电动力学_4章_菲涅耳公式

1、1.4 菲涅耳公式菲涅耳公式 （Augustin-Jean Fresnel 1788-1827） 光射在两种介质的界面上时，将发生反射和折光射在两种介质的界面上时，将发生反射和折 射。射。能流的分配与入射角有关，能流的分配与入射角有关，还存在相位的跃变还存在相位的跃变 和偏振态的变化。和偏振态的变化。 从电磁场的边界条件出发，可以得到从电磁场的边界条件出发，可以得到 反射和折反射和折 射定律射定律，以及入射与反射、折射的振幅关系以及入射与反射、折射的振幅关系解解 决光在界面上的强度分配问题。决光在界面上的强度分配问题。 菲涅耳在麦克斯韦之前得到了反射、折射公式菲涅耳在麦克斯韦之前得到了反射、折

2、射公式. S S f LS f LS dSB QdSD dSD dt d IdlH dSB dt d dlE 0 0)( )( )( 0)( 12 12 12 12 BBn DDn JHHn EEn s s 在绝缘介质界面，无自由电荷和传导电流在绝缘介质界面，无自由电荷和传导电流 tt nn tt nn HH HH EE EE 21 2211 21 2211 电位移矢量法线分量连续电位移矢量法线分量连续 电场强度矢量切线分量连续电场强度矢量切线分量连续 磁感应强度矢量法线分量连续磁感应强度矢量法线分量连续 磁场强度切线分量连续磁场强度切线分量连续 电磁场边界条件：电磁场边界条件：电磁场边值关系

3、由麦克斯韦积分方程给出，反电磁场边值关系由麦克斯韦积分方程给出，反 映了电磁场在两种介质分界面处的突变的规律。映了电磁场在两种介质分界面处的突变的规律。 注：注： 为表为表 面传导电流面传导电流 密度；密度； 为表为表 面自由电荷面自由电荷 密度。密度。 s J s 研究该问题的基本思路：我们可以把入射波研究该问题的基本思路：我们可以把入射波 电场的振幅矢量分解成两个分量，一个分量电场的振幅矢量分解成两个分量，一个分量 垂直于入射面，称为垂直于入射面，称为“s”分量；另一个分量分量；另一个分量 位在入射面内，称为位在入射面内，称为“p”分量。分量。 根据叠加原理根据叠加原理：可以只研究入射波电

4、场仅含：可以只研究入射波电场仅含s 分量和仅含分量和仅含p分量这两种特殊情况；当两种分量这两种特殊情况；当两种 分量同时存在时，则只要先分别计算由单个分量同时存在时，则只要先分别计算由单个 分量所造成的折、反射波电场，然后再作矢分量所造成的折、反射波电场，然后再作矢 量相加即可得到结果。量相加即可得到结果。 把电矢量分成两个分量把电矢量分成两个分量: 规定规定s 分量的正方向为沿分量的正方向为沿 y 轴正方轴正方 向，向，p 分量的正方向为与分量的正方向为与s 分量和传播分量和传播 方向构成右手螺旋关系：方向构成右手螺旋关系： p分量分量 平行于入射面平行于入射面 （光线方向与界面法线所确定的

5、平面，（光线方向与界面法线所确定的平面， 如图中如图中 xy面为界面，面为界面，z轴为法线。）轴为法线。） s分量分量 垂直于入射面。垂直于入射面。 图中的图中的y轴方向。轴方向。 1 i 2 i 1 i x z 2s E 2p E 1s E 1p E 1s E O 1p E psk )(exp )(exp )(exp 2220 2 11 , 10 , 1 1110 1 trkiAyE trkiAyE trkiAyE s s s s s s 对于对于s分量，设分量，设: 11 0 11 0 1 cossinikzikxk 211 其中其中: sssEEE211 coscoscos 11 0 1

6、1011 0 1zyx ikzikyikxk zyx ikzikyikxk 22 0 22022 0 2 coscoscos 由电磁场边界条件，在界面（即由电磁场边界条件，在界面（即z=0）处有：处有： 因对于所有时间因对于所有时间t t，和所有，和所有x x、y y上式成立，所以：上式成立，所以： 0cos,0cos 21 yy ii 因而，因而， 可表达为：可表达为： 21 kk 和cossin 11 0 11 0 1 ikzikxk 22 0 22 0 2 cossinikzikxk 由此可知道，由此可知道，（1 1）入射、反射和折射光线在同一个面内。）入射、反射和折射光线在同一个面内。

