第二讲：电流与电路

1、叶邦角叶邦角 电荷的定向运动形成电流，电流强度电荷的定向运动形成电流，电流强度 即单位时间内通过导体任一根截面的电即单位时间内通过导体任一根截面的电 量。设在时间间隔量。设在时间间隔D Dt t通过某一根截面的通过某一根截面的 电量为电量为D DQ Q，则电流强度为则电流强度为 1.电流强度 Q I t D D 一、电流强度与电流密度 为给出电流密度的定义，考虑导体中某一给为给出电流密度的定义，考虑导体中某一给 定点定点P，在该点沿电流方向作一单位矢量在该点沿电流方向作一单位矢量n0， 并取一面元并取一面元D DS0与与n0垂直，设通过垂直，设通过D DS0的电流的电流 强度为强度为D DI，

2、则定义则定义P点处电流密度的大小为点处电流密度的大小为 . 0 S I j D D 电流密度的单位为安培米电流密度的单位为安培米2（Am 2） ）。 n0 DS0I 2.电流密度 电流强度与电流密度之间的关系为：电流强度与电流密度之间的关系为： 通过导体任一有限截面通过导体任一有限截面D DS的电流强度为的电流强度为： D n i ii n SjI 1 lim 3.电流连续性 q导体中的电流线只能起、止于电荷随时间变化的地导体中的电流线只能起、止于电荷随时间变化的地 方，在电流线的起点附近的区域中，会出现负电荷方，在电流线的起点附近的区域中，会出现负电荷 的不断累积；而在电流线的终点的附近的区

3、域中，的不断累积；而在电流线的终点的附近的区域中， 会出现正电荷的不断积累。对于电荷密度不随时间会出现正电荷的不断积累。对于电荷密度不随时间 变化的地方，电流线既无起点又无终点，即电流线变化的地方，电流线既无起点又无终点，即电流线 不可能中断。不可能中断。 q由于稳恒电流的电流密度不随时间变化，如果存在由于稳恒电流的电流密度不随时间变化，如果存在 电流线发出或汇聚的地方，那么这些地方电荷的增电流线发出或汇聚的地方，那么这些地方电荷的增 加或减少的过程就将持续进行下去，这必将导致这加或减少的过程就将持续进行下去，这必将导致这 些地方正电荷或负电荷的大量积聚，从而形成越来些地方正电荷或负电荷的大量

4、积聚，从而形成越来 越强的电场，电场将阻碍电荷的继续积聚，电流将越强的电场，电场将阻碍电荷的继续积聚，电流将 消失。消失。 q对于真正的稳恒电流，必须不存在这种电荷对于真正的稳恒电流，必须不存在这种电荷 不断积聚的地方。不断积聚的地方。 q 即，任何时刻进入封闭曲面的电流线的条数即，任何时刻进入封闭曲面的电流线的条数 与穿出该封闭曲面的电流线条数相等，在电与穿出该封闭曲面的电流线条数相等，在电 流场中既找不到电流线发出的地方，也找不流场中既找不到电流线发出的地方，也找不 到电流线汇聚的地方，稳恒电流的电流线只到电流线汇聚的地方，稳恒电流的电流线只 可能是无头无尾的闭合曲线。这是稳恒电流可能是无

5、头无尾的闭合曲线。这是稳恒电流 的一个重要特性，称为稳恒电流的闭合性。的一个重要特性，称为稳恒电流的闭合性。 二、欧姆定律 1.欧姆定律的两种形式 金属中的电流密度金属中的电流密度j与该处的电场强度与该处的电场强度E成正比，成正比， 即即 比例系数比例系数s s称为金属的电导率，是电阻率的倒称为金属的电导率，是电阻率的倒 数。数。 s 1 稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流 相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线，相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线， 导线的截面积为导线的截面积为S, 电阻率为电阻率为 ( UIR基本式） U I R 或

6、 对一段导体，有对一段导体，有 DS j Dl 【例例】截面积为截面积为S，长为长为L的圆柱形电阻器如图所示，的圆柱形电阻器如图所示， 电流从电流从x=0端面均匀地流入，端面均匀地流入，x=L端面均匀流出。设端面均匀流出。设 电阻器的电阻率分布为：电阻器的电阻率分布为： L x 2sin 0 求该电阻器的电阻。求该电阻器的电阻。 【解解】从从x到到x+D Dx任意一小段的电阻为任意一小段的电阻为： S x R D D 总电阻为：总电阻为： 0 00 2 sin LL xx Rx SSL D D 0 22 (coscos0) (coscos )(coscos() 2 L Snnnn /2 00

7、00 222 sincos 2 L Lx x SLS DD 00 22 (coscos0) 2 LL SS cossinDD 【例例】电荷量电荷量Q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R的球体的球体 内，这球以均匀角速度内，这球以均匀角速度w w绕它的一个固定直径绕它的一个固定直径 旋转。求球内离转轴为旋转。求球内离转轴为r处的电流密度处的电流密度j。 【解解】在包括转轴的一个固在包括转轴的一个固 定平面内，离转轴为定平面内，离转轴为r处，处， 设想一个面积元设想一个面积元D DS。该面积该面积 元绕转轴转动划出一个体积元绕转轴转动划出一个体积 为为2 rD DS的环带，电荷量为：的环带，电荷

