电动力学-静电场答案

1、编号 ：班级：学号 ：姓名：成绩：第 1 章 静电场1. 证明均匀介质内部的极化电荷体密度p ，总等于自由电荷体密度f 的（ 1 ）倍。( e 0 E)( 0 )E(0 )D(1 0 ) f精品2. 有一内外半径分别为 r1和r2 的空心介质球， 介质的介电常数为 ，使介质内 均匀带静止自由电荷 f ，求1）空间各点的电场；2）极化体电荷和极化面电荷分布。解 1）由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向故： rr1时24 r2 E( r )V dV 00或 E(r ) 0r1 rr2 时球壳体内：D nds24 r2D(r )r1f 4 r2drD(3fr1r1 3 ) rE

2、(r)D(r)fr30r1 31 ( r1 )3在rr2 的球形外：24 r2E(r )r2r1f4r 2dr430(r22r12)22E(r )2 (r22 r12 )3 0r 2 2 1式中 0 r 写在一起03 f0 1 ( rr1 )3 r(r r1 )(r1 r r2 )3 0r223 (r2 r1 )r(r r2 )精品2)PDE(0)3f 10( r1 )3 r内表面：pn (p2外表面：pn (p2与第一题相符)p1 ) r r1n ()E0r1f r13f0r110(r1 )3 0p1 )r r2n 00 )E rr2( 0 )302(1 r12 )r2精品满足：3. 证明：

3、当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折式中 1 和 2 分别为两介质的介电常数，1 和 2 分别为界面两侧电场线与法线tan 22tan 11的夹角。证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度0 ，故边值关系为：E2tE1t ,D2nD1n ( n (E2 E1 )0,n (D 2 D1 )f)若两种介质都是线性均匀的，即 D1 1E1， D2 2E2 ；1 E1 cos 1上边两式为 :E2 sin 2 E1 sin 1 ， 2E2 cos 2于是得：tan 22tan 11精品4. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体 外的电场线总是垂直于导体表面。证明

4、：设介质 1 为导体，介质 2为绝缘体。静电情况下： E1 0,D1 0由边值关系： n (E2 E1) 0,n (D2 D1 )可得： E2t E1t ,D2n D1n f即， E2t 0 ， D2nf对于各向同性线性介质 D E所以， E f n即导体外的电场线垂直于导体表面精品5. 如图 1，有一厚度为 2a ，电荷密度为 0的均匀带电无限大平板，试用分离变量法求空间电势的分布。解：以 O 原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性， 电势分布仅与 x 有关，即一维问题。容易写出定解问题：d2 idx2d2(xa)OxO图1idx2a时直接求解得i(x)(xa)0x2020a(2 x a )

5、精品6. 内半径 a ，外半径为 b 的两个同心导体球壳，令内球接地，外球带电量 Q，试用分离变量法求空间电势分布。解.根据球对称性，空间电势分布仅与 r 有关，定结问题为：(a rb)(rb)r=b 时4 0b(1a)r4Q0r(1ab)2 )ds Q r2r求解得精品7. 均匀外电场中 E 0 ，置入半径为 R0 的导体球。 求以下两种情况的电势分布。1）导体球上接有电池，使球保持电势为0 ；（ 2）导体球上带有总电荷 Q 。解 建立球坐标系 极轴方向为均匀电场方向， 可知电势分布具有轴对称性， 即电势仅与 r 有关1）的定解问题为20(r R0 )r R00E0r cos此时0是导体球放

6、入前，通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解为2）0 E0r cos的定解问题为200( 待定 ) Q ds r R0 n 0R0类似解为0 E0r cosQ4 0r0 )R0 E0R0 cosE0 R03 cos2r精品8. 介电常数为 的无限均匀介质中，挖一个半径为a 的空球，球心处置一电矩为 pf 的自由偶极子，试求空间电势分布。解 如图建立球坐标系， pf 的方向为极轴 ex方向 ,的定解问题为2i2e(r a)(r a)err=a 时， i注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性，i 可写为：pf cos4 0r 2 Anrn Bnr (n 1)Pn(cos )n0第二项为极

7、化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故Bn=0解的电势分布(0 r a)pf r(0) pf r4 0r3 2 0(20 )a33 pf r4 (20 )r 3精品9半径为 R 的均匀介质球中心置一自由偶极子p f ， 球外充满另一种介质，求空间各点的电势和极化电荷分布（介质球介电常数为1，球外为 2 ）。解：求解与上题类似，只需 0得1pf r2 1 2 pf r4 1r3 4 1 1 2 2 R03R03pf r4 1 2 2 r3R0极化电荷分布，在介质球内因此在球心处有一极化电偶极矩 ppf，在rR0 的界面上，由 pn p2 p1可得21p2 0 10rr r R0，p0123 0

