工力第11章-弯曲应力

1、2021年6月22日星期二1 第 11 章 弯曲应力 对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力 弯拉(压)组合问题 本章主要研究： 2021年6月22日星期二2 1 引言 2 对称弯曲正应力 3 惯性矩与平行轴定理 4 对称弯曲切应力 5 梁的强度条件 6 梁的合理强度设计 7 双对称截面梁的非对称弯曲 8 弯拉(压)组合 2021年6月22日星期二3 1 引 言 弯曲应力与对称弯曲弯曲应力与对称弯曲 本章内容本章内容 2021年6月22日星期二4 弯曲应力与对称弯曲弯曲应力与对称弯曲 弯曲应力 弯曲正应力弯曲正应力 梁弯曲时横截面上的梁弯曲时横截面上的s s 弯曲切

2、应力弯曲切应力 梁弯曲时横截面上的梁弯曲时横截面上的t t 对称弯曲 对称截面梁，在纵向对称面承受横向对称截面梁，在纵向对称面承受横向 外力时的受力与变形形式外力时的受力与变形形式对称弯曲对称弯曲 2021年6月22日星期二5 变形形式与本章内容变形形式与本章内容 基本变形形式轴向拉压，扭转，弯曲轴向拉压，扭转，弯曲 组合变形形式两种或三种不同基本变形形式的组合两种或三种不同基本变形形式的组合 对称弯曲正应力对称弯曲正应力 对称弯曲切应力对称弯曲切应力 弯曲强度计算与合理强度设计弯曲强度计算与合理强度设计 双对称截面梁非对称弯曲双对称截面梁非对称弯曲 应力与强度应力与强度 弯拉（压）组合，弯扭

3、组合，弯拉（压）扭组合弯拉（压）组合，弯扭组合，弯拉（压）扭组合 本章主要内容 变形形式 弯拉（压）组合应力与强度弯拉（压）组合应力与强度 2021年6月22日星期二6 2 对称弯曲正应力 弯曲弯曲试验与假设试验与假设 对称弯曲正应力公式对称弯曲正应力公式 例题例题 2021年6月22日星期二7 弯曲试验与假设弯曲试验与假设 弯 曲 试 验 2021年6月22日星期二8 试验现象 横线为直线横线为直线, 仍与纵线正交仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短靠顶部纵线缩短, 靠底部纵靠底部纵 线伸长线伸长 纵线伸长区纵线伸长区, ,截面宽度截面宽度减小减小 纵线缩短区纵线缩短区, 截面截面宽度宽度增大增大

4、弯曲假设 横截面横截面变形后变形后保持平面，仍与纵线正交保持平面，仍与纵线正交弯曲平弯曲平 面假设面假设 各纵向各纵向“纤维纤维”处于单向受力状态处于单向受力状态单向受力假单向受力假 设设 （纯弯与正弯矩作用）（纯弯与正弯矩作用） 2021年6月22日星期二9 推 论 梁内梁内存在一长度不变的过渡层存在一长度不变的过渡层中性层中性层 中性层与横截面得交线中性层与横截面得交线中性轴中性轴 横截面间绕中性轴相对转动横截面间绕中性轴相对转动 中性轴中性轴截面纵向对称轴截面纵向对称轴 2021年6月22日星期二10 对称对称弯曲正应力公式弯曲正应力公式 公式的建立 几何方面几何方面: d d)d( )

5、( y y 物理方面物理方面: )()(yEy s s y 静力学方面静力学方面: (b) 0d , 0 A x AFs s (c) d , 0MAyM A z s s (a) )( s s y Ey 2021年6月22日星期二11 MAy E A d 2 (a)(b) 0d A Ay0 d A Ay y A C 中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心 (a)(c) A z AyI d 2 z )( I My y s s z EI M 1 (d)(a) z I Mymax max s s z W M max s s 抗弯截面系数抗弯截面系数 max y I W z z (a) s s y E

