第三章杆件的基本变形

1、 31拉伸和压缩 一、内力与截面法 二、拉伸与压缩的受力和变形特点 三、拉伸（压缩）时材料的力学性质 四、拉伸与压缩的 校核 32剪切和挤压 一、剪切 二、挤压 三剪切与挤压强度 33圆轴扭转 一、扭转的概念 二、圆轴扭转的外力矩计算 三、扭矩计算 四、圆轴扭转时的应力分析 五、圆轴扭转强度条件 六、提高抗扭能力的方法 34直梁弯曲 一、弯曲的概念 二、平面弯曲 三、梁的基本形式 四、梁的内力 五、梁的强度 六、提高抗弯能力的方法 35组合变形的简介 一、组合变形的概念 二、拉（压）弯组合变形 三、弯扭组合变形 一、内力与截面法 1.内力的概念：杆件在外力作用下产生变形， 其内部相互间的作用力

2、称为内力。 a.这种内力将随外力增加而增大，当内力增 大到一定限度时，杆件就会发生破坏。 b.内力是与构件的强度密切相关的。 c.拉压杆的内力称为：轴力 2.截面法 a.定 义：将受外力作用的杆件假想地切开， 用以显示内力的大小，并以平衡条件确定 其合理的方法，称为截面法。（它是分析 内力的唯一方法） b.步骤： 截、取、代、平 截：在需要求内力的截面处，沿截面假想地 把构件切开。 取：选取其中一部分为研究对象。 代：将截取部分对研究对象的作用，以截面 上的未知内力来代替。 平：根据研究对象的平衡条件，建立平衡方 程，以确定未知内力的大小和方向。 c.举例：求如图所示的内力 分析：在两力之间的

3、截面处就有一处内力， 本题只有两个力，故在两力之间的任意截 面处截开，截面与轴线垂直 FX=0：FN F=0 FN=F d.例题 例31如图所示，设一杆沿轴线同时受力 F1、F2、F3的作用，其作用点分别为A、 B、C，求杆各截面上的轴力 解：AC段 BC段 结构中的负号说明，该截面上的内力的方向 与原设方向相反，即FN2为压力，其值为 1KN. 图形： 二、拉伸与压缩 1.受力特点：作用于杆件上的外力的合力的 作用线沿杆件轴线。 2.变形特点：沿轴线方向产生纵向伸长或缩 短。 2.判断下列两个杆件在外力相同变化的过程 中谁先断（杆件的材料、长度、外力都是 一样），并说明为什么？ 3.应力 a

4、.定义：单位截面上的内力 b.公式： c.正应力 垂直于截面应力为正应力 符号：拉应力为正，压应力为负。 注意：判断拉压应力看内力针对于截面是拉 还是压力，所对应的应力为拉应力和压应 力 拉应力 压应力 4.例题 圆截面杆如图所示，已知 F1=400N,F2=1000N,d=10mm,D=20 mm,试求圆杆截面上的应力。 解:(1)计算各段内的轴力 AB段，取1-1截面左段为研究对象 BC段，选取22截面左段为研究对象 （2）计算各段正应力 AB段： BC段： 5.应力与应变的关系 当拉（压）杆受到轴力作用后，杆中截面上 的任一点都将产生正应力，同时该点相应 地产生纵向线应变。 式中：E比例

5、系数，称为弹性模量，常用 单位Mpa或Pa a. L第一种算式 =L/L =FN/A 又因为：=E FN/A=E L/L L=FNL/AE b. L第二种算式 =L/L =FN/A 又因为：=E = E L/L L= L/E 三、拉伸（压缩）时材料的力学性质 1.低碳钢拉伸时的力学性质 如图所示为标准试件 L0为试件的实验段长度，称为标距。 实验时，试件在受到缓慢施加的拉力作用下， 试件逐渐被拉长L1，知道试件被拉断裂为 止。 这样得到F与L的关系曲线，称为拉伸图或 FL曲线。 拉伸图受试件的 原始尺寸有关。 为消除原始尺寸的影响，获得反映材料性质的曲线， 将F除以原始截面积A，得正应力，把L

