15.1傅里叶级数

1、2021-6-131 第十五章第十五章 本章内容 1. 傅里叶级数傅里叶级数 2. 以以2l为周期的函数的展开式为周期的函数的展开式 3. 收敛定理的证明收敛定理的证明 2021-6-13 2 一、一、三角级数三角级数 三角函数系三角函数系的的正交性正交性 二、函数展开成二、函数展开成傅里叶级数傅里叶级数 三、三、收敛定理收敛定理 2021-6-133 一、三角级数一、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 在数学分析学习当中，接触两类在数学分析学习当中，接触两类基函数基函数： , 1 :)( 32nn n xxxxxxu n n n xxaxf)()( 0 0 nxnxxx,x,x,

2、 nx nx xuncos,sin2cos2sincossin, 1 cos sin )( 周期函数周期函数（整体性质）（整体性质） Fourier级数级数 函数在函数在一点一点的性质的性质 三角级数三角级数 表达周期函数表达周期函数 三角函数系三角函数系 2021-6-134 1 0 )sin()( n nn tnAAtf 谐波分析谐波分析 1 0 )sincoscossin( n nnnn tnAtnAA 1 0 )sincos( 2 n nn nxbnxa a , 2 0 0 A a 令令,sin nnn Aa ,cos nnn Ab , xt 称为三角级数称为三角级数. . 简单的周期

3、运动简单的周期运动 : : )sin( tAy 复杂的周期运动复杂的周期运动 : : 为振幅，为振幅，A为角频率，为角频率， .为为初初相相 得级数得级数 1.1.三角级数三角级数 2021-6-135 1757年，法国数学家年，法国数学家克莱罗克莱罗在研究太阳引起的摄动时在研究太阳引起的摄动时, .cos2)( 1 0 n n nxAAxf 大胆地采用了三角级数表示函数大胆地采用了三角级数表示函数: .dcos)( 2 1 2 0 xnxxfAn其中其中 1759年，年，拉格朗日拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数在对声学的研究中使用了三角级数. 1777年，年，欧拉欧拉在天文学的研究中，

4、用三角函数的正交在天文学的研究中，用三角函数的正交 性得到了将函数表示成三角函数时的系数性得到了将函数表示成三角函数时的系数. 也就是现今教科书中也就是现今教科书中傅立叶级数傅立叶级数的系数的系数. 2021-6-136 在历史上，在历史上，三角级数三角级数的出现和发展与求解微分方的出现和发展与求解微分方 1753年，丹年，丹 伯努利伯努利首先提出将弦振动方程的解表首先提出将弦振动方程的解表 程是分不开的程是分不开的. . 为为三角级数的形式为为三角级数的形式, 这为傅立叶级数题奠定了物这为傅立叶级数题奠定了物 理理 1822年，傅立叶傅立叶在在 热的解析理论热的解析理论 一书中对于一书中对于

5、 对于欧拉和伯努利等人就一些孤立的、特殊的情形对于欧拉和伯努利等人就一些孤立的、特殊的情形 采用的三角级数方法进行加工处理，发展成一般理论采用的三角级数方法进行加工处理，发展成一般理论. 基础，促进了它的发展基础，促进了它的发展. 2021-6-137 其中其中 .)2 , 1(dsin)( 1 nxnxxfb n ,.)2 , 1 , 0(dcos)( 1 nxnxxfa n .)sincos( 2 1 0 n nn nxbnxa a )(xf 傅立叶傅立叶指出指出: : )(),(xf上上的的有有界界函函数数任任意意定定义义在在 可以展开成级数可以展开成级数 2021-6-138 . 2)

