14.第10章-非线性问题

1、第第十十章章 非线性问题非线性问题 主要内容 10.1 非线性问题的类型 10.2 材料非线性问题的有限元分析 10.3 几何非线性问题的有限元分析 本章学习要求 了解非线性问题基本概念及非线性问题有限元分析基本方法 第第十十章章 非线性问题非线性问题 10.1 非线性问题的类型非线性问题的类型 材料非线性 -应力-应变关系非线性 岩土材料大多是材料非线性，钢等金属材料应力超过弹性极限后也是 几何非线性 -应变-位移关系非线性 大变形问题，如结构失稳等 其它非线性问题 流体力学中的非线性问题-粘滞系数与流速有关、紊流等造成达西定律不 适用 热传导中的非线性问题-材料导温系数与内部热源、温度有关

2、 第第十十章章 非线性问题非线性问题 10.2 材料非线性问题的有限元分析材料非线性问题的有限元分析 当材料 曲线非线性时，有限元的刚度矩阵 不再是常数，与应变和位移 有关，可表示为 ，结构总平衡方程是非线性方程组： 问题：如何求解这样的非线性方程组？ 始点刚度法-（欧拉法） 増量法 中点刚度法-（龙格-库塔法） 直接迭代法 -割线刚度法 牛顿法-切线刚度法 三类求解方法 迭代法 修正牛顿法-等刚度法 拟牛顿法 混合法 K ( )K ( )0KP 变刚度法 第第十十章章 非线性问题非线性问题 i P j m 1 m j j PP i 1 i ij j PP j i 1 i ij j 1 i i

3、j j m i （1）增量法）增量法 用一系列分段线性的折线，代替非线性曲线 将荷载分成为 个荷载增量（相等或不等） ，即总荷载为 每次施加一个荷载增 量，在第 步加载后，荷载为 每一荷载增量产生一个位移增量 和应力增量 ， 在第 步加载后，位移、应力分别为 第 步加载后，得到最终位移、应力 关键在于每一加载步，如何由荷载增量 计算 位移增量 和应力增量 ，可用不同方法 i j P 第第十十章章 非线性问题非线性问题 始点刚度法始点刚度法-（欧拉法）（欧拉法） 第第十十章章 非线性问题非线性问题 始点刚度法始点刚度法-（欧拉法）（欧拉法） 在第 步计算时，根据上一步计算出的应力 ，由非线性应力

4、-应变关系 曲线，计算出上一步末的弹性矩阵 ，由此算出上一步末的刚度 矩阵 ，并以其作为本步计算的刚度矩阵。 由第 步荷载增量的平衡方程，解出本步的位移增量 计算出本步的应力增量 计算本步加载后的位移 、应力 *始点刚度法计算较简单，但精度较低，可以采用始点刚度法计算较简单，但精度较低，可以采用“自修正方法自修正方法” 改进：改进： 在下一步计算时，将计算误差在下一步计算时，将计算误差“失衡力失衡力”从节点荷载中扣除从节点荷载中扣除 i 1i 1i D 1i K 1iii KP i i i i i 第第十十章章 非线性问题非线性问题 中点刚度法中点刚度法-（龙格（龙格-库塔法）库塔法） 第第十

5、十章章 非线性问题非线性问题 中点刚度法中点刚度法-（龙格（龙格-库塔法）库塔法） 在第 步计算时，先算出上一步末的刚度 矩阵 ， 施加荷载增量的一半 ，计算出临时的位移增量 计算中点位移 根据中点位移和非线性应力-应变关系，计算出中点刚度矩阵 由中点刚度矩阵，计算出本步位移增量 计算本步加载后的位移 、应力 i 1i K * 1 2 i * 1 2 i * 111 22 i ii 1 2 i K 1 2 ii i KP 1 2 i P * 11 2 1 2 ii i KP i i i 第第十十章章 非线性问题非线性问题 （2）迭代法）迭代法 一次施加全部荷载，然后通过迭代逐步调整位移，使基本

6、方程得到 满足 迭代的方法不同，最主要区别在于采用不同的刚度矩阵 简介4种迭代法 第第十十章章 非线性问题非线性问题 直接迭代法直接迭代法 第第十十章章 非线性问题非线性问题 直接迭代法直接迭代法 先给出一个位移初始近似解 （如令 ）， 由非线性应力-应变关系，计算出初始刚度矩阵 计算第一个改进的位移近似解 重复上述过程，由第 次近似解求第 次近似解 重复计算，直到前后两次计算结果充分接近。 本法属于变刚度法，计算中每一步均采用割线刚度矩阵 00 KK 1 ) 1 1 ( nn nn KK KP 01 KP 0 0 0 n(1)n 第第十十章章 非线性问题非线性问题 牛顿法牛顿法 1 0 10

7、 0 1 () () 1 ( () n nn n x f x xx fx n f x xx fx 在方程 点作泰勒展开，得线性化近似方程的解 重复上述过程，得方程的第次近似解 ） 第第十十章章 非线性问题非线性问题 牛顿法牛顿法 小于真解 0 0 大于真解 第第十十章章 非线性问题非线性问题 牛顿法牛顿法 也叫牛顿-拉夫逊法，属于变刚度迭代法，每一步采用的是变化的切 线刚度 首先由初始刚度矩阵 计算位移的第一次近似值 由初始位移求得单元应变、单元应力，并由单元应力求得相应的单元 节点荷载 用相应于 的即时切线模量 ，在荷载 作用下， 求位移增量 0 K 1 10 KP 1 P 1 1 K 11

