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文档简介
1、数列通项公式的求法几种常见的数列的通项公式的求法一 观察法例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,(2)(3)(4)解:(1)变形为:1011,1021,1031,1041, 通项公式为: (2) (3) (4).点评:关键是找出各项与项数n的关系。 二、公式法例2: 已知数列an是公差为d的等差数列,数列bn是公比为q的(qr且q1)的等比数列,若函数f (x) = (x1)2,且a1 = f (d1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q1),(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式;解:(1)a 1=f (d1
2、) = (d2)2,a 3 = f (d+1)= d 2,a3a1=d2(d2)2=2d,d=2,an=a1+(n1)d = 2(n1);又b1= f (q+1)= q2,b3 =f (q1)=(q2)2,=q2,由qr,且q1,得q=2,bn=bqn1=4(2)n1例1. 等差数列是递减数列,且=48,=12,则数列的通项公式是( )(a) (b) (c) (d) 解析:设等差数列的公差位d,由已知,解得,又是递减数列, , ,故选(d)。例2. 已知等比数列的首项,公比,设数列的通项为,求数列的通项公式。解析:由题意,又是等比数列,公比为,故数列是等比数列, 点评:当已知数列为等差或等比数
3、列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比。三、叠加法例3:已知数列6,9,14,21,30,求此数列的一个通项。解 易知 各式相加得点评:一般地,对于型如类的通项公式,只要能进行求和,则宜采用此方法求解。例4. 若在数列中,求通项。解析:由得,所以,将以上各式相加得:,又所以 =四、叠乘法例4:在数列中, =1, (n+1)=n,求的表达式。解:由(n+1)=n得,= 所以例4. 已知数列中,前项和与的关系是 ,试求通项公式。解析:首先由易求的递推公式:将上面n1个等式相乘得:点评:一般地,对于型如=(n)类的通项公式,当的值可以求得时,宜采用此方法。五、sn法利用 (
4、2)例5:已知下列两数列的前n项和sn的公式,求的通项公式。(1)。 (2)解: (1)=3此时,。=3为所求数列的通项公式。(2),当时 由于不适合于此等式 。 点评:要先分n=1和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。六、待定系数法: 例6:设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12,求通项公式cn解:设 例6. 已知数列中,其中b是与n无关的常数,且。求出用n和b表示的an的关系式。解析:递推公式一定可表示为的形式。由待定系数法知: 故数列是首项为,公比为的等比数列,故点评:用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项
5、式,一般地,若数列为等差数列:则,(b、为常数),若数列为等比数列,则,。七、辅助数列法例7:已知数的递推关系为,且求通项。解: 令则辅助数列是公比为2的等比数列即 例5. 在数列中,求。解析:在两边减去,得 是以为首项,以为公比的等比数列,由累加法得= = 例8: 已知数列中且(),求数列的通项公式。解: , 设,则故是以为首项,1为公差的等差数列 点评:这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如型(1)若f(n)为常数,即:,此时数列为等差数列,则=.(2)若f(n)为n的函数时,用累加法.方法如下: 由 得:时,所以各式相加得
6、 即:.为了书写方便,也可用横式来写: 时,=.例 1. (2003天津文) 已知数列an满足,证明证明:由已知得: = .例2.已知数列的首项为1,且写出数列的通项公式. 答案:例3.已知数列满足,求此数列的通项公式. 答案: 评注:已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。例4.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型
7、(1)有,又得,所以,又,则此题也可以用数学归纳法来求解.2.形如型(1)当f(n)为常数,即:(其中q是不为0的常数),此时数列为等比数列,=.(2)当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由得 时,=f(n)f(n-1). 例1.设是首项为1的正项数列,且(=1,2, 3,),则它的通项公式是=_.解:已知等式可化为:()(n+1), 即时,=.评注:本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,从而求出.例2.已知,求数列an的通项公式.解:因为所以故又因为,即,所以由上式可知,所以,故由累乘法得 =所以-1.评注:本题解题的关键是把原来的递推关