8、 1 2 pf cos0rr r R02 1 1 2 2 R03精品10. 两个接地的无限大导电平面，其夹角为 60 ，点电荷 Q 位于这个两面角的 平面上，并与棱边（两面角之交线）相距为 。试用电像法求真空中的电势。解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷 Q 位于双面角的平分线上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大小：平面的电势为零， 应在 Q 关于 ON 对（1）首先考虑半面 ON ，为了满足 ON 称的位置 B 处有一像电荷 -Q, （2）考虑半面 ON ，同样为了满足电势 为零的要求，对于 A、 B 处两个点电荷 +Q和-Q，应在 A、B关于 ON对称的位 置 C、 D 处有两

9、个 -Q、 +Q， （3）再考虑 ON 半平面， 对于 C、D 处 的-Q和+Q，应在 E、F处有两个像电荷 +Q 和-Q才能使导体 ON 的电势为零。 可以证明 E、F处的两个点电荷 +Q和-Q 关于 ON 平面对称，因而可满足 ON 平面的电势为零， 这样找出了 5 个像电荷， 加上原来给定的点电荷， 能够使角 域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点 P 处的电势可表为1 QQQQQQx，4 0 r1r2r3r4r5r6其中 r1,r2 , ,r6分别为给定电荷 Q 及其像电荷到 P点的距离。在其余空间的电势为0 。精品11. 接地空心导体球，内外半径为 R1和 R2 ，球内离球

10、心 a 处（ a R1）置一点电荷 Q ，试用电像法求空间电势分布。导体上感应电荷分布在内表面还是外表面？其量为多少？若导体球壳不接地而是带电量Q0 ，则电势分布又如BQ40其中 r R22a 2Racos12,r22R b 2Rbcos12由边界条件R R1 0何？若导体球壳具有确定的电势0 ，电势分布如何？解：根据题意设球内区域电势为 1 ，球外区域电势为 2，x a,y,z201R R12R R2 0rr精品Q2 R12 b2 2 R1b cosQ 2 R12 a2 2 R1a cos精品Q2 R12 b2 Q2 R12 b2 2R1 Q2b Q2a cos要使上式对任意 成立，必有Q2

11、 R12 b2 Q 2 R12 b2 01 2 2 1（*）2R1 Q2b Q 2a 02 b 2 2 2b2a2 R12 R12 0aR2解得 b11 ,b2 a ，（舍去）a代入（ *），得 Q11 Q， Q21 Qaaa由上可知，b R1 ,Q,R1 Qa1 Q Q0 ，2，4 0 R21QQR1 / a2 2 1 2 R2 a2 2RacosR2R12 / a22RR12 / a cos121 Q Q04 0 R2若使有确定 0 ，且两种情况有相同解1 Q Q04 0 R21Q4 0 R2 a2 2RacosQR1 / aR14 2R12R2 cos aa由边界条件所以，外表面感应电荷

12、面密度R R20，内表面感应电荷面密度R R1R1 R12R12 a22a2R1a cos32精品总感应电荷 Q感应2ds Q ，(可见全部在内表面上)s12. 四个点电荷，两个 q，两个 q ，分别处于边长为 a 的正方形的四个顶 点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。解：该系统电荷分布为分立分布，在如图坐标系中位置为q(0,0,0)， -q(a,0,0)，-q(0,a,0)， q(0,0,a)的精确到四 极矩 情况下 ，可求得远处的电 势分布 为qa2 3xy54 0 r 5精品13. 求面电荷密度按 0 cos 分布，半径为 a 的球的电矩。问该系统是否 存在电四极矩？解： p x

13、 xdvx在y对称， pxxdvxds 0 ，py ydvyds 043pzzdv 3 a 0343所以， Pa3 0 ez3 0 z电荷系统对于 z轴对称电四极矩非对角分量为 0，且只有一个独立对角 分量Dzzz 2 2 3z a adv0z 3z2 a2 ds 0 aDxxDyy12Dzz0精品q/r14. 设真空中电场的势为(r a)qr2 /(2a3) 3q /( 2a) (r a)式中 r 是离坐标原点的距离，a和 q是常数，求相应的电荷分布。解：20，r a 时，2qrr a 时，qr2 / 2a3 3q/ 2a0 3q 0 / a30 (r a)3q 0 / a3 (r a)精品15. 在一点电荷 q 的电场中，距离它为 d 的地方有一偶极子，其电矩 p ql ， 求在下列两种情况下，此电矩所受的力 F 和力矩 L ：1)偶极子的电矩