立体几何中的向量方法(一)PPT

1、-直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量 3.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 上一节上一节,我们把向量从平面推广到空间我们把向量从平面推广到空间,并并 利用空间向量解决了一些立体几何问题利用空间向量解决了一些立体几何问题.本节本节 我们进一步学习立体几何中的向量方法我们进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究的基本对象是点立体几何研究的基本对象是点、直线直线、平平 面以及由它们组成的空间图形面以及由它们组成的空间图形.为了用空间向为了用空间向 量解决立体几何问题量解决立体几何问题,首先必须把点首先必须把点、直线直线、 平面的位置用向量表示出来平面的位置用向量

2、表示出来. 思考 如何确定一个点在空间的位置如何确定一个点在空间的位置? ?在空间中给一个在空间中给一个 定点定点A A和一个定方向和一个定方向( (向量向量), ),能确定一条直线在空能确定一条直线在空 间的位置吗间的位置吗? ?给一个定点和两个定方向给一个定点和两个定方向( (向量向量), ),能能 确定一个平面在空间的位置吗确定一个平面在空间的位置吗? ?给一个定点和一给一个定点和一 个定方向个定方向( (向量向量), ),能确定一个平面在空间的位置吗能确定一个平面在空间的位置吗? ? 的位置向量。点 称为来表示。我们把向量向量 的位置就可以用那么空间中任意一点 作为基点，点在空间中，我

3、们取一定 P OPOP P O A P 1、点的位置向量、点的位置向量 以及一个定方向确定。一个定点 上的位置可以由空间中任意一条直线 A ll a A B P ABtAP 2、直线的方向向量、直线的方向向量 这样这样,点点A和向量和向量 不仅可以不仅可以 确定直线确定直线l的位置的位置,还可以具体还可以具体 表示出表示出l上的任意一点上的任意一点. a 相交直线来确定。 内两条的位置可以由空间中平面 o b a P byaxOP 3、平面的法向量、平面的法向量 这样这样,点点O与向量与向量 不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位置的位置,还可以具体表还可以具体表 示出示出 内的任意一点内的任

4、意一点 ,a b 法向量：法向量：如果表示向如果表示向 量量a的有向线段所在直线垂的有向线段所在直线垂 直于平面直于平面，则称这个向，则称这个向 量垂直于平面量垂直于平面，记作，记作 a，如果，如果a ，那么向，那么向 量量a叫做平面叫做平面的的法向量法向量 l a 类似于直线的方向向量，还可以用平面的类似于直线的方向向量，还可以用平面的 法向量表示空间中平面的位置法向量表示空间中平面的位置 问题：法向量如何确定平面的位置？问题：法向量如何确定平面的位置？ A 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量a,那么，过点那么，过点A,以向以向 量量a为法向量的平面是完全确定的。为法向量的平面是完全确定

5、的。 问题：如何求平面的法向量？ ),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为 ),(),( )2( 222111 cbabcbaa向量的坐标 两个不共线的找出（求出）平面内的 0 0 ,)3( bn an zyx 方程组 的关于根据法向量的定义建立 个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4( (2,2,1),(4,5,3), ABAC ABC 例：已知 求平面的单位法向量。 (2,2,1)0(4,5,3)0, 1 220 ,12 4530 1 13 (, 1,1),| 22 12 2 (- 33 3 nxyz nABnAC xyzxyz xyzx z xyz y nn ABC 设平面的法向

6、量为（ ， ， ）， 则， （ ， ， ），（ ， ， ） 即取，得 求平面的单位法向量为， ，） 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂平行、垂 直、夹角直、夹角等位置关系。等位置关系。 4、法向量的运用、法向量的运用 例例1 (1)设设 分别是直线分别是直线 的方向向量的方向向量,根据下列根据下列 条件判断条件判断 与与 的位置关系的位置关系: a b 1 l 12 ll 2 l (2,3, 1

7、),( 6, 9,3)ab (5,0,2),(0,4,0)ab ( 2,1,4),(6,3,3)ab 分析分析:直线方向向量与直线位置关系直线方向向量与直线位置关系, 据此可判断两直线的位置关系据此可判断两直线的位置关系 1212 ;llab llab 平行垂直相交或异面平行垂直相交或异面 例例1 (2)设设 分别是平面分别是平面 的法向量的法向量,根据下列条件根据下列条件 判断判断 与与 的位置关系的位置关系: u v 1 (1, 1,2),(3,2,) 2 uv (0,3,0),(0, 5,0)uv (2, 3,4),(4, 2,1)uv 分析分析:平面法向量与两平面位置关系平面法向量与两

8、平面位置关系, 据此可判断两平面的位置关系据此可判断两平面的位置关系 ;uvuv 垂直平行相交垂直平行相交(不垂直不垂直) 分析分析:直线方向向量与平面法向量关系和直直线方向向量与平面法向量关系和直 线与平面位置关系线与平面位置关系, 据此可判断直线和平面的位置关系据此可判断直线和平面的位置关系 ;lau lau 例例1 (3)设设 是平面是平面 的法向量的法向量, 是直线是直线 的方向向的方向向 量量,根据下列条件判断根据下列条件判断 与与 的位置关系的位置关系: u (2,2, 1),( 3,4,2)ua (0,2, 3),(0, 8,12)ua (4,1,5),(2, 1,0)ua a

9、l l 垂直相交垂直相交(斜交斜交)ll 或或 例例2 已知平面已知平面 经过三点经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 C(3,-2,0),试求平面试求平面 的一个法向量的一个法向量. 解解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) 设平面设平面 的法向量是的法向量是 依题意依题意,有有 ,即即 解得解得z=0且且x=2y,令令y=1,则则x=2 平面平面 的一个法向量是的一个法向量是 (1, 2, 4),(2, 4, 3)ABAC ( , , )nx y z 00n ABn AC 且且 240 2430 xyz xyz (2,1,0)n 例例3 一条直线与

10、一个平面内两条相交直线都垂直一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直则该直线与此平面垂直. 已知已知:直线直线m,n是平面是平面 内的任意两条相交直线内的任意两条相交直线, 且且lm,l n.求证求证:l 证明证明:设直线设直线l,m,n的方向向量分别为的方向向量分别为 因为因为lm,l n,所以所以 同理同理 因为因为m,n ,且且m,n相交相交, 所以所以 内任一直线的方向向量内任一直线的方向向量 可以表示为可以表示为 因为因为 所以所以 与与 内任一直线垂直内任一直线垂直. 因此因此 ,a b c ,0aba b 0a c p , ,pxbyc x yR ()()()0a paxbycx a by a c l l 小结小结 1.直线的方向向量和平面的法向量是用空直线的方向向量和平面的法向量是用空 间向量解决立体几何问题的两个重要工间向量解决立体几何问题的两个重要工 具具,是实现空间问题的向量方法的媒介是实现空间问题的向量方法的媒介.