倾斜椭圆柱管中流体的Poiseuille公式解析

1、倾斜椭圆柱管中流体的Poiseuille 公式【摘要】应用Newton粘滞力定律和Bernoulli方程推导倾斜椭圆柱管中流体的Poiseuille 公式。【关键词】Poiseuille 定律 Newton粘滞力定律Bernoulli 方程The Fluid Poiseuille s for Rmula in Elliptic Cylindrical ofIn cli nati onKey words the poiseuille s formula; newton law; bernoulli sequati on一般文献都只讲述水平圆管流体的Poiseuille 定律，但实际应用中，不仅研

2、究圆柱管且水平置放的情况，而且也会出现非圆柱管和非水平的情况。本研 究推证倾斜椭圆柱管中流体的 Poiseuille定律的公式。1公式的推导设流体在倾斜椭圆柱管中作稳定层流，如图1所示椭圆柱管截面方程为：x2a2 y2b2=1(1)在广义柱坐标下 x=ar cos y=br sin (0 r b,0 W2 n )(2)易算得椭圆环r-r dr 的面积:ds=a cos -ar sin b sin br cos dr JF(Z2 n 0d JF) =2 n brdr(3)由 Bernoulli 方程 12 p V2 p p hg=C可知，因为是稳定流动V t=0,第一项为零。第二项是流体的合压强

3、,在此，其一是作用在椭圆环r-r dr 上的合压力，为：F= (p1-p2)ds=2 n ab(p1-p2)rdr(5)其二是流体的粘滞力，为:df=- n ldsdV(r)dn(6)式（6）中，ds为椭圆柱流管的侧面积元，在广义柱坐标下，其值为：ds=1 dydx2dx=a2 sin2 b2 cos2 rd (7)式(6)中，dV(r)dn为速度梯度，在广义柱坐标下，其值为:dV(r)dnr=-|V (r； 艮 i 心) 丫 上一=aba2 sin2 b2 cos2 ( cos2 a2 sin2 b2) dV(r)drr(8)将式(7)和式(8)代入式(6)，算得粘滞力为：df=- n la

4、b( cos2 a2 sin2 b2) dV(r)drrd (9)积分式(9),算得椭圆柱流层r-r dr的内侧面的粘滞力为：f内=-n ablr dV(r)drrJF(Z2n 0( cos2 a2 sin2 b2) d JF)=-n n la2b2ab r dV(r)drr(10)在式(10)中作变量置换r f占，即得流层r-r dr外侧面的粘滞力为：f 外二 n n l a2 b2ab(r dr) dV(r)drr dr(11)再将式(11)与式(10)相减，注意 df(x)=f (x)dx, rdV(r)drr是原函数，(r dr)dV(r)drr dr 是自变量为r dr时函数，于是得

5、：f内-f夕卜 =n n la2 b2ab r (r dr)dV(r)drr dr-r dV(r)drr=n n la2 b2ab d rdV(r)dr(12)式（4）中第三项是椭圆管倾斜，流体作用在椭圆环r-r dr 上的重力，为：F1= p g（h1-h2）ds=2 n ab p g（h1-h2）rdr（13）将式（5）、式（12）和式（13）代如式（4）中，移项整理，有：d r dV(r)dr=-2a2b2 (p1-p2) p g(h1-h2) n l(a2 b2) rdr(14) 积分式(14) 次，有：r dV(r)dr=-a2b2 (p1-p2) p g(h1-h2) n l(a2

6、 b2) r2 C1(15)代入速度梯度在轴线上为零的条件，即dV(rk.rr 二，知C仁Q将式(15)再积分一次，有：V (r)=-a2b2 (p1-p2) p g(h1-h2) 2n l(a2 b2) r2C2(16)代入流速V (r)在管壁处为零的边界条件，即V (r) r=1=0，有:C2=a2b2(p1-p2) p g(h1-h2) 2n l(a2 b2)(17)将式(17)代入式(16)，最后得流速公式为：V (r)=a2b2 (p1-p2)p g(h1-h2) 2n l(a2 b2) (1-r2)(18)将式(18)代入流量计算公式，有： =a3b3(p1-p2) p g(h1-

7、h2) 2n l(a2 b2)JF(Z10(1-r2)rdrJF)JF(Z2n 0d JF)=n a3b3 (p1-p2) p g(h1-h2) 4n l(a2 b2)(19)上式就是所求的倾斜椭圆柱管中流体的Poiseuille 定律的公式。2讨论2.1在圆柱管倾斜的情况下，这时a=b，则式(19)为：Q=n (p1-p2) p g(h1-h2) 8n l a4(20)式中a为圆柱管的半径。这与文献1的公式(6) 致2.2当椭圆柱管水平放置时，即h1=h2,则式(19)为：Q=n (p1-p2)4 n l ( a3b3a2 b2)(21)这与文献2的公式(19) 一致2.3当倾斜椭圆柱管为圆

8、柱管且水平放置时，即a=b,h1=h2，则式(19)为：Q=n (p1-p2)8 n I a4(22)这与文献 3的公式( 5-6 )一致。2.4设椭圆柱管竖直放置时，这时 h2-h1=l , p1-p20,则式(19)为：Q=n a3b3 p g4n ( a2 b2)(23)再设已知液体的密度为p 0,粘滞系数为n 0,滴定时间为to,而被 测液体的密度为p，粘滞系数为n，滴定时间为t，于是由式(23)分别得到 已知液体的流量V0和被测液体的流量分别为：V0=n g a3b34 ( a2 b2) p OtO n 0, V= n g a3b34 ( a2 b2) p t n (24)式( 24)中的两式相除有： n =p t p 0t0 n 0(25)这正是用奥氏或乌氏粘度计测定液体粘滞系数的公式。这告知，被测粘滞系数的实验中，用什么形状的截面管都不影响实际结果。【参考文献】1 秦任甲 . 泊肃叶公式在非水平管中的形式及其在粘滞系