4-5奇异值分解与极分解

1、1 矩矩 阵阵 论论 电电 子子 教教 程程 哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系 Department of Mathematics 2 矩阵的分解矩阵的分解 Department of Mathematics 3 12 12 12 12 0 0 r rrm r rrn 设设 ， 是是 的特征值，的特征值， 是是 的的 特征值，它们都是特征值，它们都是实数。实数。如果记如果记 m n r AC i i H AA H A A 4.5 矩阵的奇异值分解与极分解矩阵的奇异值分解与极分解 一,矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解 因为因为 与与 都是半正都是半正 定的定的Herm

2、ite-矩阵矩阵 H AA H A A HH rankAAArankArankA 特征值特征值 与与 之间有如下关系。之间有如下关系。 i i Department of Mathematics 4 定义定义1:我们称我们称: 为矩阵为矩阵 的的正奇异值正奇异值，简称，简称奇异值奇异值。 0,1,2, iii ir A 定理定理1：设设 ，那么，那么 m n r AC 0,1,2, ii ir 即即: 与与 的非零特征值相等的非零特征值相等. AA H H AA Department of Mathematics 5 12 (1)00 00 011 (2) 200 A A 例例1 1 ：求下列

3、矩阵的奇异值求下列矩阵的奇异值 Department of Mathematics 6 解：解： （1 1）由于）由于 500 000 000 H AA 显然显然 的特征值的特征值 为为5，0，0，所以，所以 的奇异值为的奇异值为 H AA 5A （2）由于）由于 20 04 H AA 显然显然 的特征值为的特征值为2，4，所以，所以 的奇异的奇异 值为值为 。 H AAA 2,2 Department of Mathematics 7 定义定义2:设设 , 若若 则称则称A与与B酉等价酉等价. nm CBA , SBTAtsUTUS nnmm . , 定理定理2:若若 , 且酉等价且酉等价,

4、 则则A与与B有相同的正有相同的正 奇异值奇异值 nm CBA , 定理定理3：设设 ， 是是 的的 个奇个奇 异值，那么存在异值，那么存在 阶酉矩阵阶酉矩阵 和和 阶酉矩阵阶酉矩阵 使得使得 m n r AC 12r Ar m Vn U H V OO O UA Department of Mathematics 8 其中，其中， 1 2 r 12 0 r 且满足且满足 我们称此定理为我们称此定理为奇异值分解定理奇异值分解定理。 称表达式称表达式 H V OO O UA 为矩阵为矩阵 的的奇异值分解式奇异值分解式 。 A 如何求此分解表达式？以下给出步骤如何求此分解表达式？以下给出步骤: De

5、partment of Mathematics 9 证明：记证明：记 的特征值为的特征值为 H AA 1212 0 rrrm 因为因为 是正规阵，所以是正规阵，所以 H AA m m UU 222 12 (,0,0) = HH r H UAA Udiag O OO 令令 ， 其中其中 是是 矩阵，矩阵， 是是 矩阵。则：矩阵。则： 12 ,UU U 1 Umr 2 U()mnr Department of Mathematics 10 1 12 2 1 12 2 , , H HHH H H HH H U UAA UAAU U U U AA UAA U U 1112 2122 HHHH HHHH

6、 UAA UUAA U UAA UUAA U = H O OO 比较后得到：比较后得到： 11 HHH UAA U （1） 12 HH UAA UO （2） 21 HH UAA UO （3） 22 HH UAA UO （4） Department of Mathematics 11 令令 ，则，则 11 HH VA U 1 1111 HHHH V VUAA U 由（由（1）知）知 ，所以，所以， 是次酉阵是次酉阵 11 H r V VI 1 V 即即 ，所以，存在，所以，存在 ，使得：，使得： 1 n r r VU () 2 nn r n r VU 12 , n n VV VU 所以所以 1

7、12 2 , H H H U UAVAV V U 1112 2122 HH HH UAVUAV UAVUAV 所以，所以， 1111 HHHH UAVUAA U 由（由（4） 2222 () () HHHHH U AA UA UA UO 22 HH UAA UO （4） Department of Mathematics 12 21 H UAVO 所以所以 22 , H UAVO 从而：从而： 2 H A UO 2 H UAO 又因为又因为 11 HH VA U 所以，所以， ，得出，得出 11 HH VA U 1 1 HH UAV 所以所以 12 H UAVO H V OO O UA H O

8、 UAV OO Department of Mathematics 13 1, 求出求出 的全部特征值的全部特征值 ,则则 为为A的正奇异值的正奇异值, AAAA HH , i ii 2, 求酉矩阵求酉矩阵 ,使得使得: mm UU 0 , 0 ,0 , 0 , 21 22 2 2 1 rr H diagUUAA 4, H V OO O UA 3, 设设 ,则则 为次酉阵为次酉阵, 于是求于是求 ,使得使得 HHU AVUUU 1121 ),( )( 2 rnn rn UV nn UVVVV 121 ),( 1 V Department of Mathematics 14 例例1 ：求下列矩阵

9、的奇异值分解表达式求下列矩阵的奇异值分解表达式 00 00 21 A 解解 :（1）容易计算容易计算 的特征值为的特征值为5，0，0，所以，所以 的奇异值为的奇异值为 。下面计算。下面计算 的标准正交特征向的标准正交特征向 量，解得分别与量，解得分别与5，0，0对应的三个标准正交特征对应的三个标准正交特征 向量向量 H AAA 5 H AA Department of Mathematics 15 123 100 0 ,1 ,0 001 由这三个标准正交特征向量组成矩阵由这三个标准正交特征向量组成矩阵 ，所以有，所以有U 100 010 001 V U Department of Mathem

10、atics 16 00 10 01 1 U 令令 HHU AV 11 12 55 21 55 U V 5 1 5 2 5 2 5 1 00 00 05 100 010 001 H V OO O UA Department of Mathematics 17 练习练习：求下面矩阵的奇异值分解式：求下面矩阵的奇异值分解式 101 (1)010 101 011 (2) 200 Department of Mathematics 18 2 2 21 , HH A AHAAH 使得使得: 且这样的分解式是唯一的。同时有且这样的分解式是唯一的。同时有: 称分解式称分解式 为矩阵为矩阵 的的极分解表达式。极分解表达式。 12 AH UUH A 二二,矩阵的极分解矩阵的极分解 定理定理1:设设 ，那么必存在酉矩阵，那么必存在酉矩阵 与正定的与正定的H-矩阵矩阵 n n n AC 12 ,HH n n UU 1