第3章 连续系统建模

1、第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模 3.1连续系统的数学模型形式连续系统的数学模型形式 3.2 连续物理系统的数学建摸连续物理系统的数学建摸 3.3 机械系统的数学建模机械系统的数学建模 3.4 电子（电气）系统的数学建模电子（电气）系统的数学建模 3.5 机电系统的数学建模机电系统的数学建模 3.6流体动力学系统的数学建模流体动力学系统的数学建模 3.7集中参数连续系统的数学建模集中参数连续系统的数学建模 3.8分布参数连续系统的数学建模分布参数连续系统的数学建模 3.9控制系统建模实例控制系统建模实例 第3章 连续系统建模 5 5. .结构图表示结构图表示 1.1.微分方程微分方程

2、 2.2.传递函数传递函数 4 4. . 状态空间状态空间 常常 用用 的的 连连 续续 系系 统统 数数 学学 模模 型型 3.1连续系统的数学模型形式连续系统的数学模型形式 3.1.1 连续系统的数学模型形式连续系统的数学模型形式 1连续时间模型连续时间模型 系统输入u(t)、输出y(t)、内部状态变量x(t)都是时间的连续函数。 3.3.权函数 第3章 连续系统建模 1. 1. 微分方程微分方程 分方程为，它们之间的关系的微，输出为设系统的输入为)()(tytu 为常系数。式中), 1 , 0(),1, 1 ,(mjbnoia ji （2-12-1）（nm )( )( 0 )( 1 )(

3、 1 )( 0 )( 1 )( 1 )( 1 1 1 1 tubbb btyaaa dt tdu dt tud m dt tud mdt tdy dt tyd n dt tyd m m m m n n n n 第3章 连续系统建模 2. 2. 传递函数传递函数 则可得导数为零 及其各阶和并假设两边取拉普拉斯变换对式（ , )()(,) 1 . 2 tuty )()()( )()()()( 0 1 1 01 1 1 sUbsUsbsUsb sYassYasYsasYs m m m m n n n （2-22-2） )( )( )( sU sY sG 设系统的传递函数为 则有 01 1 1 01

4、1 1 )( asa n s n a n s bsb m s m b m s m b sG （2-42-4） （2-32-3） 第3章 连续系统建模 式中g(t)是系统的单位脉冲响应。 3 3. .权函数权函数 0 ( )( ) () t y tug td 第3章 连续系统建模 4. 4. 状态空间状态空间 DuCXy BuAXX 。为直传矩阵 rm D为输入矩阵； rn B为系统矩阵： nn A维输出向量：m为y 维输入向量；r为u维状态向量；n为 T n x 2 x 1 xX式中， （2-52-5） 为描述系统的内部特征，引入状态变量。向量X表示动态系 统的状态。 第3章 连续系统建模 结

5、构图 5. 5.结构图表示结构图表示 比较直观，对单输入单输出线性系统可通过结构图变换很容易的 传递函数；而对多输入多输出或具有非线性环节的系统也可以通过面向结构 图仿真方法得到系统的动态特征。如图2-1为线性系统的结构图. 1K2 F1 K1 + - u 图2-1 系统的结构图 第3章 连续系统建模 2离散时间模型离散时间模型 系统输入u(k)、输出y(k)、内部状态变量x(k)都是时间的离 散函数。 （1）差分方程 （2）脉冲传递函数 第3章 连续系统建模 （3）权序列 (4)离散状态空间表达式 第3章 连续系统建模 312 非线性系统的数学模型非线性系统的数学模型 1. 饱和非线性饱和非

6、线性 第3章 连续系统建模 312 非线性系统的数学模型非线性系统的数学模型 )(mu出 )(mu入 1 c 0 1 c 1 c 图 饱和非线性特征 1. 饱和非线性饱和非线性 第3章 连续系统建模 2. 死区非线性死区非线性 1 c 1 c )(mu出 )(mu入 0 图 死区非线性特征 45 第3章 连续系统建模 3. 间隙（磁带回环）非线性间隙（磁带回环）非线性 1 c 1 c )(mu出 )(mu入 0 45 1 c 图 4-15 间隙非线性特征 第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模 3.2 连续物理系统的数学建摸连续物理系统的数学建摸 1.确定系统基本物理变量确定系统基本物理变