8、系式转化为若令,则问题进一步转化为形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式.3.形如型(1)若(d为常数),则数列为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;(2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过构造转化为型,通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得,分奇偶项来分求通项.例1. 数列满足,求数列an的通项公式.分析 1:构造 转化为型解法1:令则.时,各式相加:当n为偶数时,.此时当n为奇数时,此时,所以.故 解法2:时,两式相减得:.构成以,为首项,以2为公差的等差数列;构成以,为首项,以2为公差的等差数列. 评注:结果要还原成n的表达式.例2.(20
9、05江西卷)已知数列an的前n项和sn满足snsn2=3求数列an的通项公式.解:方法一:因为以下同例1,略答案 4.形如型(1)若(p为常数),则数列为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;(2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过逐差法得,两式相除后,分奇偶项来分求通项.例1. 已知数列,求此数列的通项公式.注:同上例类似,略.5形如,其中)型(1)若c=1时,数列为等差数列;(2)若d=0时,数列为等比数列;(3)若时,数列为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下:设,得,与题设比较系数得,所以所以有:因此数列构成以为首项,以
10、c为公比的等比数列,所以 即:.规律:将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例1已知数列中,求通项.分析:两边直接加上,构造新的等比数列。解:由得,所以数列构成以为首项,以为公比的等比数列所以,即 . 方法二:由 时,两式相减得 ,数列是以=为首项,以c为公比的等比数列.=( .方法三:迭代法由 递推式直接迭代得=.方法四:归纳、猜想、证明.先计算出,再猜想出通项,最后用数学归纳法证明.注:请用这三种方法来解例题,体会并比
11、较它们的不同.6.形如型.(1)若(其中k,b是常数,且)方法:相减法例1. 在数列中,求通项.解:, 时,两式相减得 .令,则利用类型5的方法知即 再由累加法可得.亦可联立 解出.例2. 在数列中,,求通项.解:原递推式可化为比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列,首项,公比为. 即:故.(2)若(其中q是常数,且n0,1)若p=1时,即:,累加即可.若时,即:,求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以.即: ,令,则,然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以 . 即: ,令,则可化为.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法:设.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通
12、项.例1.(2003天津理)设为常数,且证明对任意1,;证法1:两边同除以(-2),得令,则=.证法2:由得 .设,则b. 即:,所以是以为首项,为公比的等比数列.则=,即:,故 .评注:本题的关键是两边同除以3,进而转化为类型5,构造出新的等比数列,从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.证法3:用待定系数法设, 即:,比较系数得:,所以 所以,所以数列是公比为2,首项为的等比数列. 即 .方法4:本题也可用数学归纳法证.(i)当n=1时,由已知a1=12a0,等式成立; ( ii)假设当n=k(k1)等式成立,则 那么 也就是说,当n=k+1时,等式也成立. 根据(i)和(i
13、i),可知等式对任何nn,成立. 规律: 类型共同的规律为:两边同除以,累加求和,只是求和的方法不同.7.形如型(1)即 取倒数法.例1. 已知数列中,求通项公式。 解:取倒数: 例2.(湖北卷)已知不等式为大于2的整数,表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正,且满足()证明分析:本题看似是不等式问题,实质就是求通项问题.证:当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知,当n3时有,评注:本题结合不等式的性质,从两边取倒数入手,再通过裂项求和即可证得.2.形如型方法:不动点法:我们设,由方程求得二根x,y,由有同理,两式相除有,从而得,再解出即可.例1. 设数列an满足,求an的通项
14、公式.分析:此类问题常用参数法化等比数列求解.解:对等式两端同时加参数t,得:,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首项为,公比为的等比数列, =, 解得.方法2:,两边取倒数得,令b,则b,转化为类型5来求. 8.形如(其中p,q为常数)型(1)当p+q=1时 用转化法例1.数列中,若,且满足,求.解:把变形为.则数列是以为首项,3为公比的等比数列,则 利用类型6的方法可得 .(2)当时 用待定系数法.例2. 已知数列满足,且,且满足,求.解:令,即,与已知比较,则有,故或下面我们取其中一组来运算,即有,则数列是以为首项,3为公比的等比数列,故,即,利用类型 的方法,可得. 评注:形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可.9
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