7、 得到，得到，（2 2） ，即反射角等于入射角；，即反射角等于入射角； 以及，以及， 221111 sinsinsinikikik从而，从而， 11 ii 2211 sinsininin 这就是著名的反射定律反射定律和折射定律折射定律（Snell定律），它包 括两个内容： 菲涅耳给出在分界面处，入射波、反射波、折射波的菲涅耳给出在分界面处，入射波、反射波、折射波的s 分量的振幅关系为：分量的振幅关系为： （1）入射、反射和折射光线在同一个面内。）入射、反射和折射光线在同一个面内。 （2 2）反射角等于入射角；以及，）反射角等于入射角；以及， 2211 sinsininin sssHHH211

8、再由磁矢量在界面（即再由磁矢量在界面（即z=0）处的条件：处的条件： 并利用在非铁磁质中的关系：并利用在非铁磁质中的关系： rrrr n , 1 )sin( )sin( 12 12 1 1 ii ii A A r s s s )sin( cossin2 21 12 1 2 ii ii A A t s s s 同理可得出在分界面处，同理可得出在分界面处，p分量的振幅关系。分量的振幅关系。 折射、反射定律只解决了平面光波在两个介质分界 面上的传播方向问题。 菲涅尔公式描述折、反射波（复）振幅与入射波 （复）振幅之间的关系，是物理光学中的又一组基 本公式： )sin( )sin( 21 21 ii

9、ii rs )cos()sin( cossin2 2121 12 iiii ii t p )sin( cossin2 21 12 ii ii ts )( )( 21 21 iitg iitg rp 1112221 1112221 coscossin() coscossin() s s s Eniniii r Eniniii 1 211212 1211212 coscostan() coscostan() p p p E niniii r Eniniii 21112 1112212 2cos2 cossin coscossin() s s s Eniii t Eniniii 2 11 12112

10、 2cos coscos p p p E ni t Enini （1）p分量的振幅反射率：分量的振幅反射率： （2）s分量的振幅反射率：分量的振幅反射率： （3）p分量的振幅透射率：分量的振幅透射率： （4）s分量的振幅透射率：分量的振幅透射率： 2 0 2 1 ES 平面电磁波的能流密度能流密度： n r r1一般一般 )( 2 1 2 0 0 0 EnS 平面电磁波的能流密度能流密度与与 成正比。成正比。)( 2 0 En 一、菲涅耳公式中的能量守恒一、菲涅耳公式中的能量守恒 既然 表示光的能量流动，为什么 2 0 E? 2 2 2 1 2 1sssEEE 则在界面上能流则在界面上能流反射

11、反射 率率和和透射率分别透射率分别为：为： 所以，所以， 可见，s分量能量守恒；能量守恒；同理可得，p分量能量能量 守恒。所以，守恒。所以，菲涅耳公式菲涅耳公式满足满足能量守恒能量守恒 )(sin )(sin 12 2 12 2 2 ii ii r ss R )(sin cossin4 cos cos sin sin cos cos 21 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ii ii i i i i t i i n n ss T 1 )(sin cossin4 cos cos sin sin )(sin )(sin 21 2 1 2 2 2 1 2 2 1 12 2 12

12、 2 ii ii i i i i ii ii ss TR . . . . . . . . . . i 0 i 0 n 1 n 2 90 0 r 以布儒斯特角入射以布儒斯特角入射 90r 0 + =i 0 = 1 n n 2 tg i sin i sin r 0 = sin i sin 0 ()90i 0 0= 0 n tgi 0 n 1 2 = 由折射定律：由折射定律： 二、二、 （1 1） 0 )( )( 12 12 iitg iitg rp )( 12 iitg 当当 时，时， 2/ 12 ii P P光的反射系数：光的反射系数： 外腔式激光管加装布儒斯特窗，以产生外腔式激光管加装布儒斯特

13、窗，以产生线偏振激光线偏振激光。 假如封闭管子两端的玻璃窗口是垂直于管轴线的玻假如封闭管子两端的玻璃窗口是垂直于管轴线的玻 璃片，那么自然光每经过一个窗口表面就有大约璃片，那么自然光每经过一个窗口表面就有大约4% 的反射损失的反射损失(96%透入透入)。光在。光在M1 M2之间每个单程要之间每个单程要 4次穿过窗口表面。这样，光来回反射时，反射损耗次穿过窗口表面。这样，光来回反射时，反射损耗 太大就不能形成激光。太大就不能形成激光。 i0i0 激光输出激光输出 布儒斯特窗布儒斯特窗M1M2 i0 i0 反射、折射时的偏振现象反射、折射时的偏振现象 入入射射角角 1 i 反反射射光光偏偏振振态态

