关系与映射学习指导重点

1、关系与映射学习指导学习目标理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，理 解有关定理，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。内容提要(一)笛卡尔积：AX B =( a,b) | a A, b B，注意(a,b)为有次序的元素偶从集合A到B中的关系：AX B中的每一子集R称为从A到B中的关系若(a,b) R,则称a与b是R-相关的，记作aRb.关系R的定义域：Dom(R)= a丨存在b B，使aRb( A).关系R的值域：Ran(R)= b丨存在a A，使aRb(二B).关系R的象集：R( A)= b丨存在a A，使得aRb( B).其中集合A A.关系R的

2、逆： 设R二A X B,则B X A的子集R=(b,a) | aRb称为R的逆.关系的复合：S R =( a,c) | 存在 b B,使得 aRb, bSc，其中 R AX B, S BX C. 设A, B, C, D为集合；R AX B, S B X C, T C X D，则有关系的逆与复合运算满 足：(1) (R)=R;(2) (S R) d=RJ S ；(3) T (S R)=( T S) R.(二) 映射： F : XtY,即- x X,有唯一 y Y,使得xFy. 映射F的象：y=F(x)，即对于每一 x X,使得xFy成立的y.映射F的原象： F (y)，即对于y Y,使得xFy成

3、立的x(x X).映射的复合： (G F)( x)=G(F(x)，其中 F : XtY, G : Yt乙 满射： 若f(X)=Y,则称f为从X到丫上的满射.单射： 若一花，X2 X, X!丰X2，有f(花)丰f( X2 )，则称f为从X到丫上的单射. 双射： 若f即是单射又是满射的.逆映射：由y=f(x)确定的从Y到X的映射f二:YtX，其中f : Xt Y是双射.注论1:设f : XtY, A, B Y,则逆映射f，满足(1) fJ(A U B)= f J(A)Uf J(B);(2) f(A A B)= f J(A)nf，(B);(3) fJ(A-B)= f (A)-f4(B).结论2：设f

4、 : Xt y!(1) 若f是单射，则对于X的任意子集A，有f (f(A)= A.(2) 若f是满射，则对于丫的任意子集B，有f( f ( B)= B.(三) 运算运算： 映射f： AX BtC是一个从A X B到C中的运算.特别的，映射f: AX AtA是A上 的一个运算，并且称运算f在A上封闭.若f(a, b)=f(b, a),则称运算f满足交换律；若f(f(a, b), c)=f(a,f( b, c),则称运算f满 足结合律.f 的右零元 e：V a A,使f( a, e)= a;f 的左零元 e：- a A,使f( e, a)= a;f的零元e：既是f的左零元，又是f的右零元.a的右逆

5、元a :对于a A，若T a A，使f( a, a )=e；a的左逆元a :对于a A，若 a A，使f( a , a)=e；a的逆元a :既是a的左逆元，又是a的右逆元.重难点解析(二)关于关系与映射世界上存在各种各样的事物，这些事物之间的相互联系，我们称之为“关系”.本节用统一的数学语言来描述这些表面看起来似乎无关的，但本质上却有其共性的“关系”.本节介绍的二元关系、运算和映射等概念也是本课程的基础，它们在后续各章节中都有应用.因此，我们在学习本节内容时应该理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满 射、单射、双射等概念，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。1 笛卡尔积

6、是一种集合的二元运算，是本节最基本的概念之一.集合A与B的笛卡尔积A B = ( a , b) | a：=A , b ：= B 是一个集合，这个集合的元素都是一些有序对，这些有序对中的第一个成员都是取自集合 A，第二个成员都是取自集合 B,不能随意取出写之.集合A, B的笛卡尔积与这两个集合的次序有关.一般地，若A与 B非空，只要A丰B,则有AX BM BX A.也就是说交换律不成立.例如，集合 A= a, b, c , B=1,2，则A B=a, b, c 1,2 = ( a , 1), (a , 2), (b , 1), (b , 2), (c , 1), (c , 2)A B= 1,2a

