不定积分的计算

1、不定积分的计算不定积分的计算 一、第一换元积分法一、第一换元积分法 二、第二换元积分法二、第二换元积分法 三、分部积分法三、分部积分法 问题问题 cos2xdx 解决方法解决方法利用复合函数求导的逆运算，设置利用复合函数求导的逆运算，设置 中间变量中间变量. . 过程过程令令xt2 , 2 1 dtdx xdx2cosdtt cos 2 1 ct sin 2 1 .2sin 2 1 cx xcx2cos2sin 2 1 说明结果正确说明结果正确 一、第一换元积分法一、第一换元积分法 ( ( )( )fxx dx ,ux 对于形如对于形如的积分，设的积分，设 ( ( )( )( )fxx dxf

2、xc ( ( )( )( )( ( )( )fxcfxxfxx ( )f ux及 如果如果 ( ),f u duf uc +连续，且连续，且则则 该积分法可由下面的逆运算证明该积分法可由下面的逆运算证明 这种积分方法也叫做这种积分方法也叫做“”。 定理定理1 ( ( )( )( )( ( ).fxx dxf u dufxc 可导可导, 则有换元公式则有换元公式 设设 f (u)具有原函数具有原函数 f (u), u = (x) 连续连续 dxxg)( 如何应用上述公式来求不定积分如何应用上述公式来求不定积分? ? 则使用此公式的关键在于将则使用此公式的关键在于将 ( )( )fxx dx 化为

3、化为 的形式，的形式， ,)( dxxg假设要求假设要求 所以，第一类换元积分法也称为凑微分法所以，第一类换元积分法也称为凑微分法. 例例1 求求 1 . 21 dx x 解解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 则则 11111 2(21) 21221221 dxdxdx xxx 11 2 du u 1 ln | 2 uc 1 ln |21|. 2 xc 想到公式想到公式 du u ln uc 注意换回原变量注意换回原变量 例例2 求求 2 sin.xx dx 22 1 sinsin2 2 xx dxxxdx 1 sin 2 udu 1 cos. 2 uc 解：解

4、：则则 2 ,2uxduxdx 2 1 cos. 2 xc 想到公式想到公式 sindu u cosuc 这种换元法又称为凑微分法或配元法这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进即引进 一个新变量以代替原来的变量一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练对于变量代换熟练 以后以后, 可以不写出中间变量可以不写出中间变量 u. 例例1 求求 1 . 21 dx x 解法二：解法二： 111 (21) 21221 dxdx xx 1 ln |21|. 2 xc 例例3 求求 1 sin.xdx x 一般地一般地, 有有 1 sinxdx x 解解 1 ()2().fx dxfx dx x 2

5、cos.xc 1 2 dxdx x 2 sinxdx 1 2 sin 2 xdx x 例例4 求求 tan.xdx sin tan cos x xdxdx x 解解 ln cos.xc cot xdx 类似类似?dcot xx sin sin dx x ln sin xc cos sin xdx x 1 cos , cos dx x cossindxxdx 1 sin, cos x dx x 1 lnduuc u 例例5 求求 2 sincos.xxdx 2 sincosxxdx 解解 3 1 sin. 3 xc sin(cos )(cos ) cos ;x fx dxfx dx cos(si

6、n )(sin ) sin .x fx dxfx dx 一般地一般地, 有有 sincosdxxdx 2 sinsinxdx 3 2 3 u u duc 例例6 求求 解解 .cossin 52 xdxx xdxx 52 cossin 24 sincoscosxxxdx )(sin)sin1(sin 222 xdxx )(sin)sinsin2(sin 642 xdxxx .sin 7 1 sin 5 2 sin 3 1 753 cxxx 说明说明: :当被积函数是三角函数当被积函数是三角函数( (如正弦函数和余如正弦函数和余 弦函数弦函数) )相乘时，拆开奇次项去凑微分相乘时，拆开奇次项去凑

7、微分. . sincosdxxdx )(sincossin 42 xxdx 例例7 求求 3 sin.xdx 3 sin xdx 解解 2 (cos1) cosxdx 2 coscoscosxdxdx 3 1 coscos. 3 xxc 2 sinsinxxdx 2 sincosxdx cossindxxdx 3 2 3 u u duc 例例8 求求 2 1 1 x xxx e dxdx eee 解 2 1 1 () x x de e arctan. x ec ()(). xxxx e f edxf ede 1 . xx dx ee 一般地一般地, 有有 xx dee dx 2 1 1 arc

8、tan du u uc 例例9 求求 一般地一般地, 有有 . 2 ln dx xx 2 ln dx xx 解 1 ln ln. 2 xc 1 (ln )(ln ) ln .fx dxfx dx x 1 (ln ) 2ln dx x 1 lndxdx x 1 lnduuc u ),( 2 1 2 xdxdx ,ln 1 xddx x ), 1 ( 1 2 x ddx x ,2 1 xddx x , xx dedxe,cossinxdxdx 第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过 如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可如何适当地选择变量代换，却没有一

9、般的法则可 循这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需循这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需 要熟记一些函数的微分公式，例如要熟记一些函数的微分公式，例如 等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中 拼凑出合适的微分因子拼凑出合适的微分因子 例例10 求求 22 1 .dx ax 222 2 11 1( ) dx dx x axa a 解 1 arctan. x c aa 2 11 ( ) 1 ( ) x d x aa a 2 1 1 arctan du u uc 1x ddx aa 例例11 求求 22 1 (0).dxa ax 22 2

10、 111 1 ( ) dxdx ax ax a 解 2 1 ( ) 1 ( ) x d ax a arcsin. x c a 2 1 1 arcsin du u uc 1x ddx aa 例例12 求求 . (12ln ) dx xx (1 ln ) dx