6、 i 为为周周期期的的函函数数 则则它它的的和和一一定定是是以以若若三三角角级级数数收收敛敛， . |)|(| 2 | 1)ii 1 0 上绝对收敛且一致收敛上绝对收敛且一致收敛则三角级数在则三角级数在 收敛，收敛，）若级数）若级数（定理（定理 R ba a n nn 2.2.三角级数的收敛性三角级数的收敛性 1 0 )sincos( 2 n nn nxbnxa a 三角级数三角级数 证证:用用M判别法判别法. 2021-6-139 3.3.三角函数系的正交性三角函数系的正交性 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx :正交性正交性 , 0cos nxdx

7、, 0sin nxdx 三角函数系三角函数系 ), 3 , 2 , 1( n , , , 0 sinsin nm nm nxdxmx , , , 0 coscos nm nm nxdxmx . 0cossin nxdxmx .,上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在 ), 2 , 1,( nm其其中中 2021-6-1310 1. 三角级数的系数与其和函数的关系三角级数的系数与其和函数的关系 问题问题: : 0 1 ( )(cossin) 2 kk k a f xakxbkx 若有 0 (1)?a 0 1 ( )(cossin) 2 kk k a f x dxdxak

8、xbkx dx 0 2 , 2 a 0 1 ( )af x dx 0 11 cossin 2 kk kk a dxakxdxbkxdx 我们形式地计算：我们形式地计算： 要一致收敛 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数 .2)(的周期函数的周期函数是周期为是周期为设设xf 2021-6-1311 (2)? n a 0 ( )coscos 2 a f xnxdxnxdx 1 ( )cos n af xnxdx (1,2,3,)n (3)? n b 1 ( )sin n bf xnxdx (1,2,3,)n 要一致 收敛 dcossindcoscos 1 xnxkxbxnxkxa k

9、k k xnxandcos2, n a dsinsindsincos 1 xnxkxbxnxkxa k k k , n b xnx a xnxxfdsin 2 dsin)( 0 2021-6-1312 由上述讨论，有：由上述讨论，有： 2021-6-1313 2. Fourier系数和系数和Fourier级数级数 EulerFourier公式：公式： 1 ( )cos, k af xkxdx 0 , 1 , 2 ,k 1 ( )sin, k bf xkxdx 1 , 2 ,k 为EulerFourier公式。公式。 称由EulerFourier 2 2 , c c f 如 是以为周期 的函数

10、则 可换为 2021-6-1314 0 1 cossin , 2 nn n a anxbnx 记为记为 0 1 ( )cossin . 2 nn n a f xanxbnx 0 1 :( )cossin ? 2 nn n a f xanxbnx 问吗题 :! 未必不能把答换为案 2021-6-1315 三、收敛定理三、收敛定理 1. 按段光滑函数按段光滑函数 2021-6-1316 按段光滑函数的按段光滑函数的性质性质： 0 ()(0) lim(0) t f xtf x fx t 0 ()(0) lim(0) t f xtf x fx t (用Lagrange中值定理证明) 2021-6-13

11、17 2.收敛定理收敛定理 (证明放到以后进行证明放到以后进行) 2021-6-1318 x 1 x 2 x 3 x 4 x ( )Fourierf x函数与它的级数的和函数的关系 如图所示 ( )f x 和函数 (0)(0) ,( ) 2 f xf x xf x 当 为连续点时 2021-6-1319 3.函数的周期延拓函数的周期延拓 ( )fx ( ), (, f xx (2), (21) ,(21) f xkxkk 1, 2, 3,k 如图所示，如图所示， Fourier级数。 ox y 3- -3 5 2021-6-1320 3- -3 55 ox y 0 1 ( )af x dx 0

12、 1 xdx ; 2 1 ( )cos n af xnxdx 0 1 cosxnxdx 0 1 sinxnx n 0 1 sinnxdx n 2 1 cos1n n 解解 函数函数 f 及其周期延拓后的图像如图所示及其周期延拓后的图像如图所示, , 2021-6-1321 n a 2 2 , n n 当 为奇数时, 0, n当 为偶数时, 1 ( )sin n bf xnxdx 0 1 sinxnxdx 0 1 cosxnx n 0 1 cosnxdx n 1 ( 1) n n ( )(, ),f x 函数在区间内连续且按段光滑 ,(, ):x 因此 当时,有 2121 ( )cossinsi