6、除以L 的应变，以为纵坐标，以为横坐标，得到 关系曲线 由图可见，整个拉伸变形过程可分为 四个阶段。 （1）弹性阶段 Ob段：oa段为直线，应力与应变成正比， 即，直线的最高点a对应的应力值为p 称为比例极限； ab段不在是直线，应力与应变也不是正比关 系了，b点对应的应力值为e，称为弹性极 限。 工程上多用 p代替e （2）屈服阶段 bc 段这阶段应力几乎不增加而变形急剧增加， 这种现象称为屈服或流动，cc 称为屈服阶 段。c点的应力值s称为屈服点 材料屈服时所产生的变形为塑性变形。 材料屈服时，在试件光滑的表面上可以看到 与杆轴线成45 的暗纹，这是由于材料最 大剪应力作用面产生滑移造成的

7、，故称为 滑移线。 （3）强化阶段 c d段，说明材料又恢复了对变形的抵抗能力。 若继续变形，必须增加应力，这种现象称 为强化。该阶段即为强化阶段。最高点对 应的应力b称为强度极限。 （4）局部变形阶段 de段:当图线经过d点后，试件的变形集中在 某一局部范围内，横截面尺寸急剧缩小， 产生缩颈现象。 2.铸铁拉伸时的力学性质 试件从开始到拉断， 应力和应变都很小， 没有屈服阶段和 缩颈现象，工程上， 近似认为材料服从 胡可定律，直线的斜 率E=tana,称为弹性 模量。该材料不易做受拉杆件 3.材料压缩时的力学性质 a.低碳钢的压缩图 该材料在拉伸与压 缩的屈服阶段前基 本一致，屈服阶段 后材

8、料越压越扁， 曲线上升不到强度 极限。 b. 铸铁的压缩图 发现其抗压强度极 限bc远远大于抗 拉强度极限bt（ 约34倍） 压坏时，其断口与 轴线约成45 ，表明铸铁压缩时沿截面相对 错动而断裂。 铸铁常用于受压杆件。 四、许用应力和安全系数 极限应力：当材料受到拉压作用达到或超过 材料的极限应力时，材料就会产生塑性变 形或断裂。 脆性材料取b为极限应力； 塑性材料取s为极限应力； 许用应力：为保证杆件的安全，必须使杆件 在载荷的作用下工作的最大应力低于材料 的极限应力。极限应力降低到一定程度， 这个应力值称为材料的许用应力。 许用应力值可由极限应力除以一个大于1的系 数而得到。许用应力用表

9、示。 塑性材料的许用应力： 脆性材料的许用应力： 式中，n安全系数，它反映了杆件必要 的强度储备。 塑性材料一般取安全系数n=1.22.5 脆性材料一般取n=23.5 五、拉伸与压缩时的强度校核 为了保证杆件安全可靠地正常工作，必须使 杆件的最大工作应力小于材料的许用应力。 即： 若已知杆件尺寸、载荷及材料的许用应力， 可用上式检验杆件强度是否满足要求 该强度校核条件式可解决三类为题：强度校 核、设计截面尺寸、确定许用载荷。 例题：如图所示的拉杆受最大拉力 F=300KN,该拉杆的许用应力 =300MPa，直径d=44mm,试校核该拉 杆的强度。 分析：题目类型强度校核 解题步骤： 1）计算外

10、力（约束反力） 利用第二章的内容解，列平衡方程 2）计算内力（轴力） 利用截面法 3）计算最大的应力 4）利用强度校核条件式，与许用应力进行比 较，得出强度是否符合要求 解： （1）求内力（截面法） FX=0： F+FN=0 FN=F=300KN （2）面积: 强度校核公式： 可见： 第二类题型：设计截面尺寸 步骤： 1）计算外力（平衡方程） 2）计算内力（截面法） 3）利用强度校核条件式： max=FNmax/A 得出A FNmaX / A再进一步展开，计算相关尺寸 第三类题型确定许用载荷 解题步骤： 1）用题目要求的未知力通过平衡方程解出约 束反力； 2）求内力（截面法） 3）利用强度校核

11、条件式： max=Fmax/A 得出 Fmax A 练习（设计截面尺寸 ） 1.某车间工人自制一台 简易吊车，如图所示 ，已知在铰接点B吊起 重物的最大重量 G=20KN，a=300， 杆AB和BC均用圆钢 制作，材料许用应力 =58MPa,试确定 两杆所需直径。 确定许用载荷： 如图所示的拉杆受拉力F，该拉杆的许用应力 =260MPa，直径d=30mm,若该杆满足 强度要求，试确定该杆的最大拉力为多少 ？ 3.变截面杆受力如图所示，A1=400mm2， A2=300mm2，A3=200mm2。材料 E=200GPa。（1）试计算横截面1-1、2-2、 3-3上的轴力；（2）计算杆内各段横截面

