随机变量及其分布习题解答

1、第二章随机变量及其分布1解：设公司赔付金额为X,则X的可能值为；投保一年内因意外死亡：20万，概率为投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：0,概率为所以X的分布律为:2、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3. 4、5,在其中同时取三只，以X表示 取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3, 4, 5,分布律为IC； 10也可列为下表上 3,4, 5P（X=3） = P（球为3号,两球为1,2号）=上华 =4 1010103、设在15只同类型寒件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画

2、出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0, 1, 2个。C1322C： x C.1P(X=2)=; 13再列为下表11_ x/：0, 1, 2可222 21 J_4. 进行重复独立实验，设每次成功的概率为厂 失败的概率为q =l-p（0pl）（1）将实验进行到出现一次成功为止，以/表示所需的试验次数，求斤的分布律。 （此时称Y服从以p为参数的几何分布。）（2）将实验进行到出现厂次成功为止，以Y表示所需的试验次数求卩的分布律。（此时称I7服从以门P为参数的巴斯卡分布。）（3）篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表示他首次投中时累计已投篮的次 数，写出尤的分布律，并计算尤取偶数的概

3、率。解：（1） PX諭二d P 1.2,（2）Y=r-n=最后一次实验前广切一 1次有刀次失败，且最后一次成功P（y = r + n） =严 p = C爲3 /, n = 0丄2,，其中尸1 p,（或记 r+n二k、则=/7）Art k = w + l,（3）P （尤叹）=斤=1,230x11P （J取偶数）二2P（X=2k） =（0.55）2=70.45 =普i-i左】5、一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的 窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。 假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。（1）以才表示鸟为了飞出房间试飞

4、的次数，求*的分布律。（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。 以卩表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求卩的分布 律。（3）求试飞次数才小于卩的概率；求试飞次数F小于才的概率。解：（1）*的可能取值为1, 2, 3,，刀，P X=n=P 前”一1次飞向了另2扇窗子，第次飞了出去= （|）n_，4 1，2,（2）的可能取值为1, 2, 3P Y=P 第1次飞了出去 = +P Y=2=P 第1次飞向另2扇窗子中的一扇，笫2次飞了出去 =1x1=1323P 啟二” 第1, 2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去2! _ 1| ZZ 3!3）

5、PX5百P叱詡（全概率公式并注意到）Ap（x rir = i=o I=py = RPX 丫1丫 =灯如2= PY = kPX k注意至风丫独立即zPX YY = k444xI44=%7-pxk同上，p(x = r = py = /；Px = nr = k= p(r = z：Px=/： = lxl+lx| + lxA=.-138故 PY X = -PX 3) = C： X (0.1)3 X (0.9)2 + C； X (0.1)4 X (0.9) + C? x (0.1)5 = 0.00856(3) 至多有3个设备被使用的概率是多少P(X 3 =CO.3XO.7W = 063Jt-372 P(B

6、)= PXn3 = YPX = K = l-PX=KA-30=10.7? -G* 0.3x0.76-G20.32x0.75 0.3538、甲、乙二人投篮，投中的概率各为，令各投三次。求(1) 二人投中次数相等的概率。记尤表甲三次投篮中投中的次数F表乙三次投篮中投中的次数由于甲.乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。P (后二P (用0 FR)+P (乙2,(円.Y)=P (后 1. FR)+P (匕2, =0)+P (壮，F=l) +P (后3) P (K4)+ P (后3) P (M)+ P (F3) P (JU)二P QM) P (K-0) + P (后2, K4)+ P (启=2. F=l)

7、 +P (后3) P (g)+ P (用3) P (卩=1)+ P(后3) P (Y=2)=C； x 0.6 x (0.4)2 x (O.3)3 + Cl x (0.6)2 x 0.4 x (0.3)8 +Cl x (0.6)2 x 0.4 x C x 0.7 x (0.3)2 + (0.6)3x (0.3)3 + (0.6)3 x C； x 0.7 x (0.3)2 + (0.6)3xCjx(0.7)2x 0.3 = 0.2439、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收 无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5 件，仅当5件中

8、无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10肌求(1) 这批产品经第一次检验就能接受的概率(2) 需作第二次检验的概率(3) 这批产品按第2次检验的标准被接受的概率(4) 这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率(5) 这批产品被接受的概率解：尤表示10件中次品的个数，卩表示5件中次品的个数， 由于产品总数很大，故胆B (10,), rB (5,)(近似服从)(1) P 偌0=(2) P 虑2=戶X=2+ P 1 = 0.120.98 +C*)0.1 0.99 0.581(3) P 方0=认(4) P OOW2,比0(0CTW2与 F二2独立)=P 0CTW2M 比0=x (5)

9、 P 上0+ P 03 = PX 4） = 0.56653013. 某一公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为 （1/2） t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。（1）求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率。（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。解：A =232兄=214. 解:X龙(2f)X兀PX=0 = C= 0.2231pxni1= 0.918（1 ）、t = 10分钟时/ =丄小时,6PX= =k亍2388(2)、PX=00.5 故 0.5 =/ 0.34657 (小时)所以r0.34657*6020.79 (分

