线性代数向量与向量空间

1、12(1,0, 1)T312 3 (0,1,2)T2设 3( 1) 2( 2) 5()，其中 1 (2,5,1,3)T ， 2 (10,1,5,10)T3(4,1,1,1)T ，则(1,2,3,4) T已知 1(1,1,2,1)T ,2 (1,0,0,2)T , 3 ( 1, 4, 8,k)T 线性相关，则 k 2线性代数练习题系 专业第三班章 向量与向量空间姓名学号第一节 n 维向量第二节向量间的线性关系一选择题1n 维向量 1, 2, s ( 1 0) 线性相关的充分必要条件是(A)对于任何一组不全为零的数组都有k1 1 k 22k s s 0(B) 1, 2 , , s中任何 j ( j

2、 s) 个向量线性相关(C)设 A ( 1 , 2, , s) ，非齐次线性方程组 AX B有无穷多解(D)设 A ( 1 , 2, , s) ，A的行秩 s.2若向量组 , ,线性无关，向量组, , 线性相关，则( A) 必可由 , 线性表示(B)必不可由 , ,线性表示( C) 必可由 , 线性表示(D)比不可由 , ,线性表示二填空题：1 设 1 (1,1,0)T ,2 (0,1,1)T , 3(3,4,0)Tabc=04 设向量组 1 (a,0,c), 2 (b,c,0), 3 (0,a,b) 线性无关，则 a , b, c满足关系式三计算题：1 设向量 1k 1,1,1 T ， 2

3、(1,k 1,1)T ， 3 (1,1, k 1)T ，2T(1,k,k2)T ，试问当 k 为何值时可由 1, 2, 3 线性表示，且表示式是唯一1)可由 1, 2, 3 线性表示，且表示式不唯一3) 不能由 1, 2, 3 线性表示k 1 1 1k311r2 r1k311c1 c2 c3r3 r11 k 1 1k3k110k01 1 k 1k31k100k( 向量组的秩 ppt)k2(k3)2设向量 1 (1,0,2,3)T ， 2 (1,1,3,5,)T ，3 (1, 1,a 2,1)T ， 4 (1,2,4, a 8)T(1,1,b 3,5)T ，试问当 a, b为何值时， ( 1)不

4、能由 1, 2 , 3, 4线性表示有 1, 2, 3, 4 的唯一线性表达式并写出表达式。1 1 1 1 11 1 1 1 11 r3 2r1 0 1 1 2b35r3 r2011210112r4 2r200a10b r1 r200a10000a10000a11 1 1 1 11b0(1) a= -1,b 0.1 0 2 1 0R(1,2 , 3,4)2;R(1,2,3,4,) 3(2) a -12b1001102102a101121 r1r3a 1 3b0102100a10b1a1000a1r202a 1r300a10b000a10R( 1, 2 , 3, 4) R( 1, 2, 3, 4

5、, ) 42bbba 1 1 (1 a 1) 2 a 1 3线性代数练习题 第三章 向量与向量空间系 专业 班 姓名 学号 第三节 向 量 组 的 秩选择题 ：1已知向量组 1, 2, 3, 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是A) 1B) 1 2, 2 3, 3 C 4, 4 1C) 12 , 23, 3D) 141过渡矩阵满秩2设向量 可由向量组m 线性表示，但不能由向量组12m 1 线性表示，记向量组（）12，则A）m 不能由（）线性表示，也不能由（）线性表示B）m 不能由（）线性表示，但可由（）线性表示C）m 可由（）线性表示，也可由（）线性表示D）m 可由（）线性表示，但不可由（

6、）线性表示k1k2 2kmm1km(km0)1k1k2km3设 n 维向量组1, 2 , s 的秩为 3，则 C (A) 1, 2 , ,s 中任意3 个向量线性无关（B） 1, 2 , s 中无零向量(C) 1, 2 , ,s 中任意4 个向量线性相关（D） 1, 2 , s 中任意两个向量线性无关4设 n 维向量组1, 2 , s 的秩为 r ，则 C 1mkmkm2mm1A）若 r s ，则任何n 维向量都可用s 线性表示B）若 s n ，则任何n 维向量都可用s 线性表示C）若 r n ，则任何n 维向量都可用s 线性表示D）若 s n ，则 r n填空题：1已知向量组(1,2, 1,

7、1) , 2( 2,0, t,0) , 3(0, 4,5, 2) 的秩为 2，则 t = 32已知向量组 1 (1,2,3,4)， 2 (2,3,4,5)， 3 (3,4,5,6) ， 4 (4,5,6,7) ，则该向量组的秩为 23向量组 1 (a,3,1)T ， 2 (2,b,3)T， 3 (1,2,1)T ， 4 (2,3,1)T的秩为 2，则a = 2三计算题：1设 1 (3,1,1,5)T ，2 (2,1,1,4)T ， 3 (1,2,1,3)T ， 4 (5,2,2,9)T ，(2,6,2,d)T1)试求1, 2, 3 , 4的极大无关组2)d 为何值时， 可由 1, 2, 3,

8、4的极大无关组线性表示，并写出表达式32152r1r2r33r11112211226r3r4r15r10010411122012145439d0121d101112211022r3r201214r2 2r3r1 r30101400104001040000d60000d610012r1r201014001040000d61) 线性无关组：1 2 32) d 6时，2 1 4 2 4 32已知 3阶矩阵 A有3维向量 x满足 A3x 3Ax A2x ，且向量组 x,Ax , A 2 x线性无关。1）记 P （x,Ax ,A2x），求 3阶矩阵 B，使 AP PB； （2）求 | A |由 AP P

9、B可得， (Ax,A2x,A3x) (x,Ax,A2x)B又由 A3x 3Ax A2x可得，0 0 0 2 3 2(Ax,A2x,A3x) (x,Ax,A2x) 1 0 3 0 1 10 0 0从而 B 1 0 30 1 1A PBP 1 B 0选择题：1设向量组12A) 122线性代数练习题专业第三章 向量与向量空间姓名学号第四节 向 量 空 间3 线性无关，则下列向量组中，综合练习线性无关的是B) 1 2 , 2 3 , 1 2 2C) 1 22,2 23 3,3 3 1D) 12 3 ,2 1 3 2 223,32设矩阵 Amn 的秩R(A) m n ，Em为 m阶单位矩阵，下列结论中正

10、确的是A) A的任意m个列向量必线性无关B)A通过初等行变换，必可以化为(Em0)的形式C) A的任意m阶子式不等于零D)非齐次线性方程组 Ax b 一定有无穷多组解二填空题：1设 A22 ，三维列向量4(a,1,1)T ，已知 A 与 线性相关，则 a = -11 2 2aaA2 1 212a3,3 0 413a4两个向量线性相关各分量成比例2a3=1 a 1111 1 2 32从 R2 的基 12到基1， 2 的过渡矩阵为011 2 2 1 2即求 A，使得：( 1, 2 )( 1,2)A作法：( 1 , 2 ,1, 2 )行最简形111110231023011201120112三计算题：1设 1 (1,1,1