14、 折折射射光光偏偏振振态态 0 B i )( 2 c i 自自然然光光 部部分分偏偏振振光光（自自然然光光S光光） 线线偏偏振振光光（S光光） 部部分分偏偏振振光光（自自然然光光S光光） 自自然然光光 自自然然光光 部部 分分 偏偏 振振 光光 自自然然光光 光与物质的相互作用，本质上是光与电子的相互作用。运 动的电子既有电荷亦有磁矩，光是电磁波。在光与电子的相互 作用中，是电场起主要作用，还是磁场起主要作用，还是电场 和磁场起等同的作用维纳实验回答了这个问题。 三、三、维纳维纳(O.Wiener 1890年年)实验证明实验证明 电场是主要的电场是主要的 更令人信服的、进一步的维纳实验： 对于

15、s光， ppss HHEE 1111 /，记录到明暗条纹 sspp HHEE 1111 / ， 对于p光， 记录到均匀黑度 证明乳胶感光是电场所致，而磁场没有起作用。 原子物理学从理论上可以估算出，光波中作用于电子电荷原子物理学从理论上可以估算出，光波中作用于电子电荷 上电场力远远大于作用于电子磁矩的磁场力。上电场力远远大于作用于电子磁矩的磁场力。 证明乳胶感光是电场所致，证明乳胶感光是电场所致， 而磁场没有起作用。而磁场没有起作用。 原子物理学从理论上可以估算出，光波中作用于电子电荷原子物理学从理论上可以估算出，光波中作用于电子电荷 上电场力远远大于作用于电子磁矩的磁场力。上电场力远远大于作

16、用于电子磁矩的磁场力。 光疏到光密，正入射的反射光的电场矢量有半波 损失，而磁场矢量没有。在a0点观察到的是暗纹，确 定和乳胶相互作用过程中起作用的是光波的电矢量。 * . 虚光源虚光源 点光源点光源 反射镜反射镜 当屏移到当屏移到 AB位置时，在屏上的位置时，在屏上的P 点应该出现暗条纹，光在镜子表面反射点应该出现暗条纹，光在镜子表面反射 时有相位突变时有相位突变。 可正可负。振幅的正负号改变，可正可负。振幅的正负号改变， 就意味着相位改变就意味着相位改变。（半波损失）。（半波损失） 四、半波损四、半波损 )cos()sin( cossin2 2121 12 iiii ii t p )sin

17、( cossin2 21 12 ii ii ts 2/0 i 0 p t0 s t )( )( 12 21 iitg iitg rp )sin( )sin( 12 12 ii ii rs ps rr、 半波损半波损-通常把位相跃变而引起的这个附加程差通常把位相跃变而引起的这个附加程差 /2/2叫半波损。叫半波损。 讨论：讨论： B ii 1 2/ 21 ii 当当 时时 2121 ,iinn0 p r0 s r 2121 ,iinn当当 时时 0 p r0 s r 当光从光疏介质向光密介质入射时，当光从光疏介质向光密介质入射时， 反射光发生相位突变。反射光发生相位突变。 B ii 1 2/ 2

18、1 ii 当当 时时 2121 ,iinn 2121 ,iinn当当 时时 0 p r0 s r 0 p r0 s r . . . . 0 s r 0 p r . . 0 s r 0 p r . . . 0 s r 0 p r . . 0 s r 0 p r 总结洛埃镜实验和维纳实验，以及理论分 析，可得 当光从光疏介质向光密介质入射时，反当光从光疏介质向光密介质入射时，反 射光相位发生变化。但只有入射角接近射光相位发生变化。但只有入射角接近0或或 90，即垂直入射或掠射时，反射光相位发，即垂直入射或掠射时，反射光相位发 生生的突变。的突变。 在任何情况下透射光都没有半波损。在任何情况下透射光

19、都没有半波损。 AAr At Ar At t At Arr ArtrAt 比较两种情况有比较两种情况有: : ArrAttA 0AtrArt 即即 r r 2 1r tt ( (斯托克斯倒逆关系式斯托克斯倒逆关系式) ) 五、五、斯托克斯倒逆关系斯托克斯倒逆关系 1 n 2 n 1 n 2 n 六、全反射六、全反射 当光波从光密介质射向光疏介质(n1n2)时， 将发生全反射全反射。 对于对于s分量的透射波有分量的透射波有: 1 sin exp) sin (exp exp)cos(sinexp )(exp 2 1 2 2 1 220 22220 220 2 n i zktx n i jkAy tjzixijkAy trkjAyE s s s s 其中，n=n2/n1 瞬逝波与古斯汉欣位移瞬逝波与古斯汉欣位移 实际上全反射现象并不象在几何光学中所描述的那 样完全不进入n2，而是光波透过分界面，进入n2很薄的 一层表面(深度约为光波波长)，并沿界面移动半个波长