8、量为： Sr R Q SrQDDD 2 4 3 2 3 电流为：电流为： 3 3 24 QQ IQr S TR ww D D DD 于是于是r处的电流密度的大小为：处的电流密度的大小为： r R Q S I j 3 4 3 w D D 考虑到方向，便有：考虑到方向，便有： r R Q j w 3 4 3 【例例】零电阻是超导的一个基本特性零电阻是超导的一个基本特性,但在确认这一但在确认这一 事实时受到实验测量精度的限制事实时受到实验测量精度的限制. 为了克服这一困为了克服这一困 难难,最著名的实验是长时间检测浸泡在液态氦最著名的实验是长时间检测浸泡在液态氦(温度温度 T=4.2K)中的超导态的

9、用铅丝做成的单匝线圈中的超导态的用铅丝做成的单匝线圈(超导超导 转换温度为转换温度为Tc=7.19K)内的电流变化内的电流变化. 设铅丝粗细均设铅丝粗细均 匀匀,初始时通有初始时通有I=100A的电流的电流,电流检测仪器的精度电流检测仪器的精度 为为D DI=1.0mA, 在持续一年的时间内没有检测到电流在持续一年的时间内没有检测到电流 的变化的变化.根据这个实验根据这个实验,试估计超导态铅的电阻率为试估计超导态铅的电阻率为 零这一结论的上限零这一结论的上限? (设铅中参与导电的电子数密度为n=8.001020/m3, 电子质量m=9.1110-31kg, 基本电荷e=1.6010-19C)

10、【解解】设电阻为设电阻为R, 如果电流有衰减如果电流有衰减, 则电流则电流 通过线圈发热而损失的能量为通过线圈发热而损失的能量为: 2 EI RtD l R S ISvne 由于一年内电流没有变由于一年内电流没有变, 表示变化没有超过仪器的表示变化没有超过仪器的 精度精度,即即D DI=1.0mA, 由于由于n不变不变, 一年内一年内v的变化为的变化为: IneS vD D 平均速度变小平均速度变小,导致动能变小导致动能变小: 22 11 () 22 k ElSnmvm vvlSnmv v DDD 2 2 k lmI I EI Rt nr S D D 26 2 1.4 10 m I m ne

11、It D 26 1.4 10m 【例例】求半径为求半径为a, b的同心球形导体之间的电的同心球形导体之间的电 阻阻, 设导体之间充满电导率为设导体之间充满电导率为s s的物质的物质. 【解解】设在内外球之间加一电压设在内外球之间加一电压(内球电压高内球电压高), 则则 有电流通过内球流到外球有电流通过内球流到外球, 设内球带电量为设内球带电量为Q, 由由 高斯定理高斯定理: r e r Q E 2 4 r e r Q j 2 4 s 流出的总电流为流出的总电流为: DISj Ir r Q 2 2 4 4 s s I Q Ej s 2 4 r I Ee rs ) 11 ( 4ba I UD s

12、) 11 ( 4 1 baI U R D s 【例例】一个平面把空间分为两个部分。一半充满了均匀的导电一个平面把空间分为两个部分。一半充满了均匀的导电 介质介质, 而物理学家在另一半空间里工作。他们在平面上而物理学家在另一半空间里工作。他们在平面上 画出一个边长为画出一个边长为a的正方形的轮廓的正方形的轮廓, 并用精细的电极使并用精细的电极使 一电流一电流I0在正方形的两个相邻角在正方形的两个相邻角, 一个流入一个流入，一个流出。一个流出。 同时同时, 他们测量另两个角之间的电势差他们测量另两个角之间的电势差V。如图所示。如图所示。 问物理学家们如何用这些数据来计算均匀介质的电阻问物理学家们如

13、何用这些数据来计算均匀介质的电阻 率率？ 利利用用叠加原理。叠加原理。 如果电流如果电流I0在点在点A引入引入(流向无穷远处的电势零流向无穷远处的电势零 点点), 它会在充满介质的一半空间里以球对称分布它会在充满介质的一半空间里以球对称分布 (半半 球形球形), 即距即距 A 点半径为点半径为 r 的处的处 , 电流密度电流密度 j 的为的为： 分别讨论分别讨论流入和流出两种情况。令流入和流出两种情况。令 A 为为电流电流 I0 流入的流入的点点, B为邻近的电流流出的为邻近的电流流出的点点。电势差。电势差V在另在另 外两个外两个点点 (C 和和 D) 间测量间测量 , 如图所示。如图所示。

14、0 2 2 I j r 0 2 2 Ij E r s 根据欧姆定律有：根据欧姆定律有： 电电势势 ( 以及电势差以及电势差 ) 可以用一个简单的类比就可以可以用一个简单的类比就可以 得到。一个点电荷的电场反比于得到。一个点电荷的电场反比于r2， 此它的电势反比此它的电势反比 于于r, 两个比例系数是相同的两个比例系数是相同的 (分别为分别为 E=kq/r2 和和 V=kq/r) 。这意味着上面式子确定的电场强度所对应这意味着上面式子确定的电场强度所对应 的电势场为的电势场为： 越是靠近电流流入电极的点越是靠近电流流入电极的点, 它的电势就越高。它的电势就越高。因因此此 点点D和和C的电势的电势

15、分别为：分别为： r I V 2 0 a I V a I V C D 22 2 0 0 CD VV 所以，电势差为：所以，电势差为： a I V 4 )22( 0 同理，我们来讨论同理，我们来讨论电流电流I I0 0流出点流出点B B。 和前面的情形几乎完全一样和前面的情形几乎完全一样, , 除了各个量除了各个量( (电流、电流电流、电流 密度、电场强度和电势密度、电场强度和电势) )的符号要反号。在所考查的半的符号要反号。在所考查的半 空间里空间里, , 电势表示为函数电势表示为函数 其中其中r r是离点是离点B B的距离。点的距离。点C C的电势低的电势低 于点于点D D的电势的电势 ,