7、量 基本物理量需要用一个或几个特征变量表示。如能量可以用电流和电压来表 示。 2. 选择独立的特征变量选择独立的特征变量 3.推导数学模型推导数学模型 第3章 连续系统建模 322物理系统的数学模型通式物理系统的数学模型通式 1)通式中的系数A、B、C为确定系统响应特性的常系数，它构成系 统的传输集，A是容性的，如电容、质量惯性等，通过这些元件的 流是超前于源的，B为耗散的，如电阻、阻尼等，通过这些元件的 流和源是同位的，C是感性的，如电感和柔性等，通过这些元件的 流是滞后于源的。 2)通式中的 w和E分别为系统的输入和输出。这两个参数确定了通 过系统的功率谱。 3)A、B、C、w和E可以是单

8、变量，也可以是一个矩阵或向量。 4)借助此式可以建立比较复杂物理系统的数学模型。 第3章 连续系统建模 典型的工程技术学科中的微分典型的工程技术学科中的微分-积分方程式：积分方程式： 第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模 3.3 机械系统的数学建模机械系统的数学建模 3.3.1机械系统中的几个重要力学模型 1空间任意力学的平衡方程 2牛顿方程 0,0,0 0,0,0 xyz oxoyoz FFF MMM 2 2 d s Fmam dt 第3章 连续系统建模 3质点运动的功和能的数学描述 4拉格朗日方程 Fqj为对于广义坐标qj的广义力： 或 L

9、拉格朗日函数，T动能，V势能，Fdqj-广义消散力。 bb xyz aa WFdsF dxF dyF dz () qj jj dTT F dtqq 1 iii p iii qjxyz i jjj xyz FFFF qqq () qj d jj dLL FLTV dtqq 第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模 34 电子（电气）系统的数学建模电子（电气）系统的数学建模 341电器元件及数学模型 1电阻 2电容 3电感 ( )( ) ( )e tR t i t 0 0 1 ( )( )( ) t t e te ti t dt C ( ( ) ( ) ( ) d L t

10、i tdidL e tLi dtdtdt 第3章 连续系统建模 342集总电路系统的数学建模集总电路系统的数学建模 1电路系统基本定理 （1）克希霍夫第一定理）克希霍夫第一定理 （2）克希霍夫第二定理）克希霍夫第二定理 （3）戴维南定理）戴维南定理 （4）诺顿定理）诺顿定理 第3章 连续系统建模 343 电子网络的广义拉格朗日方程电子网络的广义拉格朗日方程 以电荷为广义坐标，分别为广义速度和广义加速度。对于电子系统 （具有S个线圈）的磁能： 系统势能： 第一项是电容上的势能，第二项是电源上的势能。 电荷通过电阻所做虚功为： （FQj）e是电阻产生的消耗力。 电子网络的广义拉格朗日方程：电子网络

11、的广义拉格朗日方程： ()() ee je jj LLd FQ dtQQ 2 11 1 2 tm i ejj ij i Q VE Q C ,1 1 2 S eijij i j TL QQ 1 () n iiiiei i WRQ QFQQ 第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模 35 机电系统的数学建模 351机电系统的拉格朗日方程 下标“e”、“m”分别代表构成机电系统的电子与机械系统部分。 分别为两部分的广义力，则： ()() emeemm LLLTVTV (1)(1), ijqj QinqjmF Qi 以和表示电子和机械系统部分的非冗余广义坐标,F ()() ee ie ii LLd

