高中数学论文：浅谈在新课程教学中有效问题情境的创设

1、浅谈在新课程教学中有效问题情境的创设摘要：随着新课改不断深入，在这种新形势下，如何提高课堂教学效率，使学生打下扎实的基础，具有非常重要的意义。从问题最自然的思路出发，把复杂问题简单化。提高自主探究能力，激发学生学习数学的兴趣。关键词：新课程 问题情境 简单化1、问题的提出数学新课程标准倡导的课堂教学模式是问题情境建立模型解释与应用，强调让学生在现实情境和已有的生活、知识经验的基础上学习和理解数学。问题情境包含两层含义：首先要有问题即数学问题。数学问题是指学生与已有认知产生矛盾冲突，还不能理解或者不能正确解答的数学结构，这里的问题不可能用已有知识和经验轻易解决，否则就不成问题了，当然，问题的障碍

2、性不能影响学生接受和产生兴趣，学生通过探索能获得解决方法。其次才是情境即数学知识产生或应用的具体环境。问题之中有情境，情境之中有问题，其核心是问题。“问题是数学的心脏”，数学学习的实质是解决数学问题，学会怎样数学地提出问题和解决问题。每一堂课都需要一定的问题情境，借助这些情境，教师与学生之间进行思想交流和思维碰撞，从而完成高质量的教学任务。2、有效问题情境的特征怎样的问题情境才算有效？按照前面的论述，一个优秀的问题情境，除了依照问题设计的规律及教育教学目的、数学学科特点，具有数学的必要因素与必要形式外，应满足以下几个特征：（1）可及性：跳一跳够得到，问题的设计要符合学生一般认知规律、身心发展规

3、律，包括学生的认知经验、能力水平、生活经验及环境。（2）直观性：能够提供某种直观，符合数学学科特点，使学生借助于这种直观领悟数学实质，提炼数学思想方法，灵活运用数学。（3）开放性：问题富有层次性，入手较易，开放性强，解决方案多，学生思维与创造的空间较大。（4）挑战性：问题情境能引起学生的认知冲突和激发学习兴趣，促进学生积极参与接受问题的挑战。（5）体验性：能给学生提供深刻体验，人人有所得，包括操作，探究的机会，有助于学生发现问题，提出问题。3、有效问题情境的案例分析案例1画出不等式表示的平面区域。这是必修5的一个重要内容。上课时运用几何画板先作出直线这样就把直角坐标平面分成三个部分：直线、直线

4、的右上方区域、直线的左下方区域。用点工具指定一个点p，显示p点的坐标,计算的值，用鼠标选中p点并拖动p点，则在计算机屏幕上显示的值随着p点位置的改变而改变，非常直观地发现p点在直线上时的值都等于0，p点在直线右上方的任一位置时的值都是正的，p点在直线左下方的任一位置时的值都是负的。因此，上述提到的直角坐标平面内的三部分分别可以用三个不同的式子表示，即直线用表示，直线右上方区域用二元一次不等式表示，直线左下方区域用二元一次不等式表示。评析：新课程实施以来，课堂教学强调构建问题情境，借助计算机的数据处理功能，直观还原二元一次不等式表示平面区域这个知识产生的过程，同时激发学生探索新知识的欲望。强调通

5、过设计问题情境让学生体验数学，感知数学，进而理解数学。强调“知识是自然产生的，是合理的”的理念。精心设计问题情境，能在最短时间内吸引学生的注意力、激发学生的兴趣，是非常重要的一个环节，是有效实施课堂教学的基础。案例2 判断函数的奇偶性，以及对f(-x)=-f(x)和f(-x)= f(x)的理解。这是数学必修1的重要内容，按照书上判断函数奇偶性的方法较抽象。在这里我们首先创设以下问题情境：分别求点a(x,y)关于y轴、关于原点对称的点的坐标。由于函数奇偶性是研究函数图象关于y轴或关于原点对称，因此在函数f(x)的图象上任取两点a(x, f(x)和b(-x, f(-x),下面进行运算，若f(-x)

6、= f(x)，则b点坐标变为(-x, f(x),a、b两点关于y轴对称，则整个函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数。若f(-x)=-f(x)，则b点坐标变为(-x, -f(x),a、b两点关于坐标原点对称，则整个函数f(x)的图象关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数。例 判断函数的奇偶性。解：函数的定义域是。在函数图象上任取两点。b点坐标是。a、b两点关于原点对称。整个函数图象关于原点对称。函数是奇函数。评析：通过教学实践，以上创设的问题情境，能给学生提供深刻体验，把较抽象的奇、偶函数的概念变得简单，这个内容是高一时学的，现在学到高二了，还非常清晰。图形对称性的本质是构成

7、图形点的对称性，抓住了点的对称性就抓住了图形的对称性。另外学生对理解奇函数和偶函数的前提是其定义域关于原点对称，就水到渠成了。案例3二面角的平面角与它的两个半平面的法向量所成的角相等或互补。问：何时相等、何时互补呢？先创设以下两种问题情境（1）如图1，分别是半平面的一个法向量。令ab、ac确定的平面交棱于o点，可证得，则是二面角的平面角。因此，。规定：半平面的法向量的方向由右上方指向左下方，则该法向量指向二面角的外部（如法向量是指向二面角的外部），反之则指向二面角的内部；半平面的法向量的方向由上方指向下方，则该法向量指向二面角的外部（如法向量是指向二面角的外部），反之则指向二面角的内部。对于其