16、, 即点即点D D又比点又比点C C高。两高。两 点之间的电势差与前面相同。点之间的电势差与前面相同。 2 0 r I V 如果把前面两种情形叠加如果把前面两种情形叠加, 我们又回到了开始的问题我们又回到了开始的问题, 点点 C 和点和点 D 间的电势差间的电势差正正好是前面值的两倍好是前面值的两倍, 即即 因此因此 , 此问题的解为此问题的解为： a I VCD 2 )22( 0 0 )22( I aVCD 这个方法在实际生活中也有广泛运用这个方法在实际生活中也有广泛运用, , 例如来确例如来确 定岩石的平均电阻率。定岩石的平均电阻率。 测量工作自然不是在无穷大的测量工作自然不是在无穷大的

17、半空间内进行半空间内进行, , 但是的确是在体但是的确是在体积积和平面的尺度都远和平面的尺度都远 远大于正方形的边长远大于正方形的边长a的情况下。的情况下。 2.电流的功和功率 焦耳定律 电流通过导体时，电场对电荷做功。电场做电流通过导体时，电场对电荷做功。电场做 的功即电流的功率为的功即电流的功率为: 电场作的功将转变成其他形式的能量。电场电场作的功将转变成其他形式的能量。电场 所作的功为所作的功为: : tRIADD 2 RURIUIP/ 22 单位体积的导体内的电功率称为电功率密度。单位体积的导体内的电功率称为电功率密度。 若用若用p表示电功率密度，则由欧姆定律的微分表示电功率密度，则由

18、欧姆定律的微分 形式，可得形式，可得: : 1.基本概念 支路：两个相邻节点间，由电源和电阻串联而两个相邻节点间，由电源和电阻串联而 成的且不含其他它节点的通路。通过支路的电成的且不含其他它节点的通路。通过支路的电 流叫支路电流；支路两端的电压叫支路电压。流叫支路电流；支路两端的电压叫支路电压。 节点：节点：在电路中，三条或三条以上导线相交在电路中，三条或三条以上导线相交 在一起的点。在一起的点。 三、基尔霍夫定律 回路：回路：起点和终点重合在一个节点的环路。起点和终点重合在一个节点的环路。 独立回路：独立回路：“独立回路独立回路”应是：该组回路是线应是：该组回路是线 性无关的，即该组中任一回

19、路不能由其他回路性无关的，即该组中任一回路不能由其他回路 线性表出线性表出 独立回路数目减独立回路数目减1 1正好等于支路的数目减去节正好等于支路的数目减去节 点的数目。点的数目。 或或N个节点个节点P条支路，条支路， 独立回路数目为独立回路数目为 P-N+1 “各回路不相重合，即每个回路至少有一条其他各回路不相重合，即每个回路至少有一条其他 回路所没有的支路回路所没有的支路” 6413 l 任意有限网络中，所有网孔组成的回路组任意有限网络中，所有网孔组成的回路组 是独立回路组是独立回路组 l 连接第一、二个节点需要一条树枝，而新连接一连接第一、二个节点需要一条树枝，而新连接一 个节点需要一条

20、新的树支，故总共有个节点需要一条新的树支，故总共有n-1n-1条树支。条树支。 l 独立回路数就等于连支数。而在整个电路中，除独立回路数就等于连支数。而在整个电路中，除 树支以外所有支路均为连支，连支数树支以外所有支路均为连支，连支数=p-=p-（n-1n-1） =p-n+1=p-n+1，即独立回路数等于，即独立回路数等于p-n+1p-n+1。 l 故有故有p-n+1p-n+1个独立的回路电压方程，再加上个独立的回路电压方程，再加上n-1n-1个个 独立的节点电流方程，可唯一地解出整个电路。独立的节点电流方程，可唯一地解出整个电路。 （同平面网络中的讨论）（同平面网络中的讨论） 2.基尔霍夫方

21、程 基尔霍夫第一方程 0 k k I 在求和时，流入节点的电流用在求和时，流入节点的电流用“-”号，流出节点号，流出节点 的电流用的电流用“+”号，这就是基尔霍夫第一方程，其实号，这就是基尔霍夫第一方程，其实 质就是稳恒电流情况下的电荷守恒定律。质就是稳恒电流情况下的电荷守恒定律。 对电路中每一个节点，有的电流流入节点，有的电流对电路中每一个节点，有的电流流入节点，有的电流 自节点流出。根据电荷守恒定律和稳恒电流条件，流入支自节点流出。根据电荷守恒定律和稳恒电流条件，流入支 点的电流应等于流出支点的电流，因此，对于每一个分支点的电流应等于流出支点的电流，因此，对于每一个分支 点，有点，有 对对

22、N个节点，可列出个节点，可列出N个电流方程，可以证明，个电流方程，可以证明， 只有只有N-1个方程是独立的。其中一个方程可用个方程是独立的。其中一个方程可用 其余其余N-1个方程组合得到。个方程组合得到。 基尔霍夫第一方程适用于电路的节点，也可基尔霍夫第一方程适用于电路的节点，也可 以把它推广到电路的任一个假想封闭面。以把它推广到电路的任一个假想封闭面。 对虚线所示的对虚线所示的 封闭曲面，有封闭曲面，有 0 321 III 若两个网络系统只有一条导线连接，若两个网络系统只有一条导线连接， 则根据基尔霍夫第一方程就有：则根据基尔霍夫第一方程就有： 0I 基尔霍夫第二方程 对于复杂电路中任一闭合

