计算方法复习题

1、计算方法复习题计算方法复习题一 选 择(每题 3 分，合计 42 分)1. x* 1.732050808 ，取 x1.7320 ， 则 x 具有位有效数字。A、3 B 、4 C 、5 D 、62. 取 3 1.73 (三位有效数字) ，则3 1.73 。A、 0.5 10 3 B 、 0.5 10 2 C 、 0.5 10 1 D 、 0.53. 下面 不是数值计算应 注意的问题。A、注意简化计算步骤， 减少运算次数 B 要避免相近两数相减C、要防止大数吃掉小数D 、要尽量消灭误差4. 对任意初始向量 x(0)及常向量 g ，迭代 过程x(k 1) Bx(k) g收敛的充分必要条件A、B1 1

2、 B 、B 1 C 、 (B) 1 D 、B 2 15. 用列主元消去法解线性方程组， 消元的第k步，选列主元 ar(kk 1) ，使得 ar(kk 1)m1 aj xnA、a(kjk 1)m1 iaxnai(kk 1)B、maxkinai(kk 1)C、ak(jk 1)D、6. 设 ?(x)= 5x3 3x2x6，取 x1=0， x2=0.3 ，x3=0.6 ，x4=0.8 ，在这些点上 关于 ?(x) 的插值多项式为 P3(x) ，则 ?(0. 9)- P3(0.9) =。A、0 B 、0.001 C 、0.002 D 、0.0037. 用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根， 把方程

3、f (x)=0 转化为 x= (x), 则 f(x)=0 的根是：。B、 y=xA、y=x 与 y= (x) 的交点 与 y= (x) 交点的横坐标C 、 y=x 与 x 轴的交点的横坐标 Dy= (x)与 x轴交点的横坐标8. 已知 x02，f ( x0)=46 ，x14，f ( x1)=88 ，则一阶差商 f x0, x 1为A、7 B 、20 C 、 21 D 、42649. 已知等距节点的插值型求积公式 f x dx Ak f xk ，那么3 k 04Ak _ _ 。k0A、0 B 、2 C 、3 D 、910. 用高斯消去法解线性方程组，消元 过程中要求 _ _ 。A、aij 0 B

4、 、 a1(10) 0 C 、 a(kkk) 0 D 、 a(kkk 1) 011. 如果对不超过 m次的多项式，求积 公式 a f (x)dx Ak f(xk) 精确成立，则该求积 a k 0公式具有 次代数精度。A、至少 m B 、 m C 、不足 m D 、多于 m12. 计算积分 12 1xdx，用梯形公式计算求得 1x的值为 。A、0.75 B 、1 C 、1.5 D 、 2.513. 割线法是通过曲线上的点(xk 1, f (xk 1),(xk, f(xk) 的直线与交点的横坐标作为方程 f (x) 0的近似根。A、y 轴 B 、x 轴 C 、 y x D 、 y (x)14. 由

5、 4 个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是 。A、 2 次 B 、3 次 C 、4 次 D 、5 次二、 计 算(共 58 分)1. 将方程 x3 x2 1 0 写成以下两种不同的等价形式： x 1 x12 ； x x1 1试在区间 1.40,1.55 上判断以上两种格式迭代 函数的收敛性。(8 分)2. 设方程 f(x)=0 在区间 0 ，1 上有惟一实根， 如果用二分法求该方程的近似根， 试分析至少 需要二分几次才能使绝对误差限为 0.001 。(8 分)3. 用复化梯形公式、 复化辛卜生公式分别计算积分 011 4x2 dx的近似值，要求总共选取（10 分）9 个节点241014

6、. 用列主元高斯消去法解下列方程组：8分）5. 给定线性方程组x1 2x2 3x3 14, (1) 2x1 5x2 2x3 18, (2) 3x1 x2 5x3 20, (3)写出雅可比迭代公式与高斯 - 赛德尔迭代公式(8分)6. 已知函数 y=f(x) 的观察数据为xk2045yk5131试构造三次拉格朗日插值多项式 Pn (x) (8 分)7.dy y 2x dx y y(0) 1在区间0, 0.8 上，取 h = 0.1 ，用改进 欧拉法求解初值问题。 要求计算过程至少保留小 数点后 4 位数字。（8 分）10计算方法答 案1. x* 1.732050808 ，取 x1.7320 ，

