二阶非齐次线性微分方程的解法.

1、目 录待定系数法常数变异法幕级数法特征根法升阶法降阶法关键词：微分方程，特解，通解，二阶齐次线性微分方程常系数微分方程 待定系数法d xdx解决常系数齐次线性微分方程L l-_d7 ai dt a20,（1）这里ai a是常数. 2特征方程 F（）二 y 比=o（1.1）（1）特征根是单根的情形设，12,，n是特征方程的（1.1）的2个彼此不相等的根，则相应的方程（1）有如下2个解：e1t,e2t（1.2）如果人（iR，2）均为实数，则（12）是方程（1）的2个线性无关的实值解，而方程（1）的通解可表示为x =Ge +c2ebt如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设是一

2、特征根，贝厂一7也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程（1）有两 个复值解e（训）t =e（cos 卩 t + isin Pt）,e_J）t =e：t（cos ： ti sin ：t）.它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根 丸皿，我们可求得方程（1）的两个实值解ecos t,etsin ：t.（2）特征根有重跟的情形2k 1若1 =0特征方程的k重零根，对应于方程（1）的k个线性无关的解1,t,t t 若这个k重零根厂0设特征根为 t2,，m，其重数为k1, k2,k m(k1k2km = 2)。方程(1)的解为e 沖11e 卉 t1 ette 也t t k2

3、e 述；“ cmttemt tkme mt 对于特征方程有复重根的情况，譬如假设是k重特征根，则=: 也是k重特征根，可以得到方程（1）的2k个实值解e t cos ：t,te cos 1t,t2e t cos : t, ,tk_let cos : t, e J sin t,te sin 1t,t2et si n ：t, fes in ：t.d2x2 X = 0例1求方程dt的通解。解特征方程2 -1 = 的根为1 二1, 2 二一1有两个实根，均是单根，故方程的通解为x =詔 c2e4这里56是任意常数例2求解方程d2xdt2x = 的通解解特征方程 为有两个复根，均是单根，故方程的通解x

4、y si nt c2 cost,这里C1，C2是任意常数某些变系数线性齐次微分方程的解法(一)化为常系数1.在自变量变换下，可化为常系数的方程一类典型的方程是欧拉方程x2 dy a1xa2 0(2)dxdx这里ai,a2为常数，它的特点是y的k阶导数(k=0,1,2,规定y(0) =y)的系数是x的k 次方乘以常数.我们想找一个变换，使方程(2)的线性及齐次性保持不变，且把变系数化为常系数。根据方程x本身的特点，我们选取自变量的变换 x(t)，并取：:(t) 即 变换x 二 d(t = In x) (2.1)就可以达到上述目的(这里设x 0，当X：0时，取x = -e，以后为确定起见，认为x

5、0)事实上，因为dy dy dt dx dt dx_t dy=e 一dt2 2d y ddy、dt 亠 d y dx2 dt dt dxdx2代入方程，则原方程变为 豊 1 -1)号 a?y =o (2.2)dtdt方程(2.2)常系数二阶线性微分方程，由上可求得方程的通解。再变换(2.1)代回原来的变量，就得到原方程(2)的通解。求方程2器5xd 4y = 0dx的通解解 此方程为欧拉方程，令x二et，则由(2.2)知，原方程化为d2ydt4dy 4八。 dt(2.3)其特征方程为特征根为= -2，故方程(23)的通解为y =G c2t)e 换回原自变量x，则原方程的通解为2y 二(q c2

6、1 n x) x 2.在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程 现在考虑二阶变异系数线性方程d2ydyypR(x)子+P2(x)y =0(2.4)dxdx的系数函数P(x),P2(x)满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换y = a(x)z (2.5)化为常系数方程。这里a(x)是待定函数。为此，把(25)代入方程(24)，可得到a(x)z +2ax + R(x)a(x)z +a (x)+R(x)a (x)+P2(x)a(x)z=0 (2.6)欲使(2.6)为常系数线性齐次方程，必须选取a(x)使得z、z及z的系数均为常数。特别地，令z的系数为零，即2a +R(x)a =0可求得P(x)

