95有界弦的强迫振动(新)

1、河北联合大学课件 讲讲 授授 内内 容容 第一章第一章 无穷级数无穷级数 第二章第二章 常微分方程常微分方程 第三章第三章 偏微分方程偏微分方程 第三章第三章 偏微分方程偏微分方程 第一节第一节 偏微分方程的建立偏微分方程的建立 第二节第二节 偏微分方程的定解问题偏微分方程的定解问题 第三节第三节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动 第四节第四节 有界长杆上的热传有界长杆上的热传 导导 第五节第五节 有界弦的强迫振动有界弦的强迫振动 第三章第三章 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第第 五五 节节 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 有界弦的强迫

2、振动有界弦的强迫振动 研究一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作研究一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作 用所产生的振动现象，即下面的定解问题。用所产生的振动现象，即下面的定解问题。 )(),( 0, 0 0,0),( 00 0 2 2 2 2 2 x t u xu uu tlxtxf x u a t u tt lxx 在现在的情况下，弦的振动由两部分干扰引起，在现在的情况下，弦的振动由两部分干扰引起， 一是强迫力，二是初始状态。此时振动可以看作一是强迫力，二是初始状态。此时振动可以看作 仅由强迫力引起的振动和表示仅由初始状态引起仅由强迫力引起的振动和表示仅由初始状态引起 的振动。的振动。 表示

3、仅由强迫力引起的振动的位移。表示仅由强迫力引起的振动的位移。),(txV 1 1、设解为：、设解为：),(),(),(txWtxVtxU 表示仅由初始状态引起的振动的位移。表示仅由初始状态引起的振动的位移。),(txW 2 2、 表示仅由初始状态引起的振动的位移。表示仅由初始状态引起的振动的位移。 ),(txW )(),( 0, 0 0,0 , 00 0 2 2 2 2 2 x t W xW WW tlx x W a t W tt lxx ),(txV 3 3、 表示仅由强迫力引起的振动的位移。表示仅由强迫力引起的振动的位移。 0 0, 0 0,0),( 00 0 2 2 2 2 2 tt l

4、xx t V V VV tlxtxf x V a t V l xn l atn D l atn CtxWtxW nn nn n sin)sincos(),(),( 11 l n l n xdx l n x an D xdx l n x l C 0 0 sin 2 sin 2 ）（ ）（ 其中：其中： )(),( 0, 0 0,0 , 00 0 2 2 2 2 2 x t W xW WW tlx x W a t W tt lxx 求解：求解： 0 0, 0 0,0),( 00 0 2 2 2 2 2 tt lxx t V V VV tlxtxf x V a t V 求解：求解： 1 1、采用类似

5、于线性非齐次常微分方程所用的参数、采用类似于线性非齐次常微分方程所用的参数 变易法。并假设这个定解问题的解可分为无穷多个变易法。并假设这个定解问题的解可分为无穷多个 波的叠加，每个波形仍是由相应齐次方程通过分离波的叠加，每个波形仍是由相应齐次方程通过分离 变量所得的特征函数所决定。变量所得的特征函数所决定。 即假设解具有如下形式：即假设解具有如下形式： l xn tvtxV n n sin)(),( 1 其中其中 是待定函数。是待定函数。)(tv n 2、将、将f（x，t）按特征函数系展开为下面的级数。）按特征函数系展开为下面的级数。 l xn tftxf n n sin)(),( 1 其中：

6、其中： xdx l n txf l tf l n sin),( 2 )( 0 3 3、代入定解问题的第一个方程有：、代入定解问题的第一个方程有： x l n tfx l n tv l na l xn tv n n n n n n sin)(sin)(sin)( 1 2 222 11 即为：即为： 0sin)()()( 2 222 1 x l n tftv l na tv nnn n 0)()()( 2 222 tftv l na tv nnn )()()( 2 222 tftv l na tv nnn 将初始条件代入：将初始条件代入： l xn tvtxV n n sin)(),( 1 0sin)0( 1 l xn vn n 0sin)0( 1 l xn vn n 得：得： 0)0( n v可得：可得： 0)0( n v 用参数变易法可解出：用参数变易法可解出： dt l an f na l tv n t n )(sin)()( 0 x l n dt l an f na l txv n t n sin)(sin )(),( 0 1 可得：可得： 则则u(x,t）=W(x,t）+V(x,t）