23、回路，沿闭合回路绕行对于复杂电路中任一闭合回路，沿闭合回路绕行 一周，回路中各电阻上电势降落的代数和等于各一周，回路中各电阻上电势降落的代数和等于各 电源的电动势造成的电势升高的代数和，这一结电源的电动势造成的电势升高的代数和，这一结 论称为基尔霍夫第二方程。论称为基尔霍夫第二方程。 0)(IRIrU 正负号取法如下：正负号取法如下： 先任意假定绕行方向，当绕行方向经电源内部先任意假定绕行方向，当绕行方向经电源内部 由正极指向负极时，由正极指向负极时， 取正号，反之取负号。当取正号，反之取负号。当 绕行方向与电流方向一致时，取正号，反之取绕行方向与电流方向一致时，取正号，反之取 负号。负号。

24、0)(II- 3 0)(I 2 0)(I 1 56426443 3554322322 1563531711 RIrRR rIRIrRR RIrIrRR ：回路 ：回路 ：回路 对对N个节点，又个节点，又N-1个节点方程，个节点方程， P条支路，可有条支路，可有 P-N+1 个第二方程组，即个第二方程组，即： 由第一和第二方程，一共可得到由第一和第二方程，一共可得到 个方程，由此可解出个方程，由此可解出P条支路上的电流。条支路上的电流。 ( ) 0; 1,2,-1 0; 1,2,-1 i i i j j IiN UiP N 3.叠加原理 在具有几个电动势的电路中，几个电动势在具有几个电动势的电路

25、中，几个电动势 共同在某一支路中引起的电流，等于每个电动共同在某一支路中引起的电流，等于每个电动 势单独存在时在该支路上所产生的电流之和。势单独存在时在该支路上所产生的电流之和。 【例例】有若干个电阻构成如图所示的电路有若干个电阻构成如图所示的电路, 其中其中A 和和 B 两点的接地电阻是两点的接地电阻是固定固定不动的不动的. 输入电输入电 压压V1 ,V2 ,Vn 仅取仅取 1V 或或 0V 两个值两个值, 0V 表示接地表示接地. 试问试问B点的最点的最大输大输出电压是多少出电压是多少 ? 【解解】 电路可等效为电路可等效为下下图图 所示的电路所示的电路, 其中其中 B 和和 C 之间之间

26、的的电压电压UBC 即为所求的输出电压即为所求的输出电压。将将 BC 支路的电支路的电流流为为 IBC, 则有则有： BCBCBC RIU 2 BC R 设电源设电源 k k单独存在时单独存在时, ,BCBC支路的电流为支路的电流为I IBC BC(k), (k), 则由基尔霍夫方程组的线性特征可则由基尔霍夫方程组的线性特征可知应有：知应有： n i BCBC kII 1 )( 有当有当 k k单独存在时单独存在时, ,BCBC支路的电压为支路的电压为： BCBCBC RkIkU)()( n k BCBC kUU 1 )( 问题便简化为确定问题便简化为确定 k k单独存在的单独存在的BC支路的

27、电压支路的电压 UBC( k ). 1 3 1 ) 1 ( BC U 2 3 1 2 1 )2( BC U 类似地有：类似地有： k k BC kU 3 1 ) 2 1 ()( 1 所以，综上所述，有：所以，综上所述，有： k k BC kU 3 1 ) 2 1 ()( 1 由于由于 k只能取只能取0和和1，显然显然, , 当各当各 均取均取1 1V V时时, UBC达达 到极大值到极大值, , 为为： ) 2 1 1 ( 3 2 2 1 3 1 1 1n n k k BC U 这就是这就是B B点的最大输出电压点的最大输出电压。 【例例】 如如图是一电桥图是一电桥 电路，电路，R1、R2、R

28、3和和 R4的是四臂的电阻，的是四臂的电阻，G 是内阻为是内阻为Rg的电流计，的电流计， 电源的电动势为电源的电动势为 ，并并 忽略其内阻，求通过忽略其内阻，求通过 电流计电流计G的电流的电流Ig与四与四 臂电阻的关系臂电阻的关系。 【解解】 该桥式电路由该桥式电路由4个节点和个节点和6条支路组成，条支路组成， 可列出可列出3个节点方程和个节点方程和3个回路方程，共个回路方程，共6个个 独立方程。独立方程。 0 , 3 0 , 2 0 , 1 0 , 0 , 0 , 4422 4433 2211 43 13 21 RIRI RIRIRI RIRIRI IIIC IIIB IIIA gg gg

29、g 回路 回路 回路 节点 节点 节点 简化后，得到三个方程组：简化后，得到三个方程组： g gg gg IRIRR IRRRIRIR IRIRIR 4242 432413 2211 )( 0)( 0 采用行列式法解该方程组，则采用行列式法解该方程组，则 ： D D g g I 其中其中D Dg g和和D D分别为：分别为： 4321214343324121 442 4343 21 )()()( 0 )( RRRRRRRRRRRRRRRRR RRR RRRRR RRR g g g D )( 0 0 0 4132 42 43 21 RRRR RR RR RR g D 若若Ig=0，则则D Dg

30、g必为零，由此必有：必为零，由此必有： 4 2 3 1 R R R R 桥式电路可以用于测量电阻，若桥式电路可以用于测量电阻，若R3为可变电为可变电 阻，阻，R2/R4的比值一定，则通过调节的比值一定，则通过调节R3，使使 Ig=0，由上式就可求得由上式就可求得R1。 【拓展题拓展题】 求三个电容器上的电量求三个电容器上的电量. l 在网络中，位于任一对节点在网络中，位于任一对节点j-k间的一个无伴独间的一个无伴独 立电源，既可转移到与节点立电源，既可转移到与节点j相连的所有支路中相连的所有支路中 与各电阻串接，也可转移到与节点与各电阻串接，也可转移到与节点k 相连的所有相连的所有 支路中与各