7、dxa(x)二 e 2再代入(2.6)，整理之，得到(2.7), 1 2 1 z+P2(x) R (x) R(x)z=042由此可见，方程(2可经线性齐次变换1P1(x)dxy =e:z (2.8)化为关于z的不含一阶导数项的线性齐次方程(2.7)，且当z的系数1 2 1 l(x) m(x) -：R (x)-；P(x)42为常数时，方程肋为常系数方程。因方程(24)在形如(28)的变换下，函数I(x)的值不会改变，故称I(x)为方程(24)的不变式。因此，当不变式I(x)为常数时，方程(24)可经变换(28)化为常 系数线性齐次方程。2例求方程x y 2 1xy (x )y = 04 的通解解

8、这里R(x)1 1厂1 一获，因4)=1x故令2-xdx1y =e就可把原方程化为常系数方程可求得其通解为z 二 G cosx c2sin x代回原变量y，则得原来方程的通解为cosx 丄 sin xy yc2-xx(二)降阶的方法处理一般高阶微分方程的基本原则是降阶，即利用适当的变换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题。 体参考常微分方程的思想与方法，这里只讨论二阶的。d?xdx已知一r p(t) q(t)x=O- 0dtdt的一个特解，试求该方程的通解解 作变换x = xydt，则原方程可化为一阶线性微分方程Xidy2x；p(t)Xi y =0,dx -求解，得1-P（t）dty

9、 =CieXi所以原方程的通解为X = Xi C2 Ci I1 - P（t）dt2 e Xidt .法二设X2是方程的任一解，则有刘维尔公式得x1x2II%x2|P（t）dt二 ceC式0，亦即其中常数p（t）dtXjX2 _x, x2 二 ce1以积分因子Xi乘上式两端，就可推出积分上式可得到i -fp（t）dtx =为 + & 飞 e dtL xi例求方程xy 一 xy y = 0的通解解由观察知方程有一特解yi（x）二X，令y =xz则y =z xz,y =2z xz，代入方程，得x2z (2x -x2)z = 0再令z =u，得一阶线性齐次方程2 x u (2 -x)xu = 0从而可

10、得xxeeu = q 飞，z = qdx c2xx取G =1忌=0,便得原方程的另一解gXyx -dxx显然 解yi，y2线性无关，故方程的通解为gXy yxc2xRx x幕级数法d2 vdv考虑二阶线性微分方程dTpyw0及初值 y(xo) = yo 及y(xo) = y的情况可设一般性，可设xo=，否则，我们引进新变量，经此变换，方程的形式不变，但这时对应于X二X。的就是t0 了.因此总认为x.定理 若方程中的系数P(x)和q(x)都能展成X的幕级数，且收敛区间为xcR 则方程(1)有形如0-ny 7 anXn=0的特解，也以X R为级数的收敛区间定理若方程(1)中的系数P(x)和q(x)

11、都能展成X的幕级数，且收敛区间为xvR 则方程(1)有形如0 n y = “ anXn=0的特解，也以X R为级数的收敛区间2定理 若方程中的系数P(x)和q(x)具有这样的性质，即xp(x)和xq(x)都能展 成x的幕级数，且收敛区间为|XR,若a。/，贝卩方程(1)有形如Q0y =x 二 anXn (1.1)n=0的特解,-是一个待定的常数.级数 1)也以为级数的收敛区间.例求方程y-2xy -4y=0的满足初值条件y()=0及丫()胡的解解设y=a0 ax a2x2 亠 亠 anxn (1.2)为方程的解利用初值条件，可以得到ao = 0, ai = 1,因而y 二 x a2x2 -an

12、xn2n 1y =1 2a2x 3a3x nanxy = 2a2 3 ：2a3x 亠 亠 n(n -1)anxn将y,y, y的表达式代入原方程，合并x的同次幕的项，并令各项系数等于零，得到a2 二 03 = 1月4 二 0,an因而1111a5,比=0, a?, a = 0, a9 ：2!63!4!最后得1(k-1)!k!,a2kk成立.对一切正整数将盹二。，1,2，)的值代回(12)就得到、5+3 + Xy 二 x x 2!2k 1x+k!x4x(1 X2 并2kxk!卡.=xex2这就是方程满足所给初值条件的解例用幕级数解法求解方程y xy 0QO幕级数解.将yo,yo ,yo代入原方程

