线性代数试题附标准答案

1、枣庄学院线性代数习题和答案一、 单项选择题（本大题共 一个是符合题目要求的，第一部分选择题 （共 28 分）14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有 请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。A.m+n B.C. n- ma11a12a13a11=m，a21a22a23a211.设行列式=n，则行列式1- (m+n) D. m- n 0a11a21a12 a13a22 a23等于（）2.设矩阵 A=A- 1等于（）10031001100B.002200110031010002110D.00130000120200A.C.00 ，则33.设

2、矩阵312101214，A *是 A 的伴随矩阵，则 AA=中位于（ 1， 2）的元素是（）A. 6B. 6C. 2D. 24. 设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（） A.A =0B. B C 时 A =0C.A 0时 B=CD. |A| 0时 B=C5. 已知 34 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ AT）等于（）A. 1 B. 2C. 3 D. 46. 设两个向量组 1，2， s和 1，2， s 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数 1，2， s 使11+22+ +ss=0 和1 1+22+ ss=0 聞創沟燴鐺險爱氇谴净。B. 有不全为 0 的数 1， 2

3、， s 使1（1+1）+2（2+2）+s（ s+s）=0 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。C. 有不全为 0的数1，2，s使1（1- 1）+2（2- 2）+s（s- s）=0 酽锕极額閉镇桧猪訣锥。D. 有不全为 0的数1，2， s和不全为 0的数1，2，s使11+22+ s s=0 和11+22+ ss=0 彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。7. 设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（）A.所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D. 所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， 1， 2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（） 1

4、1A.1+2是 Ax=0 的一个解 B. 1 1+ 1 2是Ax=b 的一个解22C. 1- 2 是 Ax=0 的一个解 D.21-2是 Ax=b 的一个解9. 设 n阶方阵 A 不可逆，则必有（）A.秩 （A）nB.秩（A）=n- 1C. A=0 D.方程组 Ax=0 只有零解10. 设 A 是一个 n（3） 阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数 和向量 使A=，则是 A的属于特征值 的特征向量B. 如存在数 和非零向量 ，使（E-A）=0，则是 A的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如1，2，3是A 的3个互不相同的特征值， 1， 2， 3依次是 A 的属

5、于1，2， 3的特征向量，则 1，2，3 有可能线性相关 謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。11. 设0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A的属于 0的线性无关的特征向量的个数为 k，则必 有（）A. k3 B. k312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.| A|2 必为 1B.|A|必为 1C.A- 1=ATD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵， B=CTAC.则（）A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A与 B有相同的特征值D. A 与 B 合同14. 下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.3100C.3402334B.261

6、1D.二、填空题本大题共112002第二部分非选择题（共 72 分）10 小题，每小题 2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。 厦礴恳蹒骈時盡继價骚。1115. 35625 3616.设 A=1111B= 12322 34 .则 A+2B=3 ， |A|=2，222(a11A 21+a12A 22+a13A23) +(a21A21+a22A22+a23A 23) +(a31A21+a32A22+a33A23) =.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。17. 设 A=(aij)3Aij表示 |A|中 元2 素 aij 的 代 数 余 子2 式 （ i,j=1,2

7、,3 ） ,则18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a）线性相关，则 a=.19. 设A是 34矩阵，其秩为 3，若1，2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。20. 设 A 是 mn 矩阵， A 的秩为 r（n） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个 数为.21. 设向量、的长度依次为 2和3，则向量 +与-的内积（ +，- ）=.22.设 3 阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知023.设矩阵 A = 1210 63 3 ，已知 =10 8A有2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .21 是它

8、的一个特征向量，则 所对应的特征值为24.设实二次型 f（x1,x2,x3,x4,x5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）1225.设 A =2B=234.求（ 1）ABT；（2）|4A|.3126.试计算行列式52101542327.设矩阵 A =11012331 42001123 4 .1 1 .33求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB =A+2B.28.给定向量组2131， 2=3，3=0022341014=49试判断 4是否为 1，2，3的线性组合；若是，则求出组合系数。122106264229.设矩阵 A =210233

9、3334求：（1）秩（ A ）；030.设矩阵 A= 22）A 的列向量组的一个最大线性无关组。223 4 的全部特征值为 1，1和- 8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，使 T- 1AT=D.4331. 试用配方法化下列二次型为标准形2 2 2f（x 1,x2,x3）= x1 2x2 3x3 4x1x2 4x1x3 4x2x3， 并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10分）32. 设方阵 A 满足 A3=0，试证明 E- A 可逆，且（ E- A）- 1=E+A+A2.33. 设0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解， 1，2 是其导出组 Ax

10、=0 的一个基础解系 试证明（ 1） 1= 0+ 1， 2= 0+ 2 均是 Ax=b 的解；（2）0， 1， 2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共 14小题，每小题 2 分，共 28分）1.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D 7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D 14.C二、填空题（本大题共 10 空，每空 2 分，共 20分）15. 617. 418. 1019. 1+c（ 2- 1）（或 2+c（2- 1）， c 为任意常数20. n- r21. 522. 223. 12 2 2 224. z12 z22 z23 z245116205506 分，共 4

11、2 分）530 10 40.三、计算题（本大题共 7 小题，每小题1202225.解（1）ABT=340341211086=1810310（ 2） |4A |=43|A |=64|A |，而120|A|=3402121所以|4A|=64（ - 2）=- 1283112515134111326.解20110011533553511=1111550110062527.解 AB=A+2B即（A- 2E）B=A，而A - 2E ）4560963212102121020328303283000620003100021700000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.=B.所以1B=(A- 2E

12、)- 1A= 113434121300532130113010224011234190 131121035103501120112008800110014140000100201010011000012928.解一所以 4=2 解二考虑3266.1+2+ 3，组合系数为 4=x1 1+x2 2+x3 3， 2x1 x2 3x3 0 即 x1 3x2 12x2 2x3 4 3x1 4x2 x3 9. 方程组有唯一解( 2， 29.解 对矩阵 A 施行初等行变换1002，1，1）.1，1）T，组合系数为2，1，1）.B 是阶梯形， B 的第 1、 2、 4 列是 的第 1、2、 4 列是 A 的列

13、向量组的一（2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而 B 的列向量组的一个最大线性无关组，故 A 个最大线性无关组。 籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。（A 的第 1、2、5 列或 1、3、 4列，或 1、3、5 列也是） 30.解 A 的属于特征值 =1 的 2 个线性无关的特征向量为 1=（ 2，- 1，0） ，2=（2，0，1） .2 5/52 5/15经正交标准化，得 1=5/5，2=4 5/1505/3 =-8 的一个特征向量为11/ 33=2，经单位化得 3=2/ 3 .22/325/52 15/151/3所求正交矩阵为T=5/54 5/152/305/32/31 0 0对角矩阵

14、D= 0 1 0 .0 0 81/32/ 3 .)2/32 5/5 2 15 /15 也可取 T=0 5/35/5 4 5/1531.解 f(x1，x2，x3)=(x1+2x2-y1 x12x3) 2- 2x22+4x2x3- 7x322 2 2 =(x1+2x2- 2x3) - 2( x2-x3) - 5x3 . 2x2 2x3x1设 y2x2 x3 ，x2y3因其系数矩阵x31C= 0x3y1 2y2y2 y3 ， y301 可逆，1故此线性变换满秩。经此变换即得 f（x 1，x2，x3） 的标准形222y1 - 2y2 - 5y3 .四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10分） 2332.证由于（ E- A ）（E+A+A2）=E- A3=E，所以 E- A 可逆，且（E- A）-1= E+A+A2.33.