31、电阻串接，原支路中与各电阻串接，原j-k 间的无伴独立电压间的无伴独立电压 源支路短接。转移后的各独立电压源与原无伴源支路短接。转移后的各独立电压源与原无伴 独立电压源具有相同的极性。独立电压源具有相同的极性。 无伴独立电源的转移 l 无电阻器与之串接的电源称无伴独立电源。无电阻器与之串接的电源称无伴独立电源。 反之亦然反之亦然 2 (1) 3 BC U 四、 复杂电路电阻计算法 1. 电流叠加法 无限对称网络的电阻计算，常常采用电流叠加法。无限对称网络的电阻计算，常常采用电流叠加法。 【例例】一立方体，每边的电阻都为一立方体，每边的电阻都为R，求对角线之求对角线之 间的电阻。间的电阻。 【解

32、解】对对A点，点， I=3I1 对对C点，点，I1=2I2 RIRIRIU AB121 IRIRIRIRIRAB 6 5 3 1 6 1 3 1 RRAB 6 5 所以所以 【例例】一个无限延展的矩形线圈平面网络，求任一个无限延展的矩形线圈平面网络，求任 意相邻两点间的电阻。意相邻两点间的电阻。 【解解】由对称性和叠加原理由对称性和叠加原理 A点送入点送入I安培，则安培，则 B点取出点取出I安培，则安培，则 4 I I AB 4 I I AB 两者相加，有两者相加，有 2 I I AB r I IRU AB 2 又又 所以所以 2 r R 若把若把AB间的电阻间的电阻r去掉，则去掉，则AB间的

33、电间的电 阻为多少？阻为多少？ r Rr rR R rR rR R AB AB AB AB AB AB 若把若把AB间的电阻换成间的电阻换成R，则则AB间的电间的电 阻为多少？阻为多少？ 若把所有电阻换成电容若把所有电阻换成电容C，则则AB间的等间的等 效电容是多少？效电容是多少？ Rab=r/3 Rab=2r/3 拓展题拓展题无限大六角形网络无限大六角形网络, 每边电阻为每边电阻为r, 求求: (1)ab之间电阻之间电阻; (2)如果电流从如果电流从a流入流入, 从从g流出流出, 求求de段的电流段的电流. = + 263 III I ac 263 III I cb r I IrIr Rab

34、 22 A IIII 741 B IIIIIII 986532 III BA 63 b,d关于关于a点对称点对称, Abede III 2 1 同理同理, 电流电流I从从g点流出点流出, 则类似的分析则类似的分析, 有有: Bde II IIIIIIII BABAdedede 6 1 )63( 6 1 2 1 【例例】电阻丝网络如图所示，每一小段的电阻均为电阻丝网络如图所示，每一小段的电阻均为 R试求试求A，B之间的电阻。之间的电阻。 【解解】对于从对于从A端流入，从端流入，从B端端 流出的电流流动方式，这个网流出的电流流动方式，这个网 络并不具有直观的对称络并不具有直观的对称 然而，根据电流

35、的叠加然而，根据电流的叠加 性可以把图（性可以把图（1）中电流）中电流I从从A 流入，从流入，从B流出的方式，看作是流出的方式，看作是 图（图（2）中电流）中电流I从从A流入从流入从O(网网 络中心络中心)流出的方式流出的方式 。与图（。与图（3） 中电流中电流I从从O流入，从流入，从B流出的流出的 方式的叠加方式的叠加 由于后两种电流流动方式都具有对称性，从而由于后两种电流流动方式都具有对称性，从而 把原来看似不具有对称性的问题，转化成具有对称把原来看似不具有对称性的问题，转化成具有对称 性的问题，使之便于求解性的问题，使之便于求解 图（图（2）电流）电流I从从A流入，从流入，从O流出因对称

36、地流出因对称地 分流，从分流，从A到到C的电流应为：的电流应为： 2 I I 1 又因对称，又因对称，E和和B应等势，故图（应等势，故图（2）BDE部分无部分无 电流电流I1在在C点分流，由两部分电阻的点分流，由两部分电阻的3：1关系，关系， 可知图（可知图（2）中的）中的I2应为：应为： I 8 1 I 4 1 I 12 图（图（3）中，电流）中，电流I从从O流入，从流入，从B流出。利用对称流出。利用对称 性，不难算出性，不难算出(过程从略过程从略)其中的电流其中的电流I1与与I”2分别分别 为：为： I 24 5 II 24 1 I 21 , 上述两种电流分布叠加，构成如图（上述两种电流分

37、布叠加，构成如图（1）所示的）所示的 电流。由叠加原理，有：电流。由叠加原理，有： I 3 1 I 24 8 III I 24 13 III 222 111 IR 24 29 R2IRIU 21AB 所以所以 R 24 29 RAB 【思考题思考题】求下图求下图AF之间的电阻之间的电阻. AF 48(9 1) 717 ,Rr 1224 BOAF BO RRr Rr 则。 推广的电流叠加法 如右图所示，电流如右图所示，电流I从从 金属球壳金属球壳A电流入，电流入，B 点流出。求任意一点点流出。求任意一点 C的电流面密度。这的电流面密度。这 个问题用传统的电流个问题用传统的电流 叠加法是不能求解的