6、 (b) 0d A As s(c) dMAy A s s (d) 惯性矩惯性矩 2021年6月22日星期二12 结论结论 中性轴过截面形心中性轴过截面形心 z EI M 1 z I My y )(s s 中性轴位置：中性轴位置： 截面弯曲刚度）截面弯曲刚度）（ z EI z W M max s s 抗弯截面系数）抗弯截面系数）（ z W 正正应力公式：应力公式： 中性层曲率：中性层曲率： )()(yEy s s 0d A As sMAy A ds s pmax s ss s , 对称弯曲对称弯曲, 纯弯与非纯弯纯弯与非纯弯 惯性矩）惯性矩）（ z I 应用条件：应用条件： 总总 结结 假设假设

7、平面假设，单向受力假设平面假设，单向受力假设 综合考虑三方面综合考虑三方面 y y )( 2021年6月22日星期二13 一些易混淆的概念 对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横向外对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式力时的受力与变形形式 纯纯 弯弯 曲梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常曲梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态数的受力状态 中性轴横截面受拉与受压区的分界线中性轴横截面受拉与受压区的分界线 形心轴通过横截面形心的坐标轴形心轴通过横截面形心的坐标轴 弯曲刚度弯曲刚度EI代表梁截面抵抗弯曲变形的能力代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数抗弯截

8、面系数Wz代表梁截面几何性质对弯曲强度代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响的影响 中性轴与形心轴中性轴与形心轴 对称弯曲与纯弯曲对称弯曲与纯弯曲 截面弯曲刚度与抗弯截面系数截面弯曲刚度与抗弯截面系数 2021年6月22日星期二14 例例 题题 例 2-1 梁用梁用18 工字钢工字钢 制成制成，Me=20 kNm, E=200 GPa。 试计算：试计算：最大最大弯曲正弯曲正应力应力s smax ，梁轴曲率半径，梁轴曲率半径 解：1. 工字钢（工字钢（GB 706-1988） 一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材 45 m 1066. 1 z I 34

9、m 1085. 1 z W 18 工字钢：工字钢： 2021年6月22日星期二15 2. 应力计算应力计算 3. 变形计算变形计算 mkN 0 .20 e MM Me=20 kNm，E=200 GPa，求求 s smax 与与 45 m 1066. 1 z I 34 m 1085. 1 z W z W M max s s z EI M 1 M EI z MPa 1 .108 m 166 2021年6月22日星期二16 3 惯性矩与平行轴定理 静矩与惯性矩静矩与惯性矩 简单截面惯性矩简单截面惯性矩 平行轴定理平行轴定理 例题例题 2021年6月22日星期二17 静矩与惯性矩静矩与惯性矩 A z

10、AySd 静矩 惯性矩 n i izz SS 1 n i izz II 1 A z AyId 24 L 3 L C Ay 截面对截面对z轴的轴的静矩静矩 截面对截面对 z 轴的轴的惯性矩惯性矩 n i Cii yA 1 A y AzSd C Az Ci n i iy zAS 1 A y AzId 2 n i iyy II 1 2021年6月22日星期二18 简单截面惯性矩简单截面惯性矩 矩形截面惯性矩 max y I W z z A z AyId 2 圆形截面惯性矩 AI A d 2 p z II2 p 642 4 p d I Iz 32 2 64 34 d d d Wz yby h h d

11、2/ /2- 2 12 3 bh 6 2 bh Azy A d)( 22 yz III p 2 12 3 h bh 2021年6月22日星期二19 平行轴定理平行轴定理 平行轴定理 Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系 Oyz 任意直角坐标系任意直角坐标系 A z AyId 2 2 0 2 0 d2dAaAyaAyI AA z 2 0 AaII zz AyI A z d 2 0 0 同理得：同理得： 2 0 AbII yy 0d 0 A Ay A z AayId 2 0 二者平行二者平行 的关系的关系与与建立建立 0 zz II 2021年6月22日星期二20 例例 题题 例 3-1 已知：

