求值域的10种方法

1、求函数值域的十种方法一直接法(观察法):对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数y = 77+1的值域。【解析】J7+ini, 函数y = 4x +1 的值域为1,+8)。【练习】1.求下列函数的值域：y = 3x +2(-1 xl)；/(X)= 2 +、/4-x ； y =； y =(兀1) 1 , x e 1,0,1,2 0【参考答案】1,5； 2,+oo)；(yo,1)U(1，p);70,3。二.配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的題型。形如F(x) = af2(x) + bf(x) + c的函数的值域问題，均可便用配方法。例 2.求函数 y = -x

2、2 +4x + 2 ( xe-l,l)的值域。【解】y = -x2 + 4x + 2 = -(x 一 2)2 + 6。V-lxl, ：.-3x-2-, A 1(x-2)29, .-.-3-(x-2)2+65, ：.-3y0o例 4.若x + 2y = 4, xO,y 0,试求lgx + lgy 的最大值。【分析与解】本题可看成第一象限内动点P(x,y)在直线x + 2y = 4上滑动时函数lgx + lgy = lg.yy的最大 值。利用两点(4,0), (0,2)确定一条直线，作出图象易得：xe(0,4),y e(0,2),Mlgx + lgy = lgxy = lgy(4-2y) = lg

3、-2(y-1)2 + 2, y= 1 时，lgx + lgy 取最大 值 lg2。【练习】2.求下列函数的最大值、最小值与值域： = x2-4a + 1； y = x2-4A- + l,A-e3,4； y = x2-4x + ,x e0A；y = x2-4A + l,A0.5； y = 2V4. ,4；),=J* _2x+3。x4【参考答案】 1-3,乜)；-2,1； -3,6;6,；0,24三.反函数法： 反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的 值域。适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函 数类型。9 r例5.

4、求函数y =-的值域。x +1分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出X,从而便于求出反函数。2 rVy = 反解得兀二 一，故函数的值域为(y,2)U(2,+s)。x+2 - y【练习】2v + 31.求函数y=-的值域。3x- 22.求函数=巴凹cx + d【参考答案儿(V)u(|,i敎牛)。四.分离变量法：适用类型1:分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。 例6：求函数y= 的值域。2x + 5177解：严厶二土叱丄+丄，2x + 52x + 52 2x + 5Z11 V1丁 2 亠工一匸，：函数y= 的值域为yiyH-匸。

5、t 弄 u22x + 522x + 5适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为y = k/(x)伙为常 数)的形式。2例7：求函数=I的值域。_x2-x + l-lX+1-X + 1分析与解：观察分子.分母中均含有疋X项，可利用分离变量法；则有y=7对一 X +1=1313不妨令：fM =(X-)2 + g(x) = -一(/(%) 0)从而 /(x)e +8)。24f(x)|_4注意：在本题中若出现应排除/(X)= 0,因为/(X)作为分母.所以g(x)e 0,上故yw -,1)0 I 33另解:观察知道本题中分子较为简单，可令/一2 7-i_i+ J ,求出的

6、值域，进而可得到y的值域。【练习】?r2 +2y + 31.求函数)=.的值域。f +X + 1【参考答案】1. (2,芈五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根 式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例8：求函数y = 2x + Jl-2兀的值域。_,25解：令t = J-2x (/no),则人= a y = -r2 +r +1 = -(r-)2 + -o2241 35/ 5当t=-即兀=6时， max = - 无最小值。：函数y =

7、2x+J-2x的值域为(一8，1。2 844例9:求函数，=尤+ 2 +J1_(X + 1)2的值域。解：因 1一(x + l)20,即(x + 1)2K故可令x + 1 =cos/?,/?g0,zt，: y=cos0 + l + Jl-cos2 卩=sin卩+ cos0 + l =x/2sin(p + -) + l。.0505/r,彳 5戸 + 5扌兀，芈sin(0 + ?)S 1 .OS 迈 sin(0 +彳)+ 1min =-故所求函数的值域为44的值域。且xe可得：例 11.求函数 y = (sinx + l)(cosx + l)，x e解:y = (sin x + l)(cos x