38、。叠加法是不能求解的。 需要更基本的电流叠需要更基本的电流叠 加原理。加原理。 由于电流本质上是运动的电荷，我们可以通过电荷由于电流本质上是运动的电荷，我们可以通过电荷 的分布来求出电流的分布。的分布来求出电流的分布。 在上面的问题中，可先让电流从在上面的问题中，可先让电流从A电流入，于是电荷电流入，于是电荷 会在球壳表面上均匀分布。流过会在球壳表面上均匀分布。流过C的电荷实际上就是过的电荷实际上就是过 C点的纬线下部的电荷量。同样电荷从点的纬线下部的电荷量。同样电荷从B流出时流过流出时流过C处处 的圆环的电荷实际上就是此圆环左边的电荷量。这样有的圆环的电荷实际上就是此圆环左边的电荷量。这样有

39、 了电荷的分布，电流面密度就能求出来。了电荷的分布，电流面密度就能求出来。 设设C点相对点相对A在纬度为在纬度为60的位置的位置 , 流过该纬度的电量为流过该纬度的电量为: 2 1 2 2(1 cos30 ) 4 r qq r 则则C点相对点相对B点的纬度就为点的纬度就为30 , 流过该纬度的电量为流过该纬度的电量为: 2 2 2 2(1 cos60 ) 4 r qq r 12 12 12 () zx qq jjjee SS 2.对称法 一个无源电阻网络，经某种操作（如旋一个无源电阻网络，经某种操作（如旋 转、反射等），所得的网络与原网络相同，转、反射等），所得的网络与原网络相同， 则称原网络

40、在这些操作下具有对称性。则称原网络在这些操作下具有对称性。 对称性电路，在接入电源后，往往可以对称性电路，在接入电源后，往往可以 找到由对称性带来的等势点。使问题简化。找到由对称性带来的等势点。使问题简化。 【例例】24个相同的电阻个相同的电阻r，联结成每边三个电阻的，联结成每边三个电阻的 正方格子，试求对角正方格子，试求对角a，b间的电阻间的电阻Rab。 【解解】ab间加电压，由对称性，间加电压，由对称性，m、n两点的电势相两点的电势相 等，等，e，f，g，h四点的电势相同，四点的电势相同，p，q两点电势两点电势 相同，故可以连接起来，变成右图，相同，故可以连接起来，变成右图， rrrR3

41、7 3 2 2 11 rr r Rab 7 13 ) 7 3 2 (2 【例例】3个完全相同的金属电阻圈，正交地连接成个完全相同的金属电阻圈，正交地连接成 如下图所示的形状，若每只金属圈的电阻如下图所示的形状，若每只金属圈的电阻 为为R，求求AB两点之间的等效电阻。两点之间的等效电阻。 【解解】整个网络对整个网络对AB 所在的平面具有对称性，所在的平面具有对称性， 上下两部分可以变为并上下两部分可以变为并 联的两部分。联的两部分。 设设 4 R r 进一步，（进一步，（b）图对图对O点具有对称性，故可以简点具有对称性，故可以简 化为（化为（c）图。图。 21 21 RR RR RAB r rr

42、r rrr R 2 1 2 1 2 1 ) 2 1 2 1 ( 1 rrRrR 2 5 12 Rr rr rr RAB 48 5 12 5 2 5 2 1 2 5 2 1 所以所以 【例例】如图所示的电阻网络，每一段的电阻为如图所示的电阻网络，每一段的电阻为r， 求求AB的等效电阻和的等效电阻和MN之间的等效电阻。之间的等效电阻。 【解解】本题的对称性十分明显，求本题的对称性十分明显，求RAB时，电路简化成右图。时，电路简化成右图。 rr rr rRAB 7 13 3 1 4 1 2 1 1 求求MN之间的电阻，可把电路进一步简化成右图。之间的电阻，可把电路进一步简化成右图。 r rrrr R

43、MN 7 5 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 【例例】图示网络中，每条支路图示网络中，每条支路R=1， 求等效电阻求等效电阻Rab 2 /0.4 335 ab RR RRR 【例例】n个端点，每个端点，每2个端点之间用相同的电阻连个端点之间用相同的电阻连 接，接， 求任求任2个端点之间的等效电阻。个端点之间的等效电阻。 考虑端点考虑端点1和和2，电流从，电流从1流入，从流入，从2流出。流出。 1 (1)VI R 21 32 43 23 12 3 4 n n n n n VI RIR VI RIR VI RIR VIRI R VIRI R （第 端点） （第 端点） （第

44、5端点） (2) （第n-1端点） （第n端点） （1）式）式*2和（和（2）中）中n-2个相加：个相加： (2)22nVVIR 2nVIR eq VIR 又又 2 eq R R n nReq 2R 32R/3 4R/2 52R/5 6R/3 72R/7 8R/4 【例例】某电路有某电路有8个节点个节点,任意任意2个节点之个节点之 间的电阻为间的电阻为2W,在任意在任意2个节点之间加个节点之间加 上上10V电压电压.求总电流求总电流,各支路电流以及各支路电流以及 电流消耗的总功率电流消耗的总功率. 由对称性由对称性, 3,4,5,6,7,8各点之间无电流各点之间无电流 R12=0.5 , I=

45、20A, P=200W, I12=I/4=5A, 其余相同其余相同I13=2.5A 【拓展题拓展题】由电阻均为由电阻均为R的电阻丝组成正二的电阻丝组成正二 十面体框架十面体框架.现将其中相邻节点现将其中相邻节点A,B间的电间的电 阻丝拿走阻丝拿走,求这两个节点之间的电阻求这两个节点之间的电阻RAB. 正正20面体有面体有12个节点个节点. 每个节点连接每个节点连接5根导线根导线. A点流入电流点流入电流: B点亦流出的电流点亦流出的电流: AB之间的直接导线上有之间的直接导线上有I/5+I/5=2I/5的电流的电流. 2 () 115 AB II IRR 11 30 AB RR 11 19 A