12、已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d d=20mm 试计算试计算：截面截面 B-B 的最大拉应力的最大拉应力s st,max与压应力与压应力s sc,max 解：1. 弯矩计算弯矩计算mN 6000 FlM B 2. 形心位置计算形心位置计算由矩形由矩形 1 与矩形与矩形 2 组成的组合截面组成的组合截面 C Ay Ci n i iz yAS 1 A yA y Ci n i i C 1 2021年6月22日星期二21 3. 惯性矩计算惯性矩计算 m 045. 0 22 bb b bb d dd d d dd d d d d d 46- 2 3 1 m 103.02

13、212 d d d d d d Cz yb b I 46- 2 3 2 m 105.82 212 Cz y b b b Id dd d d d 46 21 m 1084. 8 zzz III 4. 最大弯曲正应力最大弯曲正应力 MPa 5 .30 maxt, z CB I yM s s MPa 5 .64 )( maxc, z CB I ybMd d s s 21 2211 AA yAyA y CC C 21zzz III 2021年6月22日星期二22 例 3-2 已知已知：钢：钢带厚带厚 d d = 2mm, 宽宽 b = 6mm, D=1400mm, E=200GPa。试计算。试计算：带

14、内的带内的 s smax 与与 M 解：1. 问题分析问题分析 s s y E s s max max y E z EI M 1 应力变形关系：应力变形关系： 内力变形关系：内力变形关系： 已知钢带的变形（轴线曲率已知钢带的变形（轴线曲率 半径），求钢带应力与内力半径），求钢带应力与内力 z EI M 2021年6月22日星期二23 带厚带厚 d d=2 mm, 宽宽 b= 6mm, D = 1400mm, E = 200GPa，求，求 s smax 与与 M 22 d d D s s max max y E 2. 应力计算应力计算 MPa 285 max max s s y E 2 max

15、d d y 3. . 弯矩计算弯矩计算 z EI M 1 z EI M 12 3 d d bE mN 141. 1 m 701. 0 m 100 . 1 3 2021年6月22日星期二24 4 对称弯曲切应力 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力 薄壁截面梁的薄壁截面梁的弯曲切应力弯曲切应力 弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较 例题例题 2021年6月22日星期二25 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力 假设 t t (y) / 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布截面侧边，并沿截面宽度均匀分布 狭窄矩形截面梁狭窄矩形截面梁 (hb) x F b y d d1 )

16、( t t Sz(w w)面积面积 w w 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩 FxbFxdd , 0 t t w w s sAFd w w Ay I M z d* z z I MS)(w w 弯曲切应力公式 2021年6月22日星期二26 bI SF y z z )( )( S w w t t x M bI S y z z d d )( )( w w t t x F b y d d1 )( t t z z I MS F )(w w y h y h bSz 22 1 2 )(w w 2 2 S 4 1 2 3 )( h y bh F yt t A FS max 2 3 t t 12 3 bh

17、Iz 2 2 42 y hb 2021年6月22日星期二27 截面翘曲与非纯弯推广 切应变切应变非均布非均布 截面翘曲截面翘曲 （ ab ab （ = ，弯曲，弯曲 s s 仍保持线性分布仍保持线性分布 切应力非均布切应力非均布 当梁上作用横向分布载荷时，只要当梁上作用横向分布载荷时，只要 l 5h，纯弯，纯弯s s 公式仍足够精确公式仍足够精确 当当FS= =常数时，常数时， 2021年6月22日星期二28 薄壁截面梁的薄壁截面梁的弯曲切应力弯曲切应力 工字形薄壁梁 d d w w t t z z I SF y )( )( S 假设假设 : : t t / 腹板侧边腹板侧边, 并沿其厚度均匀

18、分布并沿其厚度均匀分布 )4()( 8 )( 2222 0 S yhhhb I F y z d d d d t t w w y 下侧部分截面下侧部分截面 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩 (0) max t tt t ) 2 ( min h t tt t 2021年6月22日星期二29 盒形薄壁梁 d d w w t t 2 )( )( S z z I SF y w w )4(2)( 61 )( 2222 0 S yhhhb I F y z d d d d t t 假设假设 : : t t / 腹腹 板侧边板侧边, 并沿并沿 腹板厚度均布腹板厚度均布 2021年6月22日星期二30 弯曲正应