7、, b, c = (1 , a), (1 , b), (1 , c), (2 , a), (2 , b), (2 , c)所以 A X BM B X A.2.二元关系R是一个有序对组成的集合.因此，一个二元关系是一个集合，可以用集合形式表示.但是任意一个集合就不一定是一个二元关系了，只有当这个集合是由有序对组成的，才能称为二元关系.例如，R1 =( a, 1), (b, 2), R2 = a, (b, 2)，那么R1是二元关系，而R2不是二元关系, 仅仅是一个集合二元关系R也可以用关系图表示.设集合A = a1 , a2 ,，am , B= b1 , b2 ,，bn , 若R是从A到B的一个关

8、系，则用m空心点表示a1 , a2 ,，am，用n空心点表示b1 , b2 ,ai到结点bj作一条有向弧，箭头指bn ,这些空心点统称为 结点.如果ai Rbj，那么由结点向bj ；如果佝，bj) R，那么结点ai与bj之间没有 弧连结，这样的图形称为R的关系图.若R是A上一个关系，如果ai Raj (i =j)，有向弧的画法与上面相同；如果 ai Rai，则画一条从结点 ai到结点ai 的带箭头的封闭弧，称为自回路例如，集合 A=1 , 2, 3, 4上的关系 R =(1 , 1) , (1 , 2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,2)，则 R 的关系图如图 1-6 所示

9、.3 关系R的定义域是指 R中有序对的第一元素所允许选取对象的集合，关系R的值域是指R中有序对的第二元素所允许选取对象的集合.例如，集合 A= a, b, c , B=1,2, 3,从A到B的关系R = (a , 2), (b , 1), (b , 3)那么，Dom(R) = a, b , Ran(R) = 1,2, 3.4.在映射的定义(定义2.5)中，条件“如果 x X,有唯一 y Y ,使得xFy , ”表示映 射是单值的，也就是说，定义域中的任意一个x与值域中唯一的y有关系，所以用y =F(x)表示.另外，该条件还指出，集合 X就是映射F的定义域，即Dom(F) =X .因此，从集合X

10、到Y的映射F是一个二元关系，但是从 X到丫的二元关系R不一定是一个映 射.例如，实数集R上的二元关系f =(a, b)a =b2不是映射，因为(4,-2)，f, (4, 2)，f，不满 足映射的单值性.由此可知，若映射F是双射，则存在逆映射F A ;若映射F不是双射，则不存在逆映射F , 或者说F 4不是映射.3对于从集合X到Z中复合关系G F，因为F是从X到丫的映射，G是从丫到Z的映射，由映射 的定义可知，映射F的值域是映射G的定义域的子集，即 Ran(F) Dom(G)，它保证了复合 映射G F是非空的.典型例题解析例 1 设集合 A= 1,2, 3, 4上的二元关系 R= (1, 1),

11、 (1,2), (2, 4), (3, 1), (3, 3),S= (1,3),(2, 2), (3, 2), (4, 4)，用定义求 S R,R S,R2,Rj,1,Sj Rj.思路求复合关系S R，就是要分别将 R中有序对(a, b)的第2个元素b与S中的每 个有序对(c, d)的第1个元素进行比较，若它们相同(即b=c),则可组成S R中的1个元素 (a, d)，否则不能.幕关系的求法与复合关系类似1求关系R的逆关系，只要把 R中的每个有序对的两个元素交换位置，就能得到R中的所有有序对解 S R= (1, 1), (1,2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)(1,3), (

12、2, 2), (3, 2), (4, 4)=(1,3), (1,2), (2, 4), (3, 3), (3, 2)R S=(1,3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)(1, 1), (1,2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)=(1, 1), (1,3), (2, 4), (3, 4)2R =R R = (1, 1), (1,2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)(1, 1), (1,2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)=(1, 1), (1,2), (1,4), (3, 1), (3, 2), (3, 3)1 1R =(1, 1),