46、B RR 112 1111 III 112 1111 III 2 () 54 AB II IRr 5 12 AB Rr 2 () 73 AB II IRr 7 12 AB Rr 【例例】 二端无限梯形电阻网络如图所示，它由二端无限梯形电阻网络如图所示，它由 K个相同的网络元中接而成，每个网络元包个相同的网络元中接而成，每个网络元包 含三个相同的电阻含三个相同的电阻R计算图中计算图中A、B两点之间的两点之间的 等效电阻等效电阻RAB。 先设先设x个网络元组成二端网络其等效电阻个网络元组成二端网络其等效电阻 记为记为RK，再连接一个网络元，其等效电阻记为再连接一个网络元，其等效电阻记为R K+l设

47、法找出 设法找出R K+l与与RK之间的递推关系最后令之间的递推关系最后令 K ， R K+l和和RK都是所求电阻都是所求电阻RAB 。 或或 K K K RR RR RR 2 1 )( )23( 1 RR RRR R K K K 当当K时，时， ABKK RRR 1 所以，方程为：所以，方程为： 022 22 RRRR ABAB 所以：所以： RRAB)31 ( R RRR RAB31 2 842 22 显然显然R不能取负号。不能取负号。 二端无限电容网络，电容均二端无限电容网络，电容均C求图中求图中A、B 两点之间的等效电阻两点之间的等效电阻CAB。 由倒数电容法和上题结果，有：由倒数电容

48、法和上题结果，有： CC AB 2 13 CC AB 1 )31 ( 1 【例例】如图所示的电阻网络，每个电阻在阻值为如图所示的电阻网络，每个电阻在阻值为r， 求求AB间的等效电阻。间的等效电阻。 把网络分解成三部分，把网络分解成三部分， MM左边，左边，NN右边右边 和中间部分。和中间部分。 这样，两边就是两个二端无限网络，如图：这样，两边就是两个二端无限网络，如图： RRx)31 ( 1 () 2 1133 1 2223 x AB x rR Rr rR rr 【例例】如图所示的无限网络，电阻均为如图所示的无限网络，电阻均为r，求求AB 间等效电阻间等效电阻RAB。 【解解】利用无限网络的对

49、称性，可以把利用无限网络的对称性，可以把AB连线方向连线方向 上的各个电阻拆开，拆开后的等效电路如下图上的各个电阻拆开，拆开后的等效电路如下图 所示。所示。 拆开后的电阻阻值为拆开后的电阻阻值为2r，图中未标注的电阻均为图中未标注的电阻均为 r。图中用虚线分为图中用虚线分为5个部分。即个部分。即MM左边和左边和NN 右边各右边各2部分，这四部分电路等同。部分，这四部分电路等同。 rRx 2 213 033 22 rrRR xx r r Rr rRr rR rR R x x x x )221( 2 1 22 22 22 2 r Rr rR RAB)21 21 2 1 ( 如图，每个电容值均为如图

50、，每个电容值均为C，求求AB间的电容值。间的电容值。 由倒数电容法，可得由倒数电容法，可得 等效电阻电路，因为等效电阻电路，因为 rRAB)21 21 2 1 ( CCAB 1 )21 21 2 1 ( 1 CCAB 17 21221 【拓展题拓展题】如图所示如图所示, 电阻电阻r=2 , C1=C2=10m mF, C3=20m mF, 1= 2=6V, 3=24V, 电源内阻为零电源内阻为零. 求求 AB之间的电流和之间的电流和3个电容器极板上的电量个电容器极板上的电量. 设空间有设空间有N个点，其间用电阻为个点，其间用电阻为r 的导线连接。如果两个点之间直的导线连接。如果两个点之间直 接

51、由一条导线相连，则称他们是接由一条导线相连，则称他们是 相邻的。将所有相邻的点之间电相邻的。将所有相邻的点之间电 阻测一遍，加起来，和为阻测一遍，加起来，和为(N-1)r. 也就是说，任意两个相邻顶点之间的电阻也就是说，任意两个相邻顶点之间的电阻 是多少可以不知道，但其和是（是多少可以不知道，但其和是（N-1）r。 对称网络基本规律 第一类对称网络 所谓第一类对称网络，即对称性最好的电所谓第一类对称网络，即对称性最好的电 阻网络，所有阻网络，所有相邻顶点之间的电阻都相同相邻顶点之间的电阻都相同 (总电阻总电阻)。对这种情况，只需数出棱数与。对这种情况，只需数出棱数与 顶点数，则相邻顶点的顶点数

52、，则相邻顶点的电阻值电阻值=(顶点数顶点数- 1)r/棱数棱数。 R=(4-1)r/6=1/2r R=(8-1)r/12=7/12r 正正12面体面体 12 20 119 3030 Rrr 正20面体 20 12 111 3030 Rrr 第二类对称网络 所谓第二类对称网络，其对称性比第一类差所谓第二类对称网络，其对称性比第一类差 一些，所有相邻顶点之间电阻有两种一些，所有相邻顶点之间电阻有两种(总电阻总电阻)， 则可以先用上述定理列出一方程，再将其中则可以先用上述定理列出一方程，再将其中 容易求的求出，则不容易求出的电阻带入第容易求的求出，则不容易求出的电阻带入第 一个方程便可以得出。一个方

53、程便可以得出。 AF 48(9 1) 717 ,Rr 1224 BOAF BO RRr Rr 则。 这种例子非常多这种例子非常多,如右图如右图. 当网孔数趋于无穷时当网孔数趋于无穷时AA 的电阻是容易求出的的电阻是容易求出的,而而 AB的电阻稍难一些。容的电阻稍难一些。容 易看出易看出,AB电阻与电阻与AB电电 阻实际是一样的阻实际是一样的.则先求出则先求出 AA电阻。电阻。 2(21) 13 ,R(1) 63 AAAB AAAB NRNRNr Rrr 则 【问题问题】 C60相邻顶点的电阻相邻顶点的电阻. 它具有它具有60个顶点和个顶点和32个面，其中个面，其中12个为正五边个为正五边 形，

