大，经向应力与环向应力是相等的拉应力。 顶点的经向应力比边缘处的经向应力大一倍。顶点的经向应力比边缘处的经向应力大一倍。 顶点处的环向应力和边缘处相等但符号相反。顶点处的环向应力

23、和边缘处相等但符号相反。 应力值连续变化。应力值连续变化。 pa m papa m 2 标准椭圆形封头标准椭圆形封头a/b=2 在在x=0处处 在在x=a处处 图图3-12 椭圆形封头的应力分布椭圆形封头的应力分布 34 碟形壳体的应力分布碟形壳体的应力分布 1碟碟形壳体的组成形壳体的组成 五、受气体内压的碟形壳体五、受气体内压的碟形壳体 图图3-15 碟形壳体的应力分析碟形壳体的应力分析 35 【例例3-13-1】有一外径为219的氧气瓶，最小壁厚为 =6.5mm,材质为40Mn2A,工作压力为15MPa,试求氧气瓶 筒壁内的应力。 解：解：氧气瓶筒身平均直径：氧气瓶筒身平均直径： mm 5

24、 .2125 . 6219 0 DD 经向应力：经向应力： MPa 6 .122 5 . 64 5 .21215 4 pD m 环向应力：环向应力： 2 .245 5 . 62 5 .21215 2 pD MPa 36 【例例3-3-2 2】有圆筒形容器， 两端为椭圆形封头，已知 圆筒平均直径D=2020mm, 壁厚=20mm,工作压力 p=2MPa。 (1)试求筒身上的经向 应力 和环向应力 (2)如果椭圆形封头的a/b 分别为2， 和3，封头厚度 为20mm，分别确定封头上 最大经向应力与环向应力 及最大应力所在的位置。 2 m 图图3-16 例例3-2附图（附图（1） 37 解：解：求筒身应力求筒身应力 经向应力：经向应力： )(5 .50 204 20202 4 MPa pD m 环向应力：环向应力： )(101 202 20202 2 MPa pD 2 2求封头上最大应力求封头上最大应力 a/b=2a/b=2时，时，a=1010mm,b=505mma=1010m