12、FQ dtQQ ()() j ee qd jj LLd F dtqq (1)in (1)jm 第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模 36流体动力学系统的数学建模流体动力学系统的数学建模 361描述流体运动的基本模型 1气体状态方程气体状态方程 2连续方程连续方程 流体质量守恒流体质量守恒： 3动量和角动量方程动量和角动量方程 流体动量方程流体动量方程 f 和B分别为总表面力和单位体积的物体力。 流体角动量方程流体角动量方程 r流体单元对于某惯性轴的位置向量。 PgRT ()0v t s vvv fBdvv dvv vds t s svvv rdfrBdvrv dvrv vds t 第3章

13、 连续系统建模 4伯努利方程 5能量方程 在空气动力学中： （1）在绝热流动中，若速度降到零，则温度最高，被称为滞止温 度T0。显然有： 此时，滞止气体的音速为： （2）因为 ，所以 2 2 v pgz 常数 2 21 vKp K 常数 2 21 vK RT gK 常数 2 0 211 vKK RTRT gKK 00 aKgRT aKgRT 222 0 211 ava gKK 常数 第3章 连续系统建模 表明流速增加对应音速减小。当流速等于音速，称为临界状态，此 时流速称为临界音速，记为a*。 （3）在绝热流动中，流体可达到的最大速度为 p0、分别为气体滞止时的压强及密度。 （3）在等熵流动中

14、定义： 0 max 0 2 1 pK v K , vv Ma aa 222 11 ()/(1) 22 KK MaMa 1,1Ma1,1Ma 1,1Ma 亚音速： 音速：超音速： 在等熵流动中 第3章 连续系统建模 6柯希黎曼方程 任一封闭曲线的环量得到无旋流体的拉普拉斯方程 ，流函数 ，柯希黎曼方程： 2 0 u xy v xy 第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模 37集中参数连续系统的数学建模集中参数连续系统的数学建模 连续系统安装输入和输出是否与系统各质点位置有关 而分为几种参数系统和分布参数系统。如果系统的输出不 仅是时间的连续函数，也是系统各点位置的函数，则该系 统是分布参数系

15、统。分布参数系统可看成由无限多个独立 单元（或元素）构成，其特性决定于各单元。然而，根据 建模目标不同，分布参数系统有时可按照集中参数系统来 处理。 第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模 3.8分布参数连续系统的数学建模分布参数连续系统的数学建模 如果建模对象的每个微小部分的状态都不一样，那么 这样的系统就必须视为无限多个微小部分组成。系统的输 出将为多元函数，它不仅是时间的函数，而且是系统各点 位置的函数，这种系统称为分布参数系统。描述分布参数 系统的数学模型通常为偏微分方程。模型的建立多采用机 理分析法和系统辨识法。 第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模

16、第3章 连续系统建模 第3章 连续系统建模 分布参数边界条件的数学模型分布参数边界条件的数学模型 系统建模需要考虑周围的环境的影响和作用，这些作用和影响 可以采用边界条件来表示，即系统的边界条件。 第一类边界条件第一类边界条件 第二类边界条件第二类边界条件 第三类边界条件第三类边界条件 000 (,)000 ( , , , )(, ) xyz u x y z tf xyz t 000 (,)000 (, ) xyz u g xyz t n 000 (,)000 ( , , , ) ( , , , )(, ) xyz u x y z t u x y z th xyz t n 第3章 连续系统建模

17、 3.9 控制系统建模实例 1. 独轮自行车平衡控制建模 单一刚性铰链，两自由度动力学问题 独轮自行车，机器人行走过程中的平衡控制，火箭发射中的垂直度 控制，卫星飞行中的姿态控制，海上钻井平台的稳定控制，飞机的 安全着陆控制。 1 问题 独轮自行车实物仿真模型2 建模机理 第3章 连续系统建模 1 .独轮自行车平衡控制建模 1)摆杆绕其中心的转动方程为 2)摆杆重心的水平运动可能描述为 3)摆杆中心在垂直方向上的运动可描述为 4)小车水平方向运动可描述为 sincos yx JF lF l 2 2 (sin ) x d Fmxl dt 2 2 ( cos ) y d Fmgml dt 2 0