8、+ 1)= sinxcosx+sinx+cosx+l令sinx + cosx = r 则 sinxcosx = -(r2 -1)2112y = _(厂 _l) + f + = _(/ + 】)22由 t = sin x + cos x = V2 sin(x + )4兀 nr0 可得lxl/10 sin(0 +TO:P + 0,解得 1 5 y S ,又 y 1 1 y y2 _ v . o1 1函数)=的值域为 ylly0,故原函数的值域为（0.V2适用类型2：用于求复合函数的值域或最值。:原理：同增异减）例16：求函数? = 10g!（4x-X2）的值域。9分析与解：由于函数本身是由一个对数

9、函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令: t（x） = -x2 + 4x（r（x） n 0）配方得：/（x） = _（兀一 2）2 + 4所以心）w （0,4）由复合函数的单调性（同增异减）知：ye-2,+s)。八. 利用有界性： 一般用于三角函数型，即利用sinxwl,l,cosxel,l等。例17：求函数y = ,csx的值域。sinx-3解：由原函数式可得：ysinx cosx = 3y 可化为:ylyr+sinx(x+J3) = 3y3y 即 sin x(x + 0) = xwR: sinx(x + 0)3y即-l-p=0.-lyl.函数尸譬的值域为g-m九、图像法(数

10、形结合法)：其题型是函数解析戎具有明显的某种几何意义，如两点的 距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例19：求函数y =lx + 3l + lx-5l的值域。-2x+ 2 (a- -3)解:T y =lx + 3l + lx-5l= 8(-3 x 5) y=lx+3l + lx-5l的图像如图所示，由图像知：函数y =ix + 3l + lx-5l的值域为8,+s)例20求函数),=J(x_2)2 + J(x + 8)2的值域。BPAI 一 I I8 0 2解：原函数可化简得：y=lx-2l + lx + 8l上式可以看成数轴上点P (x)到定点

11、A (2) , B(8)间的距离之和。由上图可知.当点P在线段AB上时，y=lx-2l + Lv + 8H AB 1=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=lx-2l + Lv + 8ll /IB 1=10故所求函数的值域为:10,+co例 21.未函数 y = J# -6x + 13 + Ja：2 +4x+5 旳克域。解：原函数可变形为:y = J (x _ 3) + () _ 2) + J(x + 2) +(0 + 1)上式可看成x轴上的点Pg 0)到两定点A(3,2). 3(-2,1)的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ynun =| A3l=J(3 +2F+(2

12、 + 1)2 =届故所求函数的值域为屈.+00|纟(3,2)例 22.未旳数 y =-6x+13 一 Jx1 +4x+5 門匱鐵解:将函数变形为：y = J(x_3尸+ (0_2)2 _ J(x + 2尸+ (0_ 1尸上式可看成定点A (3, 2)到点P (x, 0)的距离与定点B(-2,l)到点P(x,0)的距离之差。即：y=l AP-BP由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点p,则构成AABP，根据三角 形两边之差小于第三边，AP-BP AB= 7(3 + 2)2+(2-1)2 = x/26即：-/26 y v = l-x 则 zz 0, v 0, /+/=2，

13、 + =，原问题转化为：当直线u + v = y与圆“2+/=2在直角坐标系oy的第一象限有公共点时，求直线 的截距的取值范围。由图1知：当u + v = y经过点(0,、伍)时，ymin = V2 ； 当直线与圆相切时，儿 = 0 = POC = (、伍=2。 所以：值域为41 y 2.a + b + c(a.b.ce /?+) 求函数的最值，其題型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添 项和两边平方等技巧。例25.求函数y = (sin x + )2 + (cos x + )一 4的值域。 sinxcosx解：原函数变形为：y = (sin2 x

14、 + cos2 x) + + siir x cos x= + ces2x +sec2 x=3 +tan2 x + cot2 x 3 + 2/tan2 xcot2 x=5当且仅 tan x = cox. x即当x = k时伙e z)，等号成立4故原函数的值域为：5,+s)例26.求函数y = 2sinxsin2x的值域。解：y = 4sinxsinxcosx= 4sin2 xcosxy = 16sin4 xcos2 x=8sin2 xsin2 x(2-2sin2 x)0) 则x+3 = r+ 1f _1/11（1）当/0时，=777 = 当且仅当t二1,即兀=_ 1时取等号，所以o丄r + - _ 2t（2）当 t=0 时，y=0o综上所述，函数的值域为：o,注：先换元，后用不等式法例28.求函数y =l + x 2+F+x4的值域。1 + 2x2 + x4M：1-2x2+x4 x + x3V = ；7 +1 + 2jt + x4 1 + xi-x2 YX + x2(1 +疋X1 + x2=sin02 lJ. y = c