浮点数的运算方法

1、四四. 浮点运算器与浮点数运算浮点运算器与浮点数运算 浮点运算器浮点运算器通常由通常由 处理阶码处理阶码的的 和和 处理尾数处理尾数的的 两个定点运算器组成两个定点运算器组成 在早期的小或微型机中，浮点运算器通常以在早期的小或微型机中，浮点运算器通常以 任选件方式提供给用户任选件方式提供给用户 , 主要用于计算浮点数主要用于计算浮点数 浮点数加减运算浮点数加减运算 对阶对阶 执行加减执行加减 规格化规格化 舍入舍入 (右归）判溢出右归）判溢出 浮点数乘除运算浮点数乘除运算 阶码加减阶码加减 尾数乘除尾数乘除 舍入与规格化处理舍入与规格化处理 判溢出判溢出 浮点数在计算机内的格式浮点数在计算机内

2、的格式 浮点数浮点数: X = MS ES Em-1 .E2 E1 M-1M-2.M-n 符号位符号位 阶码位阶码位 尾数数码位尾数数码位 总位数总位数 短浮点数短浮点数: 1 8 23 32 长浮点数长浮点数: 1 11 52 64 临时浮点数临时浮点数: 1 15 64 80 IEEE 标准：标准：阶码用移码，基为阶码用移码，基为2；尾数用原码尾数用原码 X = MX * 2 EX 浮点数的浮点数的阶码阶码的位数决定数的表示范围，的位数决定数的表示范围， 尾数尾数的位数决定数的有效精度。的位数决定数的有效精度。 浮点数在计算机内的格式浮点数在计算机内的格式 浮点数浮点数: X = M E

3、E .E E M M .M ssm-110-1-2 -n IEEE 标准：标准：尾数用原码尾数用原码 X = MX * 2 EX 浮点数是数学中实数的子集合，由一个纯小数乘上一个指数浮点数是数学中实数的子集合，由一个纯小数乘上一个指数 值来组成。在计算机内，其纯小数部分被称为浮点数的值来组成。在计算机内，其纯小数部分被称为浮点数的尾数尾数， 对非对非 0 值的浮点数，要求尾数的绝对值值的浮点数，要求尾数的绝对值必须必须 = 1/2，称满足这，称满足这 种表示要求的浮点数为种表示要求的浮点数为规格化表示规格化表示； 把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数把不满足这一表示要求的尾数，变

4、成满足这一要求的尾数 的操作过程，叫作浮点数的的操作过程，叫作浮点数的规格化处理规格化处理，通过尾数移位和修改，通过尾数移位和修改 阶码实现。阶码实现。 浮点数在计算机内的格式浮点数在计算机内的格式 浮点数浮点数: X = M E E .E E M M .M ssm-110-1-2-n IEEE 标准：标准：尾数用原码尾数用原码 X = MX * 2 EX 按国际电子电气工程师协会规定的标准，浮点数的尾数要按国际电子电气工程师协会规定的标准，浮点数的尾数要 用原码表示，即符号位用原码表示，即符号位 Ms: 0 表示正，表示正，1 表示负，且非表示负，且非 0 值尾数值尾数 数值的最高位数值的最

5、高位 M-1 必为必为 1, 才能满足浮点数规格化表示的要求；才能满足浮点数规格化表示的要求； 既然非既然非 0 值浮点数的尾数数值最高位必定为值浮点数的尾数数值最高位必定为 1，则在保存浮，则在保存浮 点数到内存前，通过尾数右移点数到内存前，通过尾数右移, 强行把该位去掉强行把该位去掉, 用同样多的尾用同样多的尾 数位就能多存一位二进制数，有利于提高数据表示精度，称这数位就能多存一位二进制数，有利于提高数据表示精度，称这 种处理方案使用了种处理方案使用了隐藏位隐藏位技术。技术。 当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先 恢复该隐藏位