18、2 x d x FFm dt 3 系统建模 第3章 连续系统建模 1. 独轮自行车平衡控制建模 2222 2 22 22 0 2 22 0 2 222 0 ()()sinsincos ()()cos cossincos()lgsin cos()() JmlFlm Jmlm l g x Jmlmmm l mlFm lmm m m lJmlmm 精确模型： 22 2 2 00 0 2 00 () () ()lg () JmlFm l g x J mmm ml mm mmlF J mmm ml 4 模型简化 若只考虑在工作点附近 附近 0 0 00 1010 1cos sin 0 2 第3章 连续系

19、统建模 1. 独轮自行车平衡控制建模 若给定一阶直线倒立摆系统的参数为：小车的质量=1kg；倒摆振子 的质量m=1kg；倒摆长度2l=0.6m；重力加速度取g=10m/s2，则可得 到进一步简化模型 ： 60.8 402.0 XF F 2 2 2 2 1 104 . 0 )( )( )( 40 0 . 2 )( )( )( s s s sX sG ssF s sG 11 22 33 44 01000 400002 00010 60000.8 xx xx X xx xx 取状态变量 T Xxx CX x x x x x Y 4 3 2 1 0100 0001 第3章 连续系统建模 2.一阶直线双

20、倒立摆系统建模 1. 一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立 1 m 2 m 1 2L 2 2L 1 2 M F x 一阶直线双倒立摆系统 小车的质量 小车的位置 拖动力 两个摆杆的质量 两个摆杆的长度 两个摆杆的转动惯量 两个摆杆与竖直向上方向 的夹角 1 m 2 m F x m 1 2L 2 2L 1 J 2 J 1 2 忽略空气阻力以及摩擦力，可将一阶直线双倒立摆系统抽象成小车 和两个匀质刚性杆组成的系统 第3章 连续系统建模 2. 一阶直线双倒立摆系统建模 1. 一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立 对小车和摆杆分别进行受力

21、分析，应用牛顿定律建立系统的动力学方程。 M F x 1x F 2x F 小车的受力情况 x y 1x F 1y F 1 m g 1 11 L B 1 A 摆杆的受力情况(以左杆为例) 和 分别为左右两个摆杆对小车作用力的 水平分量 1x F 2x F 根据牛顿第二定律有：根据牛顿第二定律有： xMFFF xx 21 左右两个摆杆的受力情况大致相同，下面以左边的摆杆为例进行 分析(用下标1、2来区分左、右摆杆) ，受力情况如上图所示： 和 分别为小车对摆杆作用力的水平分量和竖直分量1x F 1y F 第3章 连续系统建模 2.一阶直线双倒立摆系统建模 1. 一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立一

22、阶直线双倒立摆系统数学模型的建立 x y 1x F 1y F 1 m g 1 11 L B 1 A 摆杆的受力情况(以左杆为例) 摆杆的质心B点相对于A点转动，相对线速度的大小为 11 L A点本身随小车以速度 运动 x B点相对于地面的速度在x轴方向的分量为： 1111 cosLxv x B点在x轴方向的加速度为： 2 11111 1 sincos LLx dt dv x )sincos( 2 11111111 LLxmFX B点相对于地面的速度在y轴方向的分量为： 1111 sin Lvy B点在y轴方向的加速度为： 2 111111 1 cossin LL dt dvy 第3章 连续系统

23、建模 2. 一阶直线双倒立摆系统建模 1. 一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立 x y 1x F 1y F 1 m g 1 11 L B 1 A 摆杆的受力情况(以左杆为例) )cossin( 2 111111111 LLmFgm y 摆杆的惯量： 2 11 3 1 Lm 在 、 的作用下摆杆绕B点的转动方程： 1x F 2x F 1 2 11111111 3 1 cossin LmLFLF xy 同理，对于右边的摆杆可得方程组： )sincos( 2 22222222 LLxmFX )cossin( 2 222222222 LLmFgm y 2 2 2222