13、,lnyo 7 anXn=的解因为Po(x) =1,pi(x)二x, p2(x) =1 ,所以在X0 =0的邻域内有形如0(2a2 ao)-M n(n - 1)an (n- 1)an/xn=0.n仝比较x的同次幂的系数，得2a2 a0 =0,6a3 2印=0,n(n- 1)an n(n-1)an = 0 (n _ 4).a0比一2忌解得_ a1_/八*1一 3屜珂)2nn f0,a(-1)nC2n 1 一 13：(2 n 1)所以，原方程的通解为心鳥(勺 a1二13：2n 1)2n 1 xX2:了、(I)2n 1y 二 a0e 2 yx即n/ 3 ：(2n 1)方程组的消元法 在某些情形下，类

14、似于代数方程组的消元，我们可以把多个未 知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求解例求解线性微分方程组dxdydx=x _5y,=2x _ y.解从第一个方程可得八5(x爭5 dx(1.2)把它代入第二个方程，就得到关于X勺二阶方程式d2xdt29x=0.不难求出它的一个基本解组为Xi =cos3t,X2 =si n3t,把xi和x2分别代入(12)式，得出y的两个相应的解为yi =(cos3t 3sin 3t), y2 二 (sin 3t -3cos3t).55由此得到原来微分方程组的通解为5cos3t5sin 3t&os3t +3sin3t5 pin3t 3cos3t&和q为

15、任意常数 其中二阶非齐次线性微分方程待定系数法常用于解决常系数非齐次线性微分方程2d xdx2 a_ dtdta?x 二 f t ,(2)这里ai,a2是常数，f t为连续函数类型一m)为实常数,设f t =(bT ptm4FmH bm)e t,其中 及bi(i =0,1,那么方程1有形如x =tk(B0tm - B1tm4BmJ - Bm)e的特解，其中k为特征方程F(k)=O的根九的重数(单根相当于k；当九不是特征根时，取k=0),而Bo,Bi,Bm是待定常数，可以通过比较系数来确定.类型二设f t = A t cos : t B t sin ： t(eat其中_：:是常数,而A t ,B

16、 t是带实系数的t 的多项式，其中一个的次数为m,而另一个的次数不超过 m,那么我们有如下结论：方程2有形如x 二tk |P t cos ： t Q t sin ： t eat的特解，其中k为特征方程F =0的根a i 的重数，而P t ,Q t均为待定的带实系数的次数不高于m的t的多项式，可以通过比较系数来确定.求方程4齐3x.1 的通解解先求对应的齐次线性微分方程d2xdt2-2dX-30dt2 - - - - ,2 -3 = 0 有两个根，1 = 3,，2 - -1的通解.这里特征方程._ 3t +-t因此，通解为x二c1ec2e，其中G, q为任意常数再求非齐次线性微分方程的一个特解.

17、这里f (t ) = 3t+1,九=0,又因为九=0不是特征根，故可取特解形如x = A Bt,其中A, B待定常数.为了确定A,B，将x = A Bt代入原方程，得到-2B -3A-3Bt =3t 1比较系数得_3B =3,-2B -3A =1,B = 1,A =丄， x 二1 t,由此得3从而 3因此，原方程的通解为求方程的4 4x = cos 2tdt dt通解.2解特征方程.44二0有重根= 2 =-2，因此，对应的齐次线性微分方程的 通解为其中“q为任意常数.现求非齐次线性微分方程的一个特解.因为-2i不是特征根，我们求形如x = Acos2t Bsin2t的特解，将它代入原方程并化

18、简得到8B cos2t -8 As in 2t 二 cos2t,1 : 1比较同类项系数得A巾B E从而-1sin 2t,因此原方程的通解为2t 1x =（C1 C2t） esin 2t.8方法二由方法一知对应的齐次线性的通解为d2xdt2x=（ci Pt）e&为求非齐次线性微分方程的一个特解，我们先求方程4dx 4e2，t2i不是特征根，故可设特解为dt的特解.这是属于类型一，而 i -i1厂i 1xe2ltcos21 sin 2t,Re x sin 2t,888分出它的实部8于是原方程的通解为_2t ix = c2t)esin2t8注：对于d2xdx2dt2dtf 2d x dx上丄 /c