6、。恢复该隐藏位。 浮点数在计算机内的格式浮点数在计算机内的格式 X = Ms Es Em-1 .E1 E0 M-1 M-2 .M-n IEEE 标准：标准：阶码用移码，基为阶码用移码，基为2 X = MX * 2 EX 按国际电子电气工程师协会规定的国际通用标准，浮点按国际电子电气工程师协会规定的国际通用标准，浮点 数的阶码用整数给出，并且要用移码表示，用作为以数的阶码用整数给出，并且要用移码表示，用作为以 2为底为底 的指数的幂。既然该指数的底一定为的指数的幂。既然该指数的底一定为 2 ，可以不必在浮点数，可以不必在浮点数 的格式中明确表示出来，的格式中明确表示出来， 只需给出阶码的幂值即可

7、。只需给出阶码的幂值即可。 移码表示移码表示只用于只用于表示整数，表示整数，只用在只用在浮点数的阶码部分浮点数的阶码部分， 其定义类似于整数的补码定义，差别在符号位。其定义类似于整数的补码定义，差别在符号位。 移码的符号位移码的符号位是是 0 表示负，表示负，1 表示正，与补码的符号位表示正，与补码的符号位 正好相反，移码是指机器数在数轴上有个移位关系；正好相反，移码是指机器数在数轴上有个移位关系； 移码的数值位移码的数值位则与补码的数值位完全相同。则与补码的数值位完全相同。 浮点数格式：关于浮点数格式：关于移码移码的知识的知识 浮点数浮点数: X = M E E .E E M M .M ss

8、m-110-1-2 -n X = MX * 2 EX 移码表示只用于表示整数，只用在浮点数的阶码部分。移码表示只用于表示整数，只用在浮点数的阶码部分。 一位符号位和一位符号位和 n 位数值位组成的移码位数值位组成的移码, 其定义为；其定义为； E移 移 = 2n + E -2n=E2n 表示范围： 表示范围： 00000000 11111111 0 负数负数 正数正数 机器数机器数 X补 补 = X 0 X 2n 2n+1 + X -2n X 0 浮点数格式：关于浮点数格式：关于移码移码的知识的知识 一位符号位和一位符号位和 n 位数值位组成的移码位数值位组成的移码, 其定义为；其定义为； E

9、移 移 = 2n + E -2n=E2n 表示范围： 表示范围： 00000000 11111111 负数负数 正数正数 机器数机器数 0 移码只执行二数的加减运算与增移码只执行二数的加减运算与增 1、 减减 1 操作。加减运算操作。加减运算 时，符号位计算结果求反后时，符号位计算结果求反后, 才是加减运算的正确符号位的值。才是加减运算的正确符号位的值。 注意注意:当用双符号位时，当用双符号位时，00代表负，代表负，01代表正，而不是代表正，而不是11代表正代表正 8 位的阶码能表示位的阶码能表示-128+127，当阶码为，当阶码为-128时，其补码表时，其补码表 示为示为 00000000，

10、该浮点数的绝对值，该浮点数的绝对值2-128,人们规定此浮点数的人们规定此浮点数的 值为零，若尾数不为值为零，若尾数不为 0 就清其为就清其为 0，并特称此值为，并特称此值为机器零。机器零。 8 位移码表示的机器数为数的真值位移码表示的机器数为数的真值 在数轴上在数轴上向右平移向右平移了了 128 个位置个位置 -128 +127 浮点数在计算机内的格式浮点数在计算机内的格式 浮点数浮点数: X = M E E .E E M M .M ssm-110-1-2 -n IEEE 标准：标准：阶码用移码，基为阶码用移码，基为2；尾数用原码尾数用原码 X = MX * 2 EX 阶码用移码，阶码用移码

11、，尾数用原码尾数用原码表示浮点数的好处：表示浮点数的好处： (1) 机器零为浮点数的所有各位均为零；机器零为浮点数的所有各位均为零； (2) 二浮点数比大小时，可不必区分阶码位二浮点数比大小时，可不必区分阶码位 和数据位和数据位，可视，可视同比二定点小数一样对待同比二定点小数一样对待 浮点数算术运算浮点数算术运算 （1）对阶操作，求阶差：）对阶操作，求阶差： E= EX -EY， 使阶码小的数的尾数右移 使阶码小的数的尾数右移E位，位， 其阶码取大的阶码值；其阶码取大的阶码值； （2）尾数加减；）尾数加减； （3）规格化处理；）规格化处理； （4）舍入操作，可能带来又一次规格化；）舍入操作，可