10、钟)15. 解：io ( SOOOAPX10 = (0.0015/(1-0.0015广曲i-o kPX 2 = -PX =0-PX =1 a 1-0.9953 = 0.00470! 1!17、M：设X服从(01)分布,其分布率为PX= = /(1 p)i,R=0,l,求X的 分布函数，并作出其图形。解一：X(I1Pkl_ppX (0,1)X的分布函数为：0 ,x0F(x) = U-p ,0xl如图:18. 在区间0,可上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点 落在0,4中任意小区间內的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数。解：当XvO时。Xx是不可能事件，F(X)=

11、PX5x = 0当 0xa 时，POXx=Alv 而0X6/是必然事 件:.POX x=ka = k=丄X:.POX x = kx = -则 F(x) = PX x = PX 0 + P0X d时，xx是必然事件，有F(x) = PXx = ix00 x a19、以尤表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计), 尤的分布函数是求下述概率：(1)尸至多3分钟； (2) P 至少4分钟； (3) H3分钟至4分钟之间；(4) 川至多3分钟或至少4分钟； (5) P恰好分钟解:(1) P至多 3 分钟= P UW3 =Fx(3) = l-e-12(2) P 至少 4 分钟 P (

12、X 24) =1 一 耳(4)=厂“(3) 戶3分钟至4分钟之间= P 3底4=心(4)一心二小卫一广(4) 川至多3分钟或至少4分钟山H至多3分钟+尸至少4分钟二_严+严(5) 川恰好分钟= P (后020、设随机变呈尤的分布函数为Fx (%) = In aJ xe 求(1) P CY2), P 0CW3, P (2X%) ； (2)求概率密度 A (x). 解：(1) P CVW2)二用(2)= ln2, P (0CTW3)= Fx (3)用(0)=1, P(2X| = FY(|)-Fx(2) = ln|-ln2 = ln|(2) /(x) = F W、”0,其它21. 设随机变量X的概率

13、密度/(x)为fM =其它x 0xl(2) /(x)斗2-x lx20 其他求尤的分布函数尸(X),并作出(2)中的f (x)与尸(0的图形。解：(1)当一时:=xa/1 -x2it+ arcsin x + n2-” +-arcsin x乙F(x)=I 0+ yj-X1 dx = L J-i nn 2当 1A时：F(x) = J_1 0 dx + j1 yl-x2dx + Jo dx = 1 故分布函数为：+-arcsin x + -xv-l-1XI1X0F(x) = i 丄Tt1解：(2) F(x) = P(X x) = f 山当X0时，F(x) =0J/=0当0 S x 1时，F(x) =

14、0 dt + ” dt =斗当1S x W 2时，F(x) = f = 0dl + J： / dt +(2 -t)dt = 2x-斗一 1 当2 x时，F(x) =0 dl + ( / dt + (2 - t)dt + 0 d/ = 1故分布函数为F(x)=02牙Tx00xllx2200,其它其中h = m/2kT , k为Boltzmann常数，了为绝对温度，加是分子的质量。试确 定常数A。解： V j（A）Jx = lXb |訂+型丘/工2血一型厂劝2仓）=_理疋兮2 J。2丄2Ab f 4b 12 V2 2Ab3- -Ab /即 J* f (x)dx = Ax2e b dx = _斗寸“

15、 xe h d 4.Z1=byjbz当FvO时，坊(/) = J；0力=0当 4 0 时，许(/) = / x) / =外(r) = J：着耳=1-? 2410, r 0号(/) = 0 P50 T1OO = PT1OO-PT5O = F(1OO)-F(5O)_ /期241-100/241 _ 1(X)100 i 丄122或 P50 r 1000JT0 其它现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立)。任取5只，问其中至少有 2只寿命大于1500小时的概率是多少解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为15001000_f-OH)00Jv = 1J 1(J(X) x2P(X 1500) =

16、 1-P(X 2) = 1 - P(r 0 0,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以F 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出F的分布律。并求户(诊1)。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为P(X 10) = 7x(x)dx = l*e 忑dx = -e 需=尸 因此 丫 e2).即 P(Y=k) = y2k(1 一 * -严,伙=123,4,5P(r 1) = 1 - P(y 1) = 1-P(r = 0) = 1-(1-e-2)5 =1-(1-y-)5 =1-(1- 0353363)，=1 一 0.8677 5 =1-0.4833 =

17、0.5167.25.设K在(0, 5)上服从均匀分布，求方程4x2+4xK + K + 2 = 0有实根的概率0K5其他1J K的分布密度为：/(K) = 2) = JX/(x)Jx =0 dx = -|26、设 XN ()(1) 求戶(2CTW5), P (一4)9 P O3).若 X-N ( p , o2),则 P (aJO)=(i)f-j-p(2底5)一e(P (一 4*10) =P (|J|2)=1-P ( J|2)= -P (-2 ( +Q ( =1一+=“ 03)二1一“ crw3)二ie二i一二I 2丿(2) 决定 C使得 P X C )=P UW0(x c)=i-p (虑c)=