12、上的 正应力；（3）计算杆的总伸长量L。 一、剪切 1.受力特点：作用于杆件两侧面上的外力的 合力大小相等、方向相反，且作用线相距 很近。 2.变形特点：杆件沿两力作用面发生相对的 错动。 3.内力 名称：剪力 符号：FQ 大小：与外力相等且与该受力截面相切。 单位：N或KN 4.应力 名称：切应力（单位截面上受到的剪力） 符号： 计算式： 单位：Mpa或pa 近似认为切应力是在其剪切面上均匀分布。 二、挤压 1.剪切的同时，往往在受力处相互接触的作 用面间发生挤压现象。 2.彼此相互接触压紧的表面称为挤压面。 3.彼此相互挤压的作用力称为挤压力。 4.受力特点：与挤压面垂直； 5.变形特点：

13、只发生在表面局部区域； 6.挤压应力： 符号：j 计算式: 应力分布：不是均匀分布的，计算中采用近 似计算，即把垂直于圆柱表面上的应力， 认为在其直径的矩形投影面上是均匀分布 的，即用直径截面取代挤压面，则 Aj=Ld 式中L表示高度 挤压面积 Aj=Ld 剪切面积 三、剪切与挤压强度 1.抗剪强度 剪切面上的最大应力，即抗剪强度max不得 超过材料的许用应力，表示式为 许用切应力通过实验得到，即用剪断零件 时的最大抗剪强度极限b除以安全系数n,表 示式为： 2.挤压强度 挤压面上的最大剪应力不得超过材料的挤压 许用应力。 即： 利用抗剪强度和挤压强度两个条件式可解决 三类强度问题， 1）强度

14、校核； 2）设计截面尺寸； 3）确定许用载荷。 由于受剪零件同时伴有挤压作用，因此在强 度校核时，不仅要计算抗剪强度，也要计 算挤压强度 四、剪切与挤压在生产实践中的 工程中，常用作连接的螺栓、键、销、铆钉等标准 间，它们受到的剪力和挤压力较复杂，变形也复 杂，因此，在计算设计这类干件时时常采用实用 计算法，即假定剪力、挤压力是均匀分布的，利 用抗剪强度和挤压强度计算公式进行强度校核、 设计截面尺寸和确定许用载荷。为了使机器中关 键零件产生超载时不致损坏，把机器中的某个次 要零件设计成机器中最薄弱的环节，机器超载时 ，这个零件先破坏，从而保护了机器中其他重要 零件 例题； 34.如图所示，用剪

15、板机剪切钢板时，已 知钢板厚度为3mm，宽度为500mm， 钢板材料为30号钢，抗剪强度极限 b=360MPa，试计算所需要的剪切力的大小 。 分析：该题目的类型为破坏题型 必须使材料所受的最大剪应力超过材料的强 度极限（不是许用剪切应力，应为许用应 力考虑的安全储备程度） 即：max=FQmax/A b 题目中，A一般会间接或直接告诉，怎么判断 剪切面积，就想破坏后的断面就是剪切面 积，FQmax通过截面法计算， b一般题目 直接给定。 解：按抗剪强度，剪切应力要超过材料的抗 剪强度极限 例35，如图所示钢板用两个铆钉连接，钢 板与铆钉的材料均为Q235钢，已知许用 挤压应力=320MPa，

16、许用剪切力 =120MPa，F=50KN,厚度均为 t=10mm,铆钉的直径d=17mm,试校核 铆钉的强度。 分析：该题目类型为强度校核（要同 时计算抗剪强度和挤压强度，同时符合强 度校核条件式时强度才符合） 对于铆钉类的题目， 受力：单个铆钉受到的外力力为F/铆钉的个 数，剪力和挤压力均等于单个铆钉的外力 大小。 面积：剪切面积即为圆 挤压面积为，钢板的厚度与直径的 乘积 面积公式表达： 挤压面积 剪切面积 Aj=Ld 最后带入强度校核条件式解决强度校核 解：1）求外力 单个铆钉受到的外力为F/2 2）求剪力、挤压力 每个铆钉上受到的剪力为 Fj=F/2=25KN 3)抗剪和挤压强度校核