24、2222 3 1 cossin LmLFLF xy 第3章 连续系统建模 2. 一阶直线双倒立摆系统建模 1. 一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立 对上述7个方程进行整理，消去中间变量，整理成只含有和F以及 、 、x 及其导数的形式，即得到其模型： 1 2 )sincos()sincos()( 2 222222 2 11111121 LmLmxmmMF 1111 cos 3 4 sinxLg 2222 cos 3 4 sinxLg 基 本 模 型 2. 系统数学模型的线性化系统数学模型的线性化 12 ,10 当 时，有近似关系： 1 cos11cos 2 11

25、 sin 22 sin 0 2 1 dt d 0 2 2 dt d 第3章 连续系统建模 2.一阶直线双倒立摆系统建模研究 2. 系统数学模型的线性化系统数学模型的线性化 将近似关系代入原始模型过行整理有： 22211121 )( LmLmxmmMF xLg 111 3 4 xLg 222 3 4 反解出状态变量二次导数（加速度）： 21 22 21 11 21 4 3 4 3 4 4 mmM gm mmM gm mmM Fx )4( 3 )4(4 9 )4(4 )44(3 211211 2 2 211 21 11 mmML F mmML gm mmML mmMg )4( 3 )4(4 9 )

26、4(4 )44(3 212212 1 1 212 12 22 mmML F mmML gm mmML mmMg 第3章 连续系统建模 2.一阶直线双倒立摆系统建模研究 2. 系统数学模型的线性化系统数学模型的线性化 将其整理成为状态空间表达式有： F qL qL qx x qL mmMg qL gm qL gm qL mmMg q gm q gm x x 2 1 2 2 1 1 2 12 2 1 1 2 1 21 21 2 2 1 1 3 0 3 0 4 0 0 4 443 0 4 9 00 100000 0 4 9 0 4 443 00 001000 0 3 0 3 00 000010 )(

27、 )( 11122 2 100000 001000 000010 T x xx 21 4mmMq 第3章 连续系统建模 3. 自平衡式两轮电动车运动控制系统建模 现代工业化、航空航天以及人们 的生活娱乐不断地为“控制技术”提 出新的问题与挑战，控制理论就是在 这样一个大环境中不断地向前发展和 应用的。随着交通工具向着小型、节 能、环保、便捷等方向发展，人们开 始对“电动车”产生了兴趣。 车会倒吗？ 第3章 连续系统建模 3. 自平衡式两轮电动车运动控制系统建模 1 系统建模 x y z l M r M l r mg L f R r m l m l F r F 忽略实际环境中存在的“风阻和 摩擦

28、力”等因素的影响 第3章 连续系统建模 3. 自平衡式两轮电动车运动控制系统建模 速度与动能计算 L L mg y z J , lr m m , lr JJ , lr 1Y V Z V y x sinL m lR rR 2Y V 1 cos y VL sin Z VL sin X VL 2 ()/2 ylr VR ll VR rr VR l V r V 2 f l V 2 f rl VV 2 f Y V Y V r V ()/2 lr Rf 第3章 连续系统建模 3.自平衡式两轮电动车运动控制系统建模 系统动能包括平动动能和转动动能： 车体平动动能： 车体转动动能： 车轮平动动能： 车轮转动动

29、能： 222 1 1 () 2 xyz Tm VVV 2 2 2 22 J J T 22 3 1 () 2 llrr TmVmV 2222 4 11 ()() 22 llrrlr TJJmmf 其中， 为车轮绕轮轴的转动惯量， 而为车轮绕轮轴 中心产生转弯运动的转动惯量。 , lr J J 22 , lr m fm f 第3章 连续系统建模 3. 自平衡式两轮电动车运动控制系统建模 应用拉格朗日方程建模 广义坐标为控制杆摆角 ，左右车轮转角 , lr 其中的广义力： sin lr lll rrr QmgLMM QMFR QMF R 拉格朗日方程组： () () () l ll r rr dTT

