北京市西城区高三数学第二学期期中抽样测试

1、北京市西城区高三数学第二学期期中抽样测试（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 在复平面内，复数 对应的点与原点的距离是（ ）a. b. c. d. 2. 函数的反函数的定义域为（ ）a. b. c. d. 3. 若双曲线的离心率是，则实数的值是（ ）a. b. c. d. 4. 函数的最小正周期是（ ）a. b. c. d. 5. 下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出 平面的图形的序号是（ ） a. 、 b. 、 c. 、 d. 、 6. 若集合，则“”是“”的（ ）a. 充分但不必要条件 b. 必要但不充分条件 c.

2、 充要条件 d. 既不充分又不必要条件7. 设，函数的导函数是，且是奇函数 . 若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）a. b. c. d. 8. 设不等式组表示的平面区域是，若中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有个，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9. 已知是公比为的等比数列，且成等差数列，则_ . 10. 在的展开式中，的系数是，则实数_ .11. 人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有 种. (用数字作答)12. 已知三点在球心为，半径为3的球面上，且几何体为正

3、四面体，那么两点的球面距离为_；点到平面的距离为_ .13. 已知两点，若抛物线上存在点使为等边三角形，则_ .14. 已知点是的重心，那么_；若，则的最小值是_ . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）在中，.（）求角；（）设，求的面积.16. （本小题满分13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分 . 现从盒内任取3个球.（）求取出的3个球颜色互不相同的概率；（）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（）设为取出的3

4、个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.17.（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面. （）求证：； （）求二面角的大小；（）求异面直线和所成角的大小. 18.（本小题满分13分）已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.19.（本小题满分14分）已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.（）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）数列中， (为常数，) ，且（）求的值；（） 证明：； 猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （）比较与的大小，并加

5、以证明. 高三数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. b 2. a 3. b 4. c 5. b 6. a 7. d 8. c二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 或 10. 11. 12. ； 13. 或 14. ；注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分；两解的题目少一解给2分，有错解不给分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（）解：由， 得， 所以 . 3分因为， . 6分且， 故 . 7分（）解：根据正弦定理得， . 10分所以的面积为 . 12分16. （本小

6、题满分13分）（）解：记 “取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件， 则 . . 3分（）解：记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件，“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件，则 . . 6分（）解：可能的取值为. . 7分， ， . . 11分的分布列为:0123 . 12分的数学期望. . 13分17.（本小题满分14分）解法一：（）证明： 平面平面，平面平面，且， . . 2分平面 ， .又 . . 4分（）解：作于点，于点，连结. 平面平面， ， 根据三垂线定理得 ，是二面角的平面角. . 6分设， .， ， . 8分即二面角的大小是. . 9分（）解：在底面内分别过作的平行线

7、，交于点，连结.则是异面直线和所成的角或其补角. . 11分， ，.易知底面为矩形，从而，在中， . 13分 异面直线和所成角的大小为. . 14分解法二：作于点， 平面平面，平面.过点作的平行线，交于点.如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 . . 2分. .，. . 4分（）证明： . 又 . . 7分（）解：作于点，连结.平面， 根据三垂线定理得 ，是二面角的平面角. . 8分在中， ， 从而， . 10分即二面角的大小是. . 11分（）解：， 异面直线和所成角的大小为. . 14分18.（本小题满分13分）（）解：的定义域为， . 1分 的导数. . 3分令，解得

8、；令，解得.从而在单调递减，在单调递增. . 5分所以，当时，取得最小值. . 6分（）解：解法一：令，则， . 8分 若，当时，故在上为增函数，所以，时，即. . 10分 若，方程的根为 ，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以，时，即，与题设相矛盾. . 12分综上，满足条件的的取值范围是. . 13分解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 . . 8分令， 则. . 10分当时，因为， 故是上的增函数， 所以 的最小值是， . 12分从而的取值范围是. . 13分19.（本小题满分14分）（）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将代入， 消去整理得 . 2分设 则 .

9、4分由线段中点的横坐标是， 得，解得，适合. . 5分所以直线的方程为 ，或 . . 6分（）解：假设在轴上存在点，使为常数. 当直线与轴不垂直时，由（）知 所以 . 8分将代入，整理得 注意到是与无关的常数， 从而有， 此时 . 11分 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时， 亦有 . 13分综上，在轴上存在定点，使为常数. . 14分20.（本小题满分14分）（）解：依题意，由，得，解得，或（舍去）. . 3分（）解： 证明：因为，当且仅当时，.因为，所以，即 () . . 5分 数列有极限， . 6分 且 . . 7分 （）解：由，可得，从而.因为，所以 所以. 9分因为，由（）

10、得 (). 下面证明：对于任意，有成立. 当时，由，显然结论成立.假设结论对时成立，即因为，且函数在时单调递增， 所以.即当时，结论也成立. 于是，当时，有成立. 根据得 . . 12分由 及， 经计算可得所以，当时， ； 当时，； 当时，由， 得. . 14分昌平区数学第二学期高三第二次统练 试 卷（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1至2页，第卷3至9页，共150分考试时间120分钟第卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，并将答案填在题后的答题表中)1 已知向量a, b,且a +b与