17、抗剪强度校核： 挤压强度校核： 该铆钉满足剪切和挤压强度条件要求 练习： 1.如图所示,若重头的压力F=60KN,冲孔直 径d=20mm,钢板剪切强度极限 b=380MPa，求冲头能冲的钢板的厚度? 一、扭转的概念 如图，方向盘转动时， 转向盘的受力情况为 ：司机在方向盘上作 用着一个力偶，同时 在转向轴下端作用一 个阻碍方向盘转动的 反力偶。转向轴由于 受到这两个力偶的作 用，将引起扭转变形 。 1.受力特点： 在杆件的两端受到大小 相等，方向相反的一 对力偶 2.变形特点： 杆件上各个横截面均绕 杆件的轴线发生相对 转动。 3.轴： 以扭转变形为主要变形 的杆件称为轴。 4.扭转角（）：

18、上、下两截面所扭转过 的角度称为扭转角。 二、圆轴扭转的外力矩计算 P 9550P/n 式中：P的单位为KW, n的单位为 r/min 过程：在分析内力时，首先要根据转速和功 率计算外力偶矩。 理论力学可知，力偶在相应角位移上作功， 而力偶在单位时间内所作功率P等于其力偶 矩M与相应角速度的乘积，即 P=M 在工程实际中， P的单位为KW, n的单位 为r/min，在这种情况下，上式变为： 由此得力偶矩 P 9550P/n 三、扭矩计算 1.内力 1）计算方法：截面法 2）内力名称：扭矩（圆轴扭转时横截面上的 内力是个力偶矩，称为扭矩） 如图所示为一对外力偶 作用的圆轴，假想地 沿轴的某一截面

19、m- -m切开，并取部分 为研究对象： 建立平衡方程：M=0 MTM=0 MT=M 2.扭矩（MT）符号规定 （右手螺旋法则） 四指方向与截面力偶（ 扭矩）方向一致，则 拇指指向为扭矩的方 向，当拇指方向与外 法线方向一致为正， 反之为负。 四、圆轴扭转时的应力分析 1.扭转现象与假设 在圆轴的表面上画出 很多等距的圆周线和 轴线平行的纵向线， 形成大小相等的矩形 方格。 圆轴扭转时，可见： 各圆周线相对于轴线 旋转了一个角度，但 其形状大小及圆周线 间距没有变； 个纵向线，均倾斜了 一个小角度，矩形变 成了平行四边形。 圆轴扭转的基本假设： 扭转时，圆轴的横截面始终为平面，形状、 大小都不改

20、变，只有相对于轴线的微笑扭 转变形，因此在横截面上无正应力，而只 有垂直于半径的切应力。 2.切应力的分布规律 圆轴横截面上任意点的 切应力与该点所在圆 周的半径成正比，方 向与过该点的半径垂 直，切应力最大处发 生在半径最大处。 实心轴的圆心处切应力 为0，为最小值。 空心轴的内周表面的切 应力最小，但不为0 3.切应力的计算公式 五、圆轴抗扭强度条件 为保证受扭圆轴能正常工作而不致破坏，应 使圆轴内的最大工作切应力不得超过材料 的许用切应力，即 轴扭转时多受动载荷作用，因此取值应比 静载荷下的许用 应力低些 例题：汽车传动轴AB由无缝钢管制成，该轴 外径D=90mm，壁厚t=2.5mm,工

21、作时 的最大扭矩Mtmax=1.5KN m，材料的 许用切应力 =60MPa,试校核AB轴的强度？如果轴 AB 设计成实心轴，直径应为多少？ 解：（1）计算轴AB的抗扭截面系数 （2）计算轴的最大切应力并进行强度校核 故轴AB 满足强度要求。 （3）设计实心轴直径D1 因两轴等强度，故实心轴的最大切应力也应 等于50MPa,即 实心轴直径D1应取标准55mm。 六、提高抗扭能力方法 由扭转强度条件 可知，提高轴的强度，只有降低MTmax值或提 高Wt值两种途径。 1.提高抗扭截面系数Wt 对于圆轴来说，一种截面是实心，一种是空 心，由于Wt与直径D成三次方成正比，因 此增大轴径效果最为显著，而

22、采用空心轴 ，在相同截面积的前提下，可以大大提高 轴的抗扭截面系数，有效提高轴的扭转强 度。 2.降低轴的最大扭矩值MTmax 已知该轴传递扭矩 MA=5N m， MB=2N m， MC=3N m， MD=10N m，转向 如图所示，如果将MD 的位置移到MA和MB 之间，则该轴所受到 的Mtmax将比原图减 小一半。所以合力安 排轴上的零件的位置 ，可降低轴的最大扭 矩。 一、弯曲的概念 1.日常生活中的弯曲现象：挑重物的扁担， 钓鱼的竹竿，吊车的主梁，汽车的钢板弹 簧和火车的车轴 2.受力特点：垂直于梁轴线的横向力或纵向 平面内的一对力偶。 3.变形特点：轴线由直线变成曲线。 4.梁：以弯

