2324.浅谈多样化的题型对高中生数学能力培养的作用

1、浅谈多样化的题型对高中生数学能力培养的作用 摘要：数学是在问题研究基础上建立起来的一门专业科学，中学数学教学是以数学问题为载体进行的一种教学。在这一过程中问题的类型往往决定了教学过程的结构特征，而原有的问题模式仅仅能够适应填鸭式的教学方式，对于学生的能力提高有一定的限制。当前高中数学正在使用的题型有：传统数学问题（封闭题）、开放题、非形式化问题和研究性问题。其中开放题、非形式化问题和研究性问题属于新题型，他们的教育功能力有待于进一步研究。从高中数学的新课程教材的结构来看，对问题的多样性也提出了较高的要求。教材中明显地出现了开放题，同时在研究性课题中增加了更为实际的数学建模问题。因此有必要对多样

2、化的数学问题的教育功能进行必要的研究，以便教师在教学过程中能更加恰当的应用各种问题。关键词：试题多样化、非形式化数学是在问题研究基础上建立起来的一门专业科学，中学数学教学是以数学问题为载体进行的一种教学。在这一过程中问题的类型往往决定了教学过程的结构特征，而原有的问题模式仅能适应填鸭式的教学方式，对于学生的能力提高有一定的限制。从新课程高中数学教材的结构来看，对问题的多样性也提出了较高的要求。教材中明显地出现了开放题，同时在研究性课题中增加了更为实际的数学建模问题。因此对于问题多样化有必要进行重新的审视。中学数学教学中的问题根据其题型大致可分为：传统数学问题（封闭题）、开放题、非形式化问题和研

3、究性问题。在教学过程中如何进行比例分配，要从上述几类问题的教育功能上来考虑。下面根据各类题型中具体问题的剖析对题型的教育功能作简要的分析：1、 传统数学问题（封闭题）的剖析。传统数学问题（封闭题）是在教学过程中长期积累、修正和发展得到的一种问题的常见题型，这类题型的长期存在必然有其存在的理由。下面举例说明传统问题的教育功能。问题1：已知是函数的一个极值点，其中，（1）求与的关系式；（2）求的单调区间；（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围.例1是2005年的一道高考题，是普遍认为比较好的问题。从知识角度考虑，例1涉及的知识点有：导数、函数的单调性、函数的值域与最值、不等

4、式等。通过本题的解决，学习者学习、回顾和巩固了以上这些知识点，并且对上述知识进行了一次有机的整合；从培养学生能力的角度考虑，例1培养了学生的推理能力，化归能力；从试题的评价功能角度考虑，考察了学生对于函数与导数部分的基础知识和导数应用部分内容的掌握程度。从上述分析来看，我们知道数学传统题型对于高中学生掌握数学基础知识，培养学生的基本能力是有着重要的作用的。相对而言，如果从新课程理念的角度对上述数学问题进行再思考，我们发现对于数学自我提出问题的能力，筛选信息、重组信息的能力，问题情景的判定，数学学科内部与科学、社会和日常生活的联系能力，数学思想方法的提炼能力等上述一些新课程着重培养的能力方面还存

5、在着一定的缺憾，所以有必要对传统的数学问题进行修正或补充。2、开放题的剖析。开放题型逐渐引入到高中数学教学中来，由于问题的层次性、答案不唯一性和开放性对于提高数学思维的开放性，培养学生创新能力都有非常重要的作用。同时开放题的一部分是通过传统问题的改编而得到的，这一类开放题便于应用到高中数学新课程教学中来，可以作为传统数学题型的一个重要补充。下面我们就问题2做出相应的分析：问题2：已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件：（1） 焦点的坐标为；（2）半长轴为5。则可求得此椭圆方程为。若去掉条件（2），问可添加其他什么条件，能使所求椭圆方程仍为？问题2主要考察了椭圆的定义及椭圆的几何性质。从问题结构及

6、解答过程可以看出这种开放题与传统数学题型有着截然相反的作用，具有以下特点：问题的条件常常是不完备的；问题的答案是不确定的，具有层次性；问题的解决策略具有非常规性、发散性、创新性；问题的研究具有探索性和发展性；问题的教学具有参与性和学生的主体性。从以上特点可以看出，开放题型能够拓宽学生的思维空间，扩大思维的广度；对于不同能力的学生有不同程度的能力要求；对“发散思维”的培养也有很大作用。因此在新课程标准下应积极提倡和发展开放题。它的开放性使得它能够有效的融合各种教学方法和学习方法，能够成为数学传统题型的有益补充。3、非形式化问题的剖析。非形式化问题指：论述题、实验制作题、游戏题等以非形式的逻辑论证