7、则 x 具有 B 位有效数字。A、3 B 、4 C 、5 D 、62. 取 3 1.73 (三位有效数字) ，则 3 1.73 B 。A、 0.5 10 3 B 、 0.5 10 2 C 、 0.5 10 1 D 、 0.53. 下面_ D _ 不是数值计算应注意的问 题。A、注意简化计算步骤， 减少运算次数 B 要避免相近两数相减C、要防止大数吃掉小数D 、要尽量消灭误差4. 对任意初始向量 x(0)及常向量 g ，迭代 过程 x(k 1) Bx(k) g收敛的充分必要条件是 _C_。11A、B1 1 B 、B 1 C 、 (B) 1 D 、B 2 15. 用列主元消去法解线性方程组， 消元

8、的第k步，选列主元 ar(kk 1) ，使得 ar(kk 1)A、a(kjk 1)m1 iaxnai(kk 1)B、mk ai xnai(kk 1)C、max k j nak(jk 1)6. 设 ?(x)= 5x3 3x2x6，取 x1=0， x2=0.3 ，x3=0.6 ，x4=0.8 ，在这些点上 关于 ?(x) 的插值多项式为 P3(x) ，则 ?(0. 9)- P3(0.9) =A。A、0 B 、0.001 C 、0.002 D 、0.0037. 用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根， 把方程 f (x)=0 转化为 x= (x), 则 f(x)=0 的根是： B 。A、y=x 与

9、 y= (x) 的交点B、y=x与 y= (x) 交点的横坐标C 、y=x 与 x 轴的交点的横坐标 D 、 y= (x)与 x轴交点的横坐标128. 已知 x02，f ( x0)=46 ，x14，f ( x1)=88 ， 则一阶差商 f x0, x 1为 C 。A、7 B 、20 C 、 21 D 、42649. 已知等距节点的插值型求积公式 f x dx Ak f xk ，那么3k04Ak _C_。k0A、0 B 、2 C 、3 D 、910. 用高斯消去法解线性方程组，消元 过程中要求 _C_。A、aij 0 B 、 a1(10) 0 C 、 a(kkk) 0 D 、 a(kkk 1)

10、011. 如果对不超过 m次的多项式，求积 公式 a f (x)dx Ak f(xk) 精确成立，则该求积a k 0公式具有 A 次代数精度。A、至少 m B 、 m C 、不足 m D 、多于 m12. 计算积分 12 1xdx，用梯形公式计算求得1x的值为 A 。A、0.75 B 、1 C 、1.5 D 、 2.51313. 割线法是通过曲线上的点 (xk1,f(xk1),(xk, f (xk )的直线与 B 交点的 横坐标作为方程 f (x) 0的近似根。A、y 轴 B 、x 轴 C 、 y x D 、 y (x)14. 由 4 个互异的数据点所构造的插值 多项式的次数至多是 _B_。A

11、、 2 次 B 、3 次 C 、4 次 D 、5 次计算1. 将方程 x3 x2 1 0 写成以下两种不同的等价形 式： x 1 x12 ； x x1 1试在区间 1.40,1.55 上判断以上两种格式迭代 函数的收敛性。(8 分)解：令 1(x) 1 x12，则 1(x) x23，| 1(x)| 1(1.40)| 0.73 1；又 (x) (1.55), (1.40) 1.42,1.51 1.40,1.55 ， 故由定理 2.1 知，对 任意 x0 1.40,1.55 ，迭代格式收敛；令 2(x) 1 ，则 2(x)1 3 ，| 2(x)| 2 (1.55) | 1.23 1，故由x 1 2