13、n2cos3sin3+ 4293 f xxxxxx 2021-6-1322 1 2 1 1( 1) ( )( 1)1 cossin, 4 n n n f xnxnx nn ,:x 在时 上式右端收敛于 (0)(0) 2 ff0 2 . 2 f的傅里叶级数的和函数的图象 3- -3 55 ox y 2021-6-1323 3- -3 55 ox y ( ), f x 是上的奇函数, 1 ( )cos0, k af xkxdx k b 1 sinxkxdx 0 2 sinxkxdx 0 0 2cos1 cos xkx kxdx kk 1 ( 1)2 k k 解解 函数函数 f 及其周期延拓后的图像

14、如图所示及其周期延拓后的图像如图所示. . 2021-6-1324 1 1 sin 2( 1 ) n n nx n ( ) , ,f xx 0 , .x 3- -3 55 ox y 1 1 sin , ( )2( 1 ). n n nx f x n 因此 2021-6-1325 解 所给函数满足收敛定理条件. 延拓的周期函数的傅 氏级数展开式在 收敛于 .( )f x , x y o 22 1 sin n bxnxdx 0, 0 1 ax dx 0 2 xdx , 2021-6-1326 1 cos n axnxdx 0 2 cosxnxdx 2 2 (cos1)n n 2 2 ( 1)1 n

15、 n 2 1 41 cos(21) 2(21) n xnx n ()x 所求函数的所求函数的Fourier展开式为展开式为 2 4 , 21,1,2, (21) nkk k 0, 2 ,1,2,nk k 2021-6-1327 利用利用Fourier展开式求级数的和展开式求级数的和 2 1 41 cos(21) , 2(21) n xnx n 0,x 当时 得 2 22 11 1 835 ,x若令 2 1 41 2(21) k k 就有 2 2 1 1 . (21)8 k k 2021-6-1328 解 所给函数满足收敛定理条件. (0, 1, 2,).xkk 在点处不连续 2 mm EE 收

16、敛于 () 2 mm EE 0, o t u m E m E ,( ).xkf x当时 收敛于 1 ( )cos n au tntdt 0 2 cos m Entdt 0 (0,1,2,)n 2021-6-1329 2 (1cos) m E n n 2 1( 1) n m E n 1 4 ( )sin(21) (21) m n E u tnt n (;0,2 ,)tt 所求函数的傅里叶展开式为 1 ( )sin n bu tntdt 0 2 sin m Entdt 4 , 21,1,2, (21) m E nkk k 0, 2 ,1,2,nk k 2021-6-1330 :解 2 0 0 1

17、( )af x dx 2 22 0 11 x dxxdx 2 2; 2 0 1 ( )cos n af xnxdx 2 22 0 11 coscosxnxdxxnxdx 2021-6-1331 2 32 0 122 sincos xx nxnx nnn 2 2 32 122 sincos xx nxnx nnn 2 4 ( 1)1 n n 2 0 1 ( )sin n bf xnxdx 2 22 0 11 sinsinxnxdxxnxdx 2021-6-1332 2 32 0 122 cossin xx nxnx nnn 2 2 32 122 cossin xx nxnx nnn 22 3 22 1( 1) n nnn ( )(, ),f x 函数在区间内连续且按段光滑 ,(0, )( ,2 ):x因此 当时,有 2021-6-1333 2 2 1 4 ( )( 1)1 cos n n f xnx n 22 3 22 1( 1)sin, n nx nnn ,x当时 (0)(0) 0. 2 ff 2 222 111 08 135 0,2,x当或时 (00)(00) 2 ff 2 40 2 2 2 22 222 111 28 135 2021-6-1334 傅里叶傅里叶 (1768 1830) 法国数学