江西省丰城重点中学2023-2024学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题（含答案）

丰城重点中学2023-2024学年上学期高二第三次月考试卷数学范围：选择性必修一第1-5章一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．直线的倾斜角为（）A．B．C．D．不存在2．已知直线的倾斜角为，方向向量，则（）A．B．C．D．3．已知圆的圆心在直线上，且圆与两坐标轴都相切，则圆的方程可以为（）A．B．C．D．4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切．则下列椭圆的标准方程中满足题意的是（）A．B．C．D．5．某电视台的一个综艺栏目对含甲､乙在内的六个不同节目排演出顺序，第一个节目只能排甲或乙，最后一个节目不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种6．现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（）A．B．C．D．7．与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．椭圆上B．双曲线的一支上C．抛物线上D．圆上8．不过原点的直线与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，若直线的斜率小于，则的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．已知直线，直线，下列说法正确的是（）A．直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距B．若点在直线上，则点也在直线上C．若，则D．若，则10．已知圆和圆相交于两点，则下列说法正确的是（）A．B．直线的方程为C．线段的长为D．到直线的距离与到直线的距离之比为11．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，底面，且，则（）A．直线与所成角的余弦值是B．点到直线的距离是C．直线与平面所成角的正弦值为D．点到平面的距离为12．已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（）A．抛物线的方程为B．C．直线的斜率为D．直线的方程为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．的展开式中的系数为________．14．设，若空间向量与平行，则________．15．已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点．若是以为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为________．16．已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知的顶点边上的高所在直线的方程为．（1）求直线的一般式方程；（2）若边上的中线所在直线的方程为，求顶点的坐标．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为4，且与的夹角都等于，N是的中点，设．（1）用基底表示向量；（2）求的长．19．（12分）已知．（1）当时，与相交于两点，求直线的方程；（2）若与相切，求的值．20．（12分）如图，直三棱柱的底面为等边三角形，分别为的中点．（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．21．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．（1）求抛物线的标准方程；（2）抛物线的准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．22．（12分）已知是椭圆上的三点，其中、两点关于原点对称，直线和的斜率满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点作斜率不为0的直线与椭圆的两个交点分别为，若为定值，则称点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由．高二第三次段考数学答案1—8ABCABBBB9．BD10．ABC11．AD12．BCD13．9814．15．616．3017．（1）；（2）．解（1）依题意，边上的高所在直线的斜率为1，则直线的斜率为，所以直线的方程为，即．（2）设，因为边上的中线所在直线的方程为，且，所以，则，因为边上高所在的直线经过点，所以，则，故A的坐标为．18．（1）（2）．解（1）由题意得；（2）由已知，得，，所以，所以的长为．19．（1）（2）答案见解析解（1）当时，，则用与作差得：，化简得：，即直线的方程为（2），半径半径，当两圆外切时，，解得，当两圆内切时，，解得．20．（1）证明见解析（2）解（1）连接．由直三棱柱底面为等边三角形，则，且平面．以为坐标原点，所在直线分别为轴，以过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，因为，所以，所以，因为平面平面，所以平面．（2）因为平面平面，所以平面平面．在平面内，取的中点，连接，则，又平面平面平面，所以平面，且，由，得，即，所以，则，．设平面的法向量为，由得令，则，设平面的法向量为，由得令，则，所以，故平面与平面夹角的余弦值为．21．（1）（2）或解（1）由已知可知，所以，所以．又点在拋物线上，所以，又，所以，所以抛物线的标准方程为．（2）由题意，，当直线斜率为0时，显然不成立，所以直线斜率不为，设直线方程为，设由消元得，所以，因直线交抛物线于两点，所以，解得，即或，因为以为直径的圆过点，所以又所以所以，所以符合题意，所