11、2a -b平行，则实数的值是a6b6c4d 42函数的最小正周期为ab cd 3若二项式的展开式的第5项为常数项，则n的值为a6b10c12d154设集合，则“”是 “”的 a. 充分不必要条件 b. 必要不充分条件 c. 充分必要条件 d. 既不充分也不必要条件5. 在等比数列 的值为a b c d6下列四个正方体中，直线是正方体的一条对角线，点、分别为其所在棱的中点，不能得出平面的是 a. b. c. d.7在中，且满足条件，则顶点的轨迹方程是a b. c d.8在一次台球比赛中，两名选手约定：以先赢6局为胜.后比赛因故中断，不能进行，此时选手甲赢得5局比赛，选手乙赢得2局.试问总奖金两名

12、选手应按如下哪种比例分配才合理？a5：2 b.10：1 c.15：1 d.4：1第一大题（选择题）答题表题号12345678选项昌平区20072008学年第二学期高三第二次统练数 学 试 卷（理科） 2008.5第卷（共110分）注意事项：1 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上2 答卷前将密封线内的项目填写清楚题号一二三总分151617181920得分二、 填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分请把答案填在题中横线上)9若复数是纯虚数，则实数 10已知数列的通项公式为，其前项和为，则 11已知向量a与b都是单位向量，它们的夹角为120，且|a +b|，则实数的值是 12.市内某公共汽车站

13、有10个候车位（排成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_种.13. 在正三棱锥中，分别是侧棱的中点，若截面侧面，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是 .14下列命题：要得到函数y=sin()的图象，只需将函数y=sin的图象向右平移个单位;函数y=的图象关于直线对称；函数的定义域为r,则函数的图象关于原点成中心对称；设随机变量服从正态分布，且，则.其中正确命题的序号是_.三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)在中，分别是角所对的边， .（）判断的形状；（）若，求的面积.16(本小题满分

14、13分)一台仪器每启动一次都随机地出现一个6位的二进制数，其中的各位数字中，出现0的概率为，出现1的概率为.例如：，其中，记.当启动仪器一次时，（）求的概率；（）求随机变量的分布列和数学期望.17. (本小题满分14分)如图，正三棱柱的底面边长的3，侧棱=是延长线上一点，且. （）求证：直线 /平面； （）求二面角的大小； （）求三棱锥的体积.18(本小题满分14分)已知函数.（）若过两点o(0,0)、的中点作与x轴垂直的直线，此直线与函数的图像交于点.求证：函数在点p处的切线过点b(b,0);（）若a=b(a0)，且当时，恒成立，求实数a的取值范围.19(本小题满分13分)已知椭圆的一条准线

15、方程是，其左、右顶点分别是，双曲线的一条渐近线方程为.（）求椭圆的方程；（）在第一象限内取双曲线上一点，连结交椭圆于点，连结并延长交椭圆于点，若，求证：.20(本小题满分14分)已知函数.(i) 讨论函数的单调性；(ii) 是偶数时，正项数列满足，求的通项公式；（iii） 是奇数，时，求证：.数学试卷参考答案及评分标准（理）2一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)题号答案（d）（b）（c）（a）（d）（b）（c）（b）二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)9、1 10、 11、 2或-112、480 13、 14、.三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明

16、，证明过程或演算步骤)(本小题满分12分)解：（i），.3分 在中，c=b，即为等腰三角形6分（2）c=b .12分(本小题满分13分)(i) 解：（1）设时为事件a，即中恰有一位数字1.则.5分(ii) 可能取值为2、3、4、5、6的分布列为23456.13分 (本小题满分14分)（）证明：cd/c1b1，又bd=bc=b1c1， 四边形bdb1c1是平行四边形， bc1/db1.又db1平面ab1d，bc1平面ab1d，直线bc1/平面ab1d.4分（）解：过b作bead于e，连结eb1，b1b平面abd，b1ead ，b1eb是二面角b1adb的平面角，6分bd=bc=ab， e是ad的

17、中点， 在rtb1be中， b1eb=60.即二面角b1adb的大小为60.9分 （）解法一：过a作afbc于f，b1b平面abc，平面abc平面bb1c1c，af平面bb1c1c，且af为点a到平面bb1c1的距离11分af= 即三棱锥c1abb1的体积为.14分 解法二：在三棱柱abca1b1c1中， 即三棱锥c1abb1的体积为.14分 (本小题满分14分)解：（i）由已知所求切线斜率为在点p处的切线方程为.4分令y=0,解得x=b.所以函数，在点p处的切线过点b（b,0）.6分 （ii）因为，所求a0时，函数上单调递增，在单调递减，在上单调递增。10分所以，根据题意有解之得，14分 (本小题满分13分)解：(1) 椭圆的准线方程为，.又因双曲线的渐近线方程为，.椭圆的标准