19、力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较 z W Mmax max s s A FS max 2 3 t t F bh bh Fl 3 26 2 max max t t s s 当当 l h 时，时，s smax t tmax 2 6 bh Fl 6 2 bh Fl bh F 2 3 h l 4 2021年6月22日星期二31 例例 题题 例 4-1 FS = 15 kN, Iz = 8.84 10-6 m4, b = 120 mm, d d 20 20 mm, yC = 45 mm。试求试求: t tmax ；腹板与翼缘腹板与翼缘 交接处切应力交接处切应力 t ta 2 )( )( ma

20、x, C Cz yb ybS d d d dd d MPa 667 maxS max . I SF z , z d d t t 35- , m 108.40 2 Caz y b bSd dd d MPa 13. 7 ,S d d t t z az a I SF 解： 35 2 max m 10039 2 )( . yb S C , z d dd d 2021年6月22日星期二32 5 梁的强度条件 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态 梁的强度条件梁的强度条件 例题例题 2021年6月22日星期二33 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态 实心与非薄壁截面梁 a与与c 点点处单向应力处

21、单向应力b 点点处纯剪切处纯剪切 2021年6月22日星期二34 薄壁截面梁 c 与与d 点点处单向应力处单向应力a 点点处纯剪切处纯剪切 b 点点处处s s 与与t t 联合作用联合作用 d 2021年6月22日星期二35 梁的强度条件梁的强度条件 弯曲弯曲正应力正应力强度条件：强度条件： 弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件： max s ss s max t tt t t t 材料纯剪切许用应力材料纯剪切许用应力 s s 材料单向应力许用应力材料单向应力许用应力 强度条件的应用 细长非薄壁梁细长非薄壁梁 短而高梁、薄壁梁、短而高梁、薄壁梁、 M 小小 FS大的梁大的梁或梁段或梁段 )

22、( maxmax t ts s max s ss s max s ss s max t tt t 梁的强度条件 对一般薄壁梁，对一般薄壁梁，还应还应考虑考虑 s s 、t t 联合作用下的联合作用下的 强度强度问题问题（参见第（参见第 14 章中的强度理论）章中的强度理论） 2021年6月22日星期二36 例例 题题 例 5-1 简易吊车梁，简易吊车梁，F =20 kN，l = 6 m，s s = 100 MPa ， t t = 60 MPa，选择工字钢型号选择工字钢型号 解：1. 危险工作状态分析危险工作状态分析 l Fl F )( )( S FF max S l FM 1)( 4 max

23、Fl M 移动载荷问题移动载荷问题 2021年6月22日星期二37 2. 按弯曲按弯曲 s s 条件选截面条件选截面 4 max s ss s FlM Wz 选选 22a, Wz=3.0910-4 m4 3. 校核梁的剪切强度校核梁的剪切强度 d dd d t t z z z z I FS I SF max,max, max S max MPa 11.14 max t tt t 44 m 1003 . d d max, z z S I F 4 max Fl M FF max S 2021年6月22日星期二38 例 5-2 铸铁梁铸铁梁， y1 = 45 mm，y2 = 95 mm，s st =

24、 35 MPa ，s sc = 140 MPa，Iz =8.8410-6 m4，校核梁的校核梁的 强度强度 解： MD最大正弯矩最大正弯矩MB最大负弯矩最大负弯矩 危险截面危险截面 截面截面 D, B 2021年6月22日星期二39 daBD yyMM , 因 da s ss s 故 危险点危险点 z D a I yM 2 s sMPa 859-. z D b I yM 1 s sMPa 328. z B c I yM 2 s sMPa 633. MPa 859 maxc, . a s ss s MPa 633 maxt, . c s ss s c s s t s s a, b, c 截面截面

25、D 截面截面B 2021年6月22日星期二40 6 梁的合理强度设计 梁的合理截面形状梁的合理截面形状 变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 例题例题 2021年6月22日星期二41 梁的合理截面形状梁的合理截面形状 将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性 与脆性材料的差异与脆性材料的差异 t c t s s s s y yc 上下上下 对称对称 塑性塑性 材料材料 脆性脆性 材料材料 注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性 避免剪切破坏避免剪切破坏 与局部失稳与局部失