18、 p crwo(/) = y =) = 0.5,查表可得 = 0C=3(xc)=eC-327、某地区18岁的女青年的血压(收缩区，以mm-Hg计)服从(110J22)在该 地区任选一 18岁女青年，测量她的血压儿求(1) P CTW105), P (100J 120)(2)确定最小的*使 P OX) W 解：(1) P(X (-0.4167) = 1 一 (0.4167) = 1-0.6616 = 0.3384P(100X (1()()11()=(丄)一(一2)12 12 66=20(A) 一 1 = 2 (0.8333) -1 = 2 x 0.7976 一 1 = 0.59526(2) P(

19、Xx) = l-P(Xx) = l-(二打畀) 0.95.查表得 A 10 1.645. =x 110 +19.74 = 129.74故最小的X= 129.74丄厶28、由某机器生产的螺栓长度(m)服从参数为ur。二的正态分布。规定长度在范围土内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少设螺栓长度为尤刊尤不属于一，+*(10.05 + 0.12) -10.05-m 0.06J=1一戶 一*+=1-4(2)-4(-2)0.06(10.05 - 02)-10.0529. 一工厂生产的电子管的寿命/(以小时计)服从参数为u=160,。(未知)的 正态分布，若要求P (120y200=,允许。最大为多少P

20、(120200) = 0 20；16屮20 J60卜伴卜卜譽卜08。解出巴便得:又对标准正态分布有 (x)=l (x)上式变为弓再杳表，得 ZY_1.281 a 122=2P-1 X = 2(1-0.8413) = 0.31742(1一 )3 =0320412 丁31、解：0K V 0F(x)=，0.2+ 08 30,0x30f(x)0,g(x)0,0a0且J妙(“)+(1 -d)g(x)xNL/(x)6/x + (1-6Z)J qg(x)dx = a + (l-a) = l所以0(x) + (l d)g(x)为概率密度函数33.设随机变量*的分布律为：X： 2、 1,0,1,3p 1 111

21、11P:亍15 30求的分布律 Y=X (一2)2(-1)2(0)2(I)2p 11 1111P： J?530再把尤2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数卩的分布律为: .- K： 0149P.丄丄+丄丄1156 1553034. 设随机变呈才在(0, 1)上服从均匀分布(1)求的分布密度尤的分布密度为：/心：務轟Y=g (X)=是单调增函数 又 X=h二加；反函数存在 且a = minVg (0). g (1)二加5(1, e)=lP =maxg (0), g (1)二刃ly(1, e)= e.卩的分布密度为：(y)J w).|/r(y) 1=1-11 0y为其他(2)求Y=-21n

22、X的概率密度。Y= g (X)-21nX是单调减函数又X=h(Y) = e反函数存在。且 a = ming (0). g (1)=加/7(+8. 0 )=0 P-maxg (0), g 二呃v(+8, o )= +80 v +xy为其他的分布密度为：川)4(刃Mg” 讣艸035. 设尤N(0, 1)(1)求的概率密度X的概率密度是/(%) =-00 X +00W g (，n=e是单调増函数 又X二h (K) = InY反函数存在且 a = min.g (), g (+) =zz7J/7(O, +)=0 fi = maxlg ( 8). g (+8)= max +)= + F的分布密度为：1(y

23、)= /My)-l/(y)l=-=-,+co0y为其他(2)求畑斤+1的概率密度。在这里，比2斤+1在(+8, 8)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设卩的分布函数是斤(y),则F、(沪P UW0 二P (2F+lWy)当 y时.(3) 求Y=/ X /的概率密度。卩的分布函数为Fy ( 0二P (PWy MP ( X /Wy) 当 y0 时，Fy ( y)二0当日才(/心宀(-炖补匸怎丁 卩的概率密度为:当 yWO 时：2 ( y)= Fy ( y) = (0) * =0W ( y)= Fy ( /)巾；越J罟宀36、(1)设随机变量才的概率密度为f (力，求卩二尤的概率密度。 Y=g (

24、J)=是尤单调增函数，又X二h (卩)二门，反函数存在，且 a = min.g () t g (+) =z7/7(0, +)=00P = maxg ( 8), g (+oo)= max +)= +.- F的分布密度为：I2if ( y)= f Ih (/?)力(y) =3 ,-oo 0法一：I 尤的分布密度为：f(x) = 0x0比/是非单调函数当x0时y=x反函数是x = -J7当 %0v0y0法二：Y Fy (刃=P(Y y) = P(-丘 X 5 丘)=P(X 5 五)一 P(X 5 -丘)37、设尤的概率密度为仝- OVXVTT/（x） = k20x为其他求fsin才的概率密度。J F、(沪 P (Yy)=P (sin/y)当 y0 时：Fy ( y)=0