23、曲变形为组要变形的杆件。 二、平面弯曲 有对称截面的梁， 其横截面至少有一个对称轴，此对称轴与轴 线所组成的平面构成一个纵向对称面。如 果梁上所有的外力都作用在该梁的纵向对 称面内，则梁弯曲变形后，其轴线也必在 纵向对称面内弯曲成一条曲线。把梁的这 种弯曲变形称为平面弯曲。 三、梁的基本形式 1.简支梁 一端固定铰支承， 一端可动铰支承。 2.悬臂梁 一端固定，一端自由 3.外伸梁 具有一个或两个外伸部 分的量梁。 四、梁的内力（弯矩和剪力） 梁的内力包括剪力FQ和弯矩M，下面以简支 梁为例加以说明。 解： 1.计算梁上所受的约束 反力 2.用截面法求内力 AC段： 由此可看出，弯曲时， 梁的

24、横截面上产生两 种内力，一是剪力， 一是弯矩 BC段： FQ=FRB=Fa/L (axL) M=Fa(Lx)/L (axL) 3.画出各段正确的内力图 AC段： BC段： 4.根据弯矩剪力的符号规定列出弯矩剪力的 方程（列方程其实是给弯矩和剪力加上符 号 剪力的符号规定：左上右下为正，反之为负 方程：FQ=FQ(x) 弯矩的符号规定：使梁弯段上凹为正，反之 为负。（左顺右逆为正，反之为负） 方程：M=M(x) AC段弯矩剪力方程 BC段： 4.画弯矩剪力图（分段 函数） 由图可知： 当ab时，最大剪力为 从弯矩图上可看出，最 大弯矩发生在截面C上 例题38悬臂梁AB如图所示，在自由端A 处作用

25、有集中载荷F，试画出此梁的剪力图 和弯矩图。 五、梁的强度 1.纯弯曲 梁上各截面内剪力为零，弯矩为常数的弯曲 变形。 2.正应力 在梁表面上均匀画上横线和纵线，然后在梁 的纵向对称面内施加一对力偶M，观察梁的 弯曲变形可知： 1.仍为直线，且仍与纵 线正交，但转了一个 角度； 2.所有纵线变为圆弧线 ，梁上部凹边纵线缩 短，下部凸边纵线伸 长。 因此，可以假想梁是由无数根纤维组成，梁 下部纤维伸长是由于受拉所致，上部凹边 缩短为受压所致。和纤维之间相互挤压， 而在受拉区（下部）和受压区（上部）之 间存在既不伸长也不缩短的纵向纤维层， 称为中性层。中性层与横截面的交线称为 中性轴。 梁的上下两

26、边缘处，应力最大，中性层既不 伸长也不缩短，正应力为零。 由此可见，梁的截面上任意点的正应力与该 点到中性轴的举例成正比。 弯曲正应力计算式为： 3.最大正应力 当式中y取最大值ymax（即横截面上下边缘） 时有最大正应力。 Iz、 WZ的计算公式： 矩形Iz= bh3/12 (ymax取h/2) WZ= bh2/6 圆形Iz= D4/64 (ymax取D/2) WZ= D3/32 圆环Iz= (D4_ d4) /64 (ymax取D/2) WZ= (D4_ d4) /32D 4.梁的强度 为保证梁安全可靠，应使梁的最大正应力不 超过梁的许用应力，即 例题3-9螺栓压紧装置如图所示，已知板长

27、a=50mm,压板材料的弯曲许用应力 =160MPa,工件所需夹紧力F=3KN， 试校核压板的强度 解：压板可简化如图所 示的外伸梁，由梁外 伸部分BC可以求得截 面B的弯矩MB=Fa， 而A、C截面上的弯矩 等于零，弯矩图如图 所示。由弯矩图可知 ，B截面上弯矩最大， 且 Mmax=MB=Fa=15 0Nm 根据截面B的尺寸可求得： 根据抗弯强度条件公式得： 由此可见，螺栓压板有足够的强度。 六、提高抗弯能力的方法 由梁的弯曲正应力公式 可知：提高梁的强度必须从以下三个方面考 虑： 选用合理的截面形状，提高抗弯截面系数WZ 注意受力情况，降低最大弯矩Mmax； 根据材料性能和弯矩大小选择截面。 1.梁的截面形状 梁的截面形状有圆形、矩形、槽型、工字形 等。选用合理的截面，调节截面几何形状