26、稳 2021年6月22日星期二42 变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁 )( )( s s xW xM 弯曲等强条件弯曲等强条件 FxxM)( 6 )( )( 2 xbh xW 6 )( s sb Fx xh )(2 )(3 S t t xbh xF 1 2 3 )(h b F xh t t FxF)( S 等强度梁各横截面具有同样强度的梁 剪切等强条件剪切等强条件 2021年6月22日星期二43 2021年6月22日星期二44 梁的合理受力梁的合理受力 合理安排约束 a = ? F 最大最大 2021年6月22日星期二45 合理安排加载方式 8/6/4/FlFlFl 2021年6月22日星

27、期二46 例例 题题 例 6-1 梯形截面梁，梯形截面梁，s st = 45 MPa， s sc = 80 MPa，试求，试求 a 与与 b 的最佳比值。的最佳比值。 解：1. 形心的最佳位置形心的最佳位置 t c max , t max c, s s s s s s s s t c s s s s y yh )( 25 9 a h y 2. a与与b的最佳比值的最佳比值 )( 2 3 b ba bah y 23 2 b a 得：得： I My s s )()(ba 2021年6月22日星期二47 7 双对称截面梁的非对称弯曲 弯曲正应力分析弯曲正应力分析 中性轴与最大弯曲正应力中性轴与最大弯

28、曲正应力 例题例题 2021年6月22日星期二48 弯曲正应力分析弯曲正应力分析 非对称弯曲 双对称截面梁双对称截面梁 非对称弯曲非对称弯曲 非对称截面梁非对称截面梁 非对称弯曲非对称弯曲 2021年6月22日星期二49 弯曲正应力分析 z z y y I yM I zM s s 矢量沿坐标轴正矢量沿坐标轴正 向的弯矩向的弯矩M为正为正 利用叠加法分利用叠加法分 析内力与应力析内力与应力 弯曲正应力沿横截面线性分布 2021年6月22日星期二50 中性轴与最大弯曲正应力中性轴与最大弯曲正应力 0 y z z y I yM I zM y z tan y z z y M M I I 0)0 , 0

29、(s s z z y y I yM I zM s s 中性轴为通过横截面形心的直线中性轴为通过横截面形心的直线 中性轴位置与方位 0 z z y y I yM I zM 中性轴的方位角为：中性轴的方位角为： y z z y M M I I 1 tan 2021年6月22日星期二51 s smax 发生发生 在离中性在离中性 轴最远的轴最远的 各点处各点处 z z y y , W M W M maxcmaxt s ss s z az y ay , I yM I zM maxcmaxt s ss s 矩形、工字形与箱形等具有外棱角截面：矩形、工字形与箱形等具有外棱角截面： 最大弯曲正应力 2021

30、年6月22日星期二52 例例 题题 例 7-1 Fy =Fz =F = 1.0 kN，a = 800 mm，截面高截面高 h = 80 mm，宽宽 b = 40 mm，s s = 160 MPa ，校核梁强度校核梁强度 解：1. 内力分析内力分析 FaMFaM zAyA ,2 危险截面截面危险截面截面 A 2021年6月22日星期二53 2. 应力分析应力分析危险点危险点d, f z zA y yA W M W M max s s 66 2 22 bh Fa hb Fa MPa 5 .146 3. 强度校核强度校核危险点处于单向应力状态危险点处于单向应力状态 max s ss s MPa 160 2021年6月22日星期二54 8 弯拉(压)组合 弯拉弯拉( (压压) )组合的应力组合的应力 偏心压缩应力偏心压缩应力 例题例题 2021年6月22日星期二55 弯拉弯拉( (压压) )组合的应力组合的应力 实例 弯拉组合弯拉组合 偏心拉伸偏心拉伸 （外力平行与（外力平行与 偏离轴线）偏离轴线） （横向载荷轴向载荷