8、 1 211 PPP KP 2 11 PPP 第第十十章章 非线性问题非线性问题 牛顿法牛顿法 由此计算出位移的第二次近似值 重复以上步骤，即 直到 与 非常接近，或 足够小为止 212 1 1 11 ii iii iii PPP KP 1i i i P 第第十十章章 非线性问题非线性问题 修正牛顿法修正牛顿法 第第十十章章 非线性问题非线性问题 修正牛顿法修正牛顿法 也叫修正牛顿-拉夫逊法、等刚度迭代法，为克服变刚度法每一步计 算都要重新计算刚度矩阵建立新方程组的缺点，在迭代过程中采用的 是不变的刚度不变的刚度 首先由初始刚度矩阵 计算位移的第一次近似值 由初始位移求得单元应变 、单元应力

9、，并由单元应力求得相应 的单元节点荷载 用初始刚度矩阵 ，在荷载 作用下，求附加位移 即 0 K 1 10 KP 1 P 1 0 K 11 1 201 PPP KP 2 11 PPP 1 1 1 T PBdV 第第十十章章 非线性问题非线性问题 修正牛顿法修正牛顿法 由此计算出位移的第二次近似值 重复以上步骤，即 直到 与 非常接近，或 足够小为止 212 1 10 11 ii ii iii PPP KP 1i i i P 第第十十章章 非线性问题非线性问题 拟牛顿法拟牛顿法 牛顿法每一步都要计算刚度矩阵 及其逆矩阵 ，拟牛顿法 则建立了一个各迭代步刚度矩阵的逆矩阵的递推算式，由 直接 计算

10、具体的递推计算，可用不同的方法，如 公式 公式 * 实际应用中，可兼用变刚度迭代法和等刚度迭代法，即在等刚度收敛实际应用中，可兼用变刚度迭代法和等刚度迭代法，即在等刚度收敛 速度慢时，变化一次刚度，以此刚度进行迭代，以提高收敛速度。速度慢时，变化一次刚度，以此刚度进行迭代，以提高收敛速度。 n K 1 n K 1 n K 1 1n K ()DFP DavidonFletcherPowel ()BFGS BroydenFletcherGoldfarbShanno 第第十十章章 非线性问题非线性问题 *失衡力的计算失衡力的计算* 在计算中，常需要计算失衡力，其定义为： 式中， 是将节点周围的单元节

11、点力集合； 是割线弹性矩阵 计算失衡力，可以采用初应力法初应力法、初应变法初应变法 下面分别简介这两种方法 ) ( T nnnn e FPBDdVP e n D 第第十十章章 非线性问题非线性问题 初应力法初应力法 第第十十章章 非线性问题非线性问题 初应力法初应力法 设材料应力-应变关系为 ，初始切线弹性矩阵为 ， 由 和线性应力-应变关系计算的应力为 假定有一初应力 ，加上按线性应力-应变关系计算的应力后，等于 按真实应力-应变关系计算的应力，即 故初应力可根据上式计算 初应力引起的单元节点力为 集合节点相关单元的单元节点力，即得到初应力引起的节点失衡力 ()f 0 D 0 D 0 D 0

12、 00 ()fD 000 () nnn fDDD 0 T e FBdV 0 T n e BdV 第第十十章章 非线性问题非线性问题 初应变法初应变法 第第十十章章 非线性问题非线性问题 初应变法初应变法 一些问题（如徐变）难以用应变明显表示应力，但可用应力明显表示 应变 ，即 ，线弹性应力-应变关系为 由线弹性应力-应变关系计算的应变为 假定有一初应变 ，加上按线弹性应力-应变关系计算的应变后，等 于按真实非线性应力-应变关系计算的应变，即 故初应变可根据上式计算 集合节点相关单元的单元节点力，得初应变引起的节点失衡力 ()f -1 D 0 -1 00 ()fD -11 0 ()DfD 0 T

13、 nn e BDdV -1 e D 第第十十章章 非线性问题非线性问题 混合法混合法 第第十十章章 非线性问题非线性问题 （3）混合法）混合法 同时使用增量法和迭代法 把荷载分为较少的几个增量进行加载 对每一荷载增量进行迭代计算 第第十十章章 非线性问题非线性问题 （4）三类方法的比较）三类方法的比较 增量法增量法 优点：适用范围广，通用性强，可提供荷载-位移过程曲线 缺点：计算耗时较多，近似解与真解的偏离程度不清楚 迭代法迭代法 优点：计算耗时较少，能控制计算精度 缺点：适用范围相对较小（如材料变形特性与加载过程有关、动 力问题等不适用），不能提供荷载-位移过程曲线 混合法混合法 优点：包含了两种方法的优点，避免了两者缺点 缺点：计算量仍较大 第第十十章章 非线性问题非线性问题 10.3 几何非线性问题的有限元分析几何非线性问题的有限元分析 几何非线性，实质是“大位移小应变”问题，即尽管位移很大，但材 料应力-应变关系仍为线性，而应变-位移关系是非线性 如果材料应力-应变关系与应变-位移关系都是非线性的，称为“双重 非线性” 可以用虚位移原理（或变分原理）建立几何非线性有限元方程 几何非线性的求解，可用牛顿-拉夫逊方法，迭代公式为 1 1 T nn nnn K 第第十十章章 非线性问题非线性问题 计算步骤： （1） 按