12、能带来又一次规格化； （5）判结果的正确性，即检查阶码上下溢出）判结果的正确性，即检查阶码上下溢出 EX X = MX * 2 EY Y = MY * 2 浮点数加减运算浮点数加减运算 浮点数加运算举例浮点数加运算举例 X=2010*0.11011011， Y=2100*（-0.10101100） 写出写出X、Y的正确的浮点数表示：的正确的浮点数表示： 阶码用阶码用 4 位移码位移码 尾数用尾数用 9 位原码位原码 （含符号位（含符号位 ） （含符号位（含符号位 ） X浮 浮 = 0 1010 11011011 Y浮 浮 = 1 1100 10101100 为运算方便，为运算方便，尾数写成模尾

13、数写成模 4 补码形式：补码形式： MX补 补= 00 11011011 MY补 补= 11 01010100 浮点数加运算举例浮点数加运算举例 X=2010*0.11011011， Y=2100*（-0.10101100） （1）计算阶差：）计算阶差： E = EX -EY= EX +(-EY) = 1 010 + 0 100 = 0 110 注意：注意：阶码计算结果的符号位在此变了一次反，阶码计算结果的符号位在此变了一次反，结果为结果为 -2 的的 移移 码，码，是是X的阶码值小，使其取的阶码值小，使其取 Y 的阶码值的阶码值1100（即（即 +4）；）； 因此，修改因此，修改 MX补 补

14、 =00 0011011011（即右移 （即右移 2 位）位） （2）尾数求和：）尾数求和：00 0011011011 + 11 01010100 11 1000101011 浮点数加运算举例浮点数加运算举例 X=2010*0.11011011， Y=2100*（-0.10101100） （3）规格化处理：）规格化处理： 相加相加结果的符号位与数值的最高位同值，应执行一次结果的符号位与数值的最高位同值，应执行一次 左规操作左规操作,故得故得 MX补 补 = 1 000101011， ，EX移 移 = 1 011 （4）舍入处理：）舍入处理：采用采用 0 舍舍 1 入方案，要入，在最低位加入方案

15、，要入，在最低位加 1 11 00010101 + 00 00000001 11 00010110 （其原码表示为（其原码表示为 1 11101010） （5）检查溢出否：）检查溢出否：和的阶码为和的阶码为 1011，不溢出，不溢出 计算后的计算后的 X移 移 = 1 1011 11101010 ，即 ，即 23*(-0.11101010) 浮点数算术运算浮点数算术运算 (1) 阶码加、减：阶码加、减：乘：乘：EX+EY ，除：除：EX- EY (2) 尾数乘、除：尾数乘、除：乘：乘：EX*EY ， 除：除：EX / EY (3) 规格化处理；规格化处理； (4) 舍入操作，可能带来又一次规格

16、化；舍入操作，可能带来又一次规格化； (5) 判结果的正确性，即检查阶码上下溢出判结果的正确性，即检查阶码上下溢出 EX X = MX * 2 EY Y = MY * 2 浮点数乘除运算浮点数乘除运算 浮点数乘法运算举例浮点数乘法运算举例 X=2010*0.1011， Y=2100*（-0.1101） 写出写出X、Y的正确的浮点数表示：的正确的浮点数表示： 阶码用阶码用 4 位移码位移码 尾数用尾数用 9 位原码位原码 （含符号位（含符号位 ） （含符号位（含符号位 ） X浮 浮 = 0 1010 1011 Y浮 浮 = 1 1100 1101 浮点数乘运算举例浮点数乘运算举例 X=2010*

17、0.1011， Y=2100*（-0.1101） （1）阶码相加：）阶码相加： 积的阶码积的阶码 = EX + EY = 1 010 + 1 100 = 1 110 注意：注意：计算结果的阶码符号位在此变了一次反，计算结果的阶码符号位在此变了一次反， 结果为结果为 +6 的的 移码移码 （2）尾数相乘：）尾数相乘：MX*MY = 0.1011*(-0.1101) = -0.10001111 (3) (4) (5) 已是规格化数已是规格化数, 不必舍入不必舍入, 也不溢出也不溢出 最众乘积最众乘积 MX移 移 = 1 1110 10001111， ， 即即 26 * （-0.10001111） 浮点数除运算举例浮点数除运算举例 X=2010*0.1011， Y=2100*（-0.11