30、 Q dt dTT Q dt dTT Q dt 第3章 连续系统建模 3. 自平衡式两轮电动车运动控制系统建模 系统精确数学模型 ： 22 22 2 cos ()()() sincossin 24 lrlrlr RLmmR L JmLmgLMM f 2 2222 222 22 2 222222 222 2 ()1sin1 ()( 44444 ()sin )() sincos 4442 ( cossin ) 2 lr lll lr rlr ll J R RmmmR L mRm RJmR ff R J RmmmR LmR L fff mRL MFR 2 2222 222 22 2 222222 2

31、22 2 ()1sin1 ()( 44444 ()sin )() sincos 4442 ( cossin ) 2 lr rrr lr llr rr J R RmmmR L mRm RJmR ff R J RmmmR LmR L fff mRL MF R 第3章 连续系统建模 3. 自平衡式两轮电动车运动控制系统建模 模型线性化 10 11 111213111213 212223212223 313233313233 0 0 0 0 0 0 0 0 l ll rrr lr a aaa aaM aaaaaaM mgLMMaaaaaa 根据参考文献19，取两轮电动车的实际参数如下： 2222 90

32、,2.5,0.15 ,0.3 ,0.716 0.3,1.433,81.56 lr lr mkg mmkg Rm fm Lm JJkgmJkgmmLJkgm 且电机转矩与控制电压之间关系为： mU + - e M n + - (),1.56,1.62 meme MkUkkk 第3章 连续系统建模 3. 自平衡式两轮电动车运动控制系统建模 我们选取 为系统的状态变量，分别代表左右车轮转动角 速度、控制杆摆动角速度和摆动角度 ，带入实际参数 T lr x 3.91140.3602047.07602.41450.2223 0.36023.9114047.07600.22232.4145 0.24140

33、.24140 13.33230.14900.1490 001000 l r U xx U 第3章 连续系统建模 4. 龙门起重机系统建模 起重机系统的物理抽象模型 起重机广泛的用于现代工厂，安装工地和集装箱货场以及室内外 仓库的装卸与运输作业。但是由于吊车采用柔性体代替刚体工作，带 来负载摆动的负面影响，故需要研究吊车的防摆控制。 1 问题 第3章 连续系统建模 4. 龙门起重机系统建模 拉格朗日分析力学 () k kk dTT F dtqq , kk TqF其中 为系统的动能, 为质点系的广义坐标为广义力 01 0 123 23 0 sin cos m m m m xx y xxxx yxx

34、 01 0 123233 23233 0 sincos cossin m m m m xx y xxxxx xx yxxx xx 小车和重 物的位置 小车和重物 的速度分量 2 建模机理 3 系统建模 第3章 连续系统建模 4. 龙门起重机系统建模 系统拉格朗日方程为： 系统的动能： 2222 000 11 ()() 22 mmmm Tm xym xy 11 11 23 22 233 33 () ()cos ()sin dTT FDx dtxx dTT Fmgx dtxx dTT mgxxx dtxx 第3章 连续系统建模 4. 龙门起重机系统建模 吊车系统的运动方程： 不考虑绳长的变化时，

35、， ： 2 012323323323311 2 2132332 2 23223123233 ()sincos2cossin sincos 2cossin0 mm xmxxmx xxmx xxmx xxDxF mxmxxmx xmgxF mx xmx x xmx xxmgxxx 0 22 xx constlx 2 2 0113333 3 31333 ()cossin cossin0 mm xDxmlxxmlxxF ml xmxlxmglxx 第3章 连续系统建模 4 模型简化 4. 龙门起重机系统建模 考虑到实际吊车运行过程中摆动角较小(不超过 ) ，且平衡位置 为 ,有如下近似 ，忽略摆动阻尼，则 10 00sin, 1cos,sin 2 0 () 0