13、 (1,2), (2, 4), (3, 1), (3, 3) =(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2)1 1S =(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4) =(2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4)1 1S R =(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2)(2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4)=(1, 1), (3, 1), (4, 2), (4, 3)注：由例1可知，关系的复合运算不满足交换率，即 SR S.例2对于以下给定的集合A、B和关系f，判断是否构成映

14、射f： A B.如果是，试说明f： A B是否为单射、满射或双射的(1) A=1,2, 3,4, 5，B=6,7,8, 9,10，f =(1,8),(3,9),(4,10),(2,6), (5, 9)；(2) A=1,2, 3,4, 5，B=6,7,8, 9,10，f =(1,7),(2,6),(4,5), (1,9), (5,10)；(3) A=1,2, 3,4, 5，B=6,7,8, 9,10，f =(1,8),(3,10), (2, 6),(4,9)(4) A=B=R，f (x) =x，(一XR)；1(5) A=B=R， f(X)2，(一x R)；X +1思路首先按照1.2节的定义2.5

15、，判断A、B和f是否构成映射，即判断f是否具有单值性以及Dom(f )是否等于A.然后再按照定义2.6，说明f： A B具有的性质.解(1)因为 Dom(f ) = A，且对任意A( i=1,2, 3, 4, 5)，都有唯一的 j B，使(i, j ) f . 所以A、B和f能构成函数f： A B.因为存在3, 5, A，且3=5,但映射f (3)= f (5) = 9，所以f： A B不是单射的； 又因为集合B中的元素7不属于f的值域，即f (A) = B，所以f: A B不是满射的.(2)因为对 V A，存在7, 9 B，有f (1)= 7，f (1)= 9，即f不满足映射定义的单值性f

16、(x),/321丿、-3 -2 -K123/-1-厂A B.所以A、B图 1-12条件.所以A、B和f不能构成映射f：B.(3) 因为 Domf =1,2, 3, 4 -A， 和f不能构成映射f： A B.x3 R，使(4) 因为对* R，都有唯一的(x, x3)f .所以A、B和f能构成映射f： A； 由图1-12可知，f： A- B，f (x)= x3是双射的.(5)因为对-XR，都有唯一的x211 使(x,p-)X 1 f: A B.所以A、B和f能构成映射因为该映射在X= 0处，f (-x)= f (x)，且f (R) -R，所以映射f: A； B不是单射的，也不是满射的例 3 证明：

17、若 f: X； Y, A，B 二丫，贝U f J(A- B) = f(A)- f J (B) 证明；-x f J(A- B), y (A- B)，即 y A但 B,使得 y = f (x), 从而有 x f J(A)但 x f J(B)，故 x ( f J(A)- f J (B).1 11f (A-B)二 f (A) - f (B).又 x ( f(A)- f J(B)，由于 x f(A )但 x f J(B)，从而 f (x) A 但 f (x)_ B,即 f (x)(A- B),故 x f(A- B).f J(A)-1 1f (B)二 f (A- B)1f(A- B)=1 1=f (A)-

18、 f (B).因此,例4设有映射f:A A.若 a A, f(a)=a,则称映射f是恒等映射，表示为I a设有两个映射f：A B, g: B A.若g f = IA ,则f是单射，g是满射.证明(1)证明映射f是单射.对任意的 b - B，如果存在 a1, a2 A，使 f (a” = b, f (a2)= b，即 f (a” = b = f (a2). 因为 a1= I A(a1)=(g f )(a1)= g(f )=g(f (a2) =(g f )(a2) = I a(a2)= a2 .所以f是单射的.证明映射g是满射.因为(g f )(A)= I a(A)= A,所以g f是满射的.a A，使(g f )(a) = c.又对任意的c A，由g f是满射