8、它形状的二面角半平面的法向量指向内部或外部，可以依此类推得到。（2）如图2，分别是半平面的一个法向量。由上述规定可得，是指向二面角的外部，是指向二面角的内部。令ab、ca确定的平面交棱于o点，可证得是二面角的平面角，因此，。评析：在利用平面的法向量求二面角时，平面的法向量所成的角与二面角是相等或互补关系，因而判别它们究竟是“相等”还是“互补”就成了解题的关键。这里是根据新课程必修2第二章第10题而创设的问题情境，介绍的是一种简单易行的办法：平面的法向量同时指向二面角的内部（或外部）时“互补”；平面的法向量一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部时“相等”。例1如图3，在四棱锥pabcd中，

9、底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pddc。求二面角cpbd的大小。 解：如图建立以d点为原点的空间直角坐标系。容易求得平面cpb的一个法向量是。法向量是以坐标原点d（0,0,0）为起点，点（0,1,1）为终点的向量，它指向二面角cpbd的外部（根据这个二面角的形状，平面cpb的法向量只要从它的左下方指向右上方，都是指向二面角外部）。同样容易求得平面pbd的一个法向量是。法向量是以坐标原点d（0,0,0）为起点，点（1,1,0）为终点的向量，它指向二面角cpbd的外部。与二面角cpbd的大小互补。二面角cpbd的大小是。 例2如图4在棱长为2的正方体中，ac与bd交于点e，c1b与c

10、b1交于点f。求二面角befc的大小。解：如图建立以a点为原点的空间直角坐标系，求得平面bef的一个法向量是，它指向二面角befc的内部（根据这个二面角的形状，平面bef的法向量只要从它的后上方指向前下方，都是指向二面角内部）。求得平面efc的一个法向量是，它指向二面角befc的内部。与二面角befc的大小互补。二面角befc的大小是。案例4已知某物体做变速直线运动，设经过t秒后的运动速度为v（t）(单位m/s),v(t)的图象如图中曲线所示，试求在内物体运动的总路程。这是在教学选修22定积分中曲边梯形面积的引入中准备创设的问题情境。根据物体运动的路程公式s=vt，在图5（1）中物体的运动总路

11、程是图中直角梯形abdc的面积。在图5（2）中物体的运动总路程仍然是曲线cd与ac、bd、ab所围成图形的面积。该问题与（1）的本质没有变，那么如何求图（2）中图形的面积呢？难点是将c、d之间的曲线转化为图5（1）的情形。如图6，可以过e、f两点向x轴作垂线,则三个直角梯形的总面积就是物体运动的总路程。这种问题情境的设计渗透了分割、化归的思想方法。在接下来处理图5（3）的情形的时候，为了便于研究问题，不妨将问题简化，因为该问题是求有一边是曲线，其它边是直线所围成的封闭图形面积，所以可以先探求一种简单的情形：求直线x=1、x轴和曲线所围成的图形（曲边三角形）的面积s。如何化曲线oa为直线即“化曲

12、为直”？方案1如图7，若连接oa，用rtaob面积代替曲边三角形oab的面积，这样误差太大。方案2如图8，为了减小误差，取ob的中点c，过c作cdab交曲线oa于d点，用代替曲边三角形oab的面积，误差有所减小。方案3如图9，将曲边三角形再分割，把ob三等分，过分点c与f作cdfeba交曲线oa于d、e，用代替曲边三角形oab的面积，误差进一步减小。猜想：当这种分割趋向无限时，梯形的面积和的极限就是曲边三角形oab的面积。图10方案4如图10， 在区间上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小区间：，记第个区间为，其长度为，分别过各分点作ba的平行线。当n很大时，很小，在区间上可以认为的值变化

13、很小，从图上看用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边。因此，在该区间上的函数值近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值，就是说用矩形efgh的面积代替小曲边梯形emgh的面积(第个曲边梯形的面积)，即 (i=1,2,3,，n)这n个矩形的面积之和当n趋向于无穷大时，趋向于0，曲边三角形oab的面积评析：由方案1到方案2这样的分割越来越逼近曲边三角形oab的面积，而且方案2比方案1的分割方法差值在减小，当分割趋于无限时矩形面积总和接近于曲边三角形的面积，所创设的问题情境成阶梯性呈现，在解决完图（1）（2）的情形的基础上引出图（3）的情形，虽然所遵循的数学思想一致，但是由图（2）到图（3）不再是简单的分割。另外，这里有一个难点：为什么曲边三角形oab的面积。我们可以先创设以下问题情境：当n趋向无穷大时，趋向于0，即分割趋向于无限时，阴影部分几乎能“挤”满或说无限逼近整个曲边三角形oab。因此，当n趋向无穷大时，的极限是曲边三角形oab的面积，记作。 通过学生自己的操作、实验，在化归思想指导下，在有限分割、求和计算的基础上，学生领悟了逐步逼近、逐步精确的思想，促使学生深入思考，激活