54、形，20个为正六边形。属于第二类对称网络个为正六边形。属于第二类对称网络 n维立方体的电阻维立方体的电阻 二维的立方体二维的立方体,即正方形即正方形, 三维立方体即通常的立方体三维立方体即通常的立方体. n维立方体为在一个维立方体为在一个n-1维立方体外维立方体外(或旁边或旁边) 再做一个再做一个n-1维立方体维立方体,并将对应顶点用线并将对应顶点用线 连接连接.右图便是一右图便是一4维立方体维立方体. 三维立方体由二维立方体演化而来三维立方体由二维立方体演化而来 四维立方体由三维立四维立方体由三维立 方体演化而来方体演化而来 由定义可以用数学归纳法证明由定义可以用数学归纳法证明: n n-1

55、 2 n2, n n 维立方体顶点数为 棱数为每个顶点 都有 个顶点与之相邻 其每条棱为电阻为其每条棱为电阻为r的导线的导线,求其任意来求其任意来 两个顶点之间电阻两个顶点之间电阻. 对于相邻的两个顶点对于相邻的两个顶点,其实就是第一类对称网络其实就是第一类对称网络 (1) 1 21 R 2 n n n n r n 维立方体相邻顶点之间 电阻为 3 3 1 217 3 212 AB Rrr 4 4(1) 4 1 2115 R 4 232 rr n2维立方体相距为 的顶点之间的电阻为： 1 (2) 2 21 (1)2 n n n Rr n 3 1 3 2 213 (3 1) 24 AC Rrr

56、4 1 4(2) 4 2 217 R (4 1) 212 rr n3维立方体任意距离为 的两个顶点之间电阻为 22 1 2 (22)(332) (3) 2(1)(2) n n nnnn Rn n nn 32 2 2 (362)(2792)5 3(3) 2 3(3 1)(32)6 Rrr 61241131 4(3), 5(3), 6(3) 96480320 RRR 322 1 232 1 2(1)(1)37 (4) 2(1)(2)(3) 2 (1)2814 2(1)(2)(3) n n n nnnn Rn n nnn n nnnn n nnn 3. 自相似法 在求无限网络的等效电阻时在求无限网络

57、的等效电阻时, 常常碰到电常常碰到电 阻结构的相似性阻结构的相似性 , 即局部与整体相似即局部与整体相似 , 或在标或在标 度变换下的自相似性度变换下的自相似性。 【例例】电阻丝无限网络如图所示电阻丝无限网络如图所示, 每一段金属丝每一段金属丝 的电阻均为的电阻均为 r, 试求试求A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻 RAB 。 设想电流从设想电流从A流入流入, 设想电流从设想电流从B流入流入, 本图由于自相似本图由于自相似, A就是就是B , B就是就是A. 中间中间金属丝中的电流发生了矛盾金属丝中的电流发生了矛盾。 故这故这根无限长电阻丝中各点等势根无限长电阻丝中各点等势 . 故可这根电

58、阻丝故可这根电阻丝 . 又因网络相对又因网络相对A、B联线具有左右对称联线具有左右对称, 故可折叠故可折叠 成图成图 2所示所示, 此网络可视为此网络可视为A、 B之间之间 2r/3 电阻与图电阻与图 中虚线右侧的两端开路半无限网络并联而成中虚线右侧的两端开路半无限网络并联而成 。 从虚线往右看从虚线往右看, 两端开路半无限网络的电阻计为两端开路半无限网络的电阻计为 RAB ，其结构和从其结构和从CD两端往右看的两端开路半两端往右看的两端开路半无无限限 网络的结构具有相似性网络的结构具有相似性。因为是无限网络因为是无限网络, 有有 321 6 x R 2 2 21 3 2 21 3 x AB

59、x rR Rr rR 【例例】用同种均匀金属丝连接成的无限内接等边三用同种均匀金属丝连接成的无限内接等边三 角形电阻网络如图所示角形电阻网络如图所示, 每个外三角形的三每个外三角形的三 边中点为内接三角形的三个顶点边中点为内接三角形的三个顶点。设最外面设最外面 的等边三角形的边长为的等边三角形的边长为a, 金属丝单位长度的金属丝单位长度的 电阻为电阻为 r , 试求试求A、 B之间的等效电阻之间的等效电阻 RAB 。 【解解】网络相对网络相对MON 具有左、右对称性具有左、右对称性。若电流从若电流从 A 点流点流入入, 从从B点流出点流出, 那么从左侧流向那么从左侧流向 MON 的电的电 流分

60、布必定与从流分布必定与从 MON向右侧流出的电流分布相同向右侧流出的电流分布相同。 因此因此, A到到O的电流与的电流与O至至 B 的电流相同的电流相同, P 到到O的电的电 流流 与与O到到Q的电流相同的电流相同 。因而因而, POQ 与与 AOB 可在可在 O 处分开处分开, 而不影响计算的结果而不影响计算的结果 。 因为每一次的内接正三角形的边长是前一次要因为每一次的内接正三角形的边长是前一次要 被分割的外三角形的边长的二分之被分割的外三角形的边长的二分之一一, 因此因此上上图的网图的网 络相当于在大三角形络相当于在大三角形 ABC 两边中点两边中点 P 与与 Q 之间连之间连 接一个边