12、 (x 1)314定理 2.2 知，对任意 x0 1.40,1.55 ，且 x0 x* ，迭代格式 发散。2. 设方程 f（x）=0 在区间0 ，1上有惟一实根， 如果用二分法求该方程的近似根， 试分析至少 需要二分几次才能使绝对误差限为 0.001 。（8 分）解：设方程的精确解为 x ，任取近似根 x an,bn（ 有 根区间 ） 0,1 ，2n1bnan12n 10.0011 ln 0.001 ,n0.001 ln 21 8.97所以至少要二分 9 次，才能保证近似根的绝 对误差限是 0.001 3. 用复化梯形公式、 复化辛卜生公式分别计算积分 01 4 2 dx 的近似值，要求总共选

13、取 9 个节点。 0 1 x2（10 分）解：要选取 9 个节点应用复化梯形公式， 则需15将积分区间 0, 1 作 8 等分，即n 8, h 180 0.125， xi a ih 0.125h(0 i 8)设 f x 4 2 ，则积分 01 4 2dx 的复化梯形公1 x20 1 x2式为：1 4hn 10 4 2 dx h f (x0) 2 f (xi) f (xn)0 1 x2i 10.125 f(x0) 2 f (xi) f(x8) 2 i 1h1 1 0 0.25 ，14若选取 9 个节点应用复化辛卜生公式，则xi a ih1 0.25h1 ( 0 i 4 )积分 01 4 2dx

14、的复化辛卜生公式为：0 1 x21 4hn 1 n10 4 2 dx h1 f (x0) 4 f(xk 1) 2 f (xk) f(xn)01 x6k 0 k 2 k 10.25 3 30.25 f(x0) 4 f (xk 1) 2 f(xk) f(xn)6 k 0 k 2 k 1将所用到的 xi 与相应的 f xi ，以及 f xi 的梯形 加权系数 Ti 、f xi 的辛卜生加权系数 Si全部列 于下表，得：xif (xi)TiSi04110.1253.93824164620.2503.764706220.3753.506849240.5003.2220.6252.876404240.75

15、02.56220.8752.265487241211那么由复化梯形公式求得1 40.12570 4 2 dx 0.125 f (x0) 2 f(xi) f(x8)01 x 2i 13.138989由复化辛卜生公式求得011 4x20.253 3dx 0.25 f(x0) 4 f (xk 1) 2 f(xk) f (xn)6k0k 2 k13.1415934. 用列主元高斯消去法解下列方程组：3 x110 x21 x312543 0.1178分）解：12315410 054100541001.2112.55230.1122.5521.4 1.96再用“回代过程”可计算解：x3 1.96/( 1.

16、4) 1.4x2 2 5 ( 1.4) /( 2.5) 2x1 4 2 10 ( 1.4) / 5 1.25. 给定线性方程组x1 2x2 3x3 14, (1)2x1 5x2 2x3 18, (2)3x1 x2 5x3 20, (3)写出雅可比迭代公式与高斯 - 赛德尔迭代公式 (8分) 解：写出用雅可比迭代法解该方程组的迭代公式 为( k 1)(k ) (k)x114 2x2 3x3 , (1)x2(k 1) 1(18 2x1(k) 2x3(k) ), (2)5x3(k 1) 51(20 3x1(k) x2(k), (3)用高斯 - 赛德尔迭代法解该方程组的迭代公式。18(k 1) (k)

17、 (k)x1(k 1) 14 2x2(k) 3x3(k),(1)(k 1) 1 (k 1) (k)x2(18 2x12x3 ), (2)5(k 1) 1 (k 1) (k 1)x3(20 3x1x2 ), (3)3 5 1 26. 已知函数 y=f ( x)的观察数据为xk2045yk5131试构造三次拉格朗日插值多项式 Pn (x)(8 分) 解：先构造基函数l (x) x(x )(x ) x(x )(x )( )( )( )l (x) (x )(x )(x ) (x )(x )(x ) l (x) ( ( )( )( )l (x) (x )x(x ) x(x )(x )l (x) ( )( )( )(x 2)x(x 4)35(x 2)x(x 4)(5 2)(5 0)(5 4)所求三次多项式为 P3(x)= n yklk(x)k0 x(x )(x ) (x )(x )(x ) ()x(x )(x ) (x )x(x )19dy2xy7. dxy