7、做出推导和表现形式的问题，这种问题设计的出发点与形式化问题不同，不以逻辑推理作为探究的主要手段，不以一字不差的确定性结果作为探究的最终目标，它们考虑较多是说理和动手制作实验，给了学生更多主观想法和日常语言表述的机会。这类问题的设计要尽可能多地考虑学生的想法，学生可能遇到的困难；尽可能让学生探索的方向、方法与设计者的意图相一致，从而达到预期目标。下面举例说明：问题3：写一段文字解释下列答案的可疑之处。1） 一个问题要求你求出家用厨房的面积，你的答案是736平方英尺；2） 一个问题要求你求出2000元存一个月的利息是多少，你的答案是105.75元。这些答案的可疑之处不可能完全通过形式化推导来发现，

8、按照形式化推导736英尺约合68.38平方米，没有任何问题。从问题的社会信息来看，家用厨房大概是没有这么大的，月利率要达到5.3%大概在现实情景中也是没有的。看来答案的可疑之处来自于对社会信息的考察，并不来自于数学本身。问题4：谁先到100。两名游戏者轮番给出数1至10中的任意一个，并把这个数加至两人先前已给出的所有数的和。例如，甲首先给出数8；乙给出数3，3加上8等于11；甲又给出数5，5加上11等于16；乙再给出数9，9加上16得25，如此继续下去。先达到数100者获胜。该问题是一道游戏题，没有实物操作，以数学智力游戏的形式展现出来，让学生在游戏中学习数学，在寻求策略中运用数学。上述两道问

9、题主要培养学生的创造能力，思维的发散能力。在形式化的逻辑推理中，往往解决问题的逻辑通道是有限的几条，学生的聪明才智受到问题空间的制约。一些非形式化问题则期望摆脱这样的束缚，让学生能自由地发挥，甚至于形象化地、情感式地表达自己的想法与感受。对于培养学生的发散性思维、数学的应用能力都是非常有用的。4、研究性题型的剖析。研究性题型能够使学生通过自主参与类似于科学研究的学习活动，获得亲身体验，逐步形成善于质疑、乐于探究、勤于动手、努力求知的积极态度，产生积极情感，激发他们探索、创新的欲望。研究性题型通常围绕一个需要解决的实际问题展开，它的解题过程是一个开放式的学习过程。通过研究性学习，要帮助学生学会利

10、用多种有效手段、通过多种途径获取信息，学会整理与归纳信息，学会判断和识别信息的价值，并恰当的利用信息，以培养收集、分析和利用信息的能力。下面结合买汽车的数学模型剖析研究性题型在培养中学数学能力的作用。例5：假如你已经有足够的经济实力，从而打算购买使用私人汽车（如小汽车），于是你需要对使用私人小汽车所需要的开支及其他有关问题，进行一次评价与计划。这时也许你要求助于数学这一工具，请你对上述课题进行调查研究，也许你（或许其他朋友）会提出不同的方案，请与他们讨论，进行比较。分析：我们可以给出如下思考方式：1） 关于开支的模型。最简单的线性关系，如考虑单位距离的开支，但人们并不肯定这种模型，因而想提出更

11、精确的模型。例如考虑买车的利息，折旧等。2） 来自实际生活的数学数据。也许我们需要采集一些数据：小汽车的价格及办理各种手续的费用，固定的年支出，如养路费、保险费、维修费等。3） 来自用户的选择。对不同的汽车的选择；新车或旧车；本题适合在高中研究性课题中使用，问题没有限制使用特定的数学思想，没有固定的思考模型，使得学生找不到着手点。但是大家都知道大多数的实际问题并没有固定的解决模式，同时问题的解决者也不一定就具有解决问题的完备知识，但是问题总是要解决的。而且人们更喜欢直接投入问题的情景中，我们也并不期望学生在试图着手处理挑战性问题之前就掌握好所有预备知识。从而使学生在研究性问题的解决过程中体验解

12、决复杂而有趣的问题带来的心智上的满足。 有以上五例的分析，我们可以对上述四类题型作如下比较：封闭题开放题非形式化问题研究性问题知识要求高中数学的基础知识高中数学及以前的数学知识数学知识及日常生活与科学知识数学知识及广泛的社会、科学知识能力要求逻辑推理，空间想象能力，化归能力筛选、重组信息能力，推理能力，化归能力，逆向思维能力思维发散能力，创造能力，数学情感培养创造能力，数学建模能力，自学能力，写作能力教学要求传统的教学模式大都适合多样的教学模式相结合对教学方法没有太多的要求，重在体现辅助作用需要较多的教学课时的同时，要求学生有较高的自学能力和团队协作能力分析上表，从数学基础知识教学考虑，数学传统题型对于高中生学习和掌握数学基础知识有着不可替代的作用，数学传统题型基础知识的针对性较强，能够很好的巩固学生对于基础知识的掌握。开放题是在传统数学问题的基础上变化得到的，因此开放性问题能够起到巩固学生基础知识的作用，它更具有传统数学问题所不具备的开放性和层次性，这使得它能在高中学生的创新能力方面有着非常优越的性能。非形式化问题是以非形式的逻辑论证做出推导和表现形式的问题，考虑较多是说理和动手制作实验，给了学生更多主观想法和日常语言表述的机会，从而非形式化问题对于学生思维的开放性有着非常重要的作用。研究性题型通常围