线性代数期末复习试题

1、2009-2010 学年第一学期 线性代数 B 一、填空题（每空 3分，共 24 分）1 设 1, 2, 3均为 3维向量，已知矩阵 A （ 1, 2, 3） ，B ( 1 2 3,3 1 9 2 27 3,2 1 4 2 8 3) ，且 A 1，那么 B 。2. 设分块矩阵 CA， B均为方阵，则下列命题正确的个数为A）若 A， B均可逆，则 C也可逆B）若 A， B均为对称阵，则 C也为对称阵C）若 A， B均为正交阵，则 C也为正交阵D）若 A， B均可对角化，则 C 也可对角化3.设 D2341345145617891则 D 的第一列上的所有元素的代数余子式之和为4.设向量组（ I）：

2、 1, 2,L , r 可由向量组（ II ）: 1, 2,L , s线性表示，则（注：A）当rs时，向量组（II ）必线性相关B）当rs时，向量组（II ）必线性相关C）当rs时，向量组（I）必线性相关D）当rs时，向量组（I）必线性相关此题单选）。25. 已知方阵 A满足 2A2 3A O ，则 (A E)6. 当矩阵 A 满足下面条件中的 （注：此题可多选） （A ） A可逆（C） A 的列向量组线性无关时，推理“若 AB O ，则 B O ”可成立。（B） A为列满秩（即 A的秩等于 A 的列数）（ D） A O7. 设矩阵 A，B 分别为 3 维线性空间V 中的线性变换 T 在某两组

3、基下的矩阵，已知 1, 2为A 的特征值， B 的所有对角元的和为 5 ，则矩阵 B 的全体特征值为 。8. 设 Jn是所有元素均为 1的n阶方阵（ n 2），则 Jn的互不相同特征值的个数为。200100112、（10 分）已知矩阵 A 011，B052 ， C101 ，矩阵 P,X031021030满足 PA B ， PX C ，求矩阵 X 。x13x2x3三、（10 分） 设线性方程组x1 4x2 ax3b，问当参数a,b 取何值时，2x1x23x31）此方程组无解？2）此方程组有唯一解？3）此方程组有无穷多解？2 ，若 p1, p2, p3, p4 都是非齐次四、（10分）设 A为4阶

4、方阵， 4维列向量 b 0，R A方程组 Ax b 的解向量，且满足2320p1 p2， p2 p3， p3 p40 2 31 3 42104211）（ 6 分）求齐次方程组 Ax0 的一个基础解系。2）（4 分）求 Ax b 的通解。五、（16 分）将二次型222x1, x2 , x3x1 4x2 6x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3 用正交变换化 为标准形。六、（ 14分）设 V为所有 2阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间，定义 V上的变换T如下：对任意 x V ，T XAX X T A ，其中 A1221， XT 表示 X 的转置矩阵。（1）（ 6分）证明 T 是V上的一个线

5、性变换。1 0 E010000（2）（8分）求T 在V 的基 E11， E12， E21， E220 0 12001001下的矩阵。b1 a1a2b2 a2a3七、（1）（8 分）已知向量组 a1,a2,L,an 线性无关，向量组b1,b2,L,bn 满足Mbn 1an 1 anbnana1分别讨论当 n 4和 n 5时，向量组 b1,b2,L , bn是否线性相关？2）（ 8分）设 1， 2为方阵 A的两个不同的特征值，1, 2为 A相应于 1的两个线性无1234关的特征向量， 2, 3为 A相应于 2 的两个线性无关的特征向量， 证明向量组 线性无关。2007-2008 学年第一学期 线性

6、代数 B2007-2008 学年第一学期 线性代数 B 一、（ 24 分，填空与选择题）1.设 A是m阶方阵， B是 n阶方阵，且 Aa，b，CEAB O ，则C2.设 A ，B， A B均为可逆矩阵，则矩阵 A 1 B 1也可逆，则其逆矩阵为（）。A. B(AB) 1 AB. A 1(A B) 1B 1C. (A 1B 1)TD. (AT BT) 13. 若 A 是 5阶方阵，且A 4 ，则14A1A. B.2C. 8D.以上答案均不正确。4. 设124是齐次线性方程组Ax0的基础解系，则下列向量中不再是Ax0 的基础解系的为（）。A）1131B）41C) 114D）415. 若 3 阶方阵

7、 A 的特征值为1,0, 2 ，则与方阵A32E 相似的对角矩阵为6.设123是非齐次线性方程组Ax b 的解，k 2 3 ，则 是 Axb 的解的充分必要为 k3，是 Ax O 的解的充分必要为7.设 A、B为 n阶方阵，且秩相等，R(A) R(B) ，则有（）。A. R(A B) 0B.R(A B)2R(A)C. R(A,B) 2R(A)D.R(A,B)R(A) R(B)8. 已知实二次型为正定二次型2x1, x2, x3x1224x22 2x32 2ax1x2 2x2x3 ，则实常数a 的取值范围为112二、（10 分）设矩阵 A02 2 ，已知多项式gx32x3 2x2 1 ，求行列式

8、gA。103101三、（ 8分）设 A和 B都是3阶方阵，E 为单位阵，ABEA2 B，其中 A 020，101求B。13311四、（ 10 分）已知向量组10 ， 2 n ，35与 向量组 1 3 ，2110m22有相同的秩，并且 3可由 1, 2 线性表示，求 m,n 的值。五、（ 10 分）已知线性方程组x1 ax2 2x3 1x1 x2 ax3 2 ，问 a 取何值是方程组有无穷多解？并用其对应的齐次线性方程组的 5x1 5x2 4x3 1基础解系表示其通解。1六、（12分）设三阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 2 6是 A的二重特征值， 若 1 1022 1 都是 A 的属于特征值 6 特征向量，求 A 及它的另一个特征值与特征向量。1