19、、一 +a-+a2X=f(t)(3)dx ifif丿-ai 一 a?x = f tg(t),可分解为,并且f t ,dtd2xdxA /八审+壮+盼丸(门(4)g t均满足类型一或者类型二若(3)，的特解分别为MX,则原方程的特解为x = xx2.d2x2dx2_d占印 & a?X2 二 g (t)d 2x-idxi2- ai- - a2x1 = f t-这是因2d (Xi X2)Xi dt2d x d xaia2 x =dt dtdt(d2xi、/dt2dt=f t g(t),d x-i ai咋严a2X2)dt2 dtdt2dt丿dtt2t求x _4x 4e e 1的通解.对应的齐次方程的特

20、征方程为2 4；. 4=0,即得特征根为12 =2对应方程x -4x4x二e ,设其特解为X二Ae,代入方程则的A =1,t t即方程x -4x4x=e的一个特解为X二e.2t2 21对应方程x _4x4e，设其特解为x = Bte ,代入方程则的-2t12 2t即方程x _4x .你十 有一个特解为xte .对应方程X -4x 4x =1，设其特解为x=C,代入方程则的2t1即方程x _4x Vx二e有一个特解为x=q. 所以原方程的通解为2tx 二 e(c1 c2t) et - -t2e2t21+4这里Cl,C2是任意常数.升阶的方法升阶是常微分方程很少提到的一种方法，这是因为随着阶数的升

21、高，一般会使得 求解更为繁琐，但适当运用这种方法，在有些情况下也可以受到事半功倍的效果 升阶法往往用于求常系数非齐次线性微分方程，具体分析见参考文献【9】例 用升阶法求方程x -2x - 3x = -3t 1的一个特解解两边同时逐次求导，直到右边为常数，得HlHIx - 2x - 3x -3,Inhi令x - -1，则x二x =0代回原方程，得-2-3x = -3t 1，解之，有x-1，该表达式几位方程的一个特解t例 用升阶法求方程x -2x5x二e sin2t的一个特解解先求解方程y -2y 5e(1 2l)t，令y =u(t)e(12l)t，代入方程，得u如1,11.17取 uiu it4

22、i 4，进一步取4 ，贝Uy = 一-ite(1 2i)t = -1itet(cos 2t isin 21)44二 1tet sin 21itet cos2t,44其虚部函数为原方程的一个特解，即可求得原方程的一个特解为x 二-1tet cos2t.4常数变易法宀ai(t),a2(t),an(t), f是区间a wt Wb上的连续函数，xi(t),刈,Xn(t)疋理如果是区间a上b上齐次线性微分方程xC)+6(叔2)+an(t)x=O的基本解组，那么，非齐次线性微分方程xna1(t)xnJ亠an(t)x 二 f (t)的满足初值条件(t)=0, (t)=0,2(to)=O,to a,b的解有下

23、面公式给出=、xkW；畀忙?，噌 f(s)ds,k二t0 |WXi(S), X2(S),，Xn(S) JWXi(S),X2(S), xn (S)是 Xi(S),X2(S),Xn(S)的朗 斯基行 列 式这里八士gXi(s),X2(s)；,Xn(s)是在 WXi(s),X2(s),Xn(s)中的第 k 列代以(0,0,0,i)后得到的行列式，而且非齐次方程的任一解u(t)都具有形式u(t)二 G 为 C2 X2(t)Cn Xn(t)(t),这里G,C2,，G是适当选取的常数.特别地，当二2时X y(t)x* an(t)X=0的特解为(t) =xi(t)WiXi ,X2(S) f (s)ds x2

24、(t)Wlxds)X2(s)t； lWXi(s),X2(s) Jt0 lWXi(s),X2(s) JWXi(s),X2(s)其中X2(S)X2(s)Xi (s)0W2xi(s),x2(汩 Xi(s) rxi(s)，当n =2时，常数变易公式变为 因此，t X2(t)Xi(s) -Xi(t)X2(S)ftWx(s),X2(s)而通解就是-C|X1(t)C2X2(tp(t).法二设Xi(t),X2(t),Xn(t)是方程+an(t)X = O的基本解组，当满足以 下条 件时， X=G(t)Xi(t)+C2(t)X2(t)+Cn(t)Xn(t) 是方程 xC)+ai( x(n_1)+an x = f(的通解)(t )”Xi (t)Ci(t) + X2 (t)C2 (t) + + Xn (t)Cn (t) = 0Xi(t)C 1 (t) + X2 (t)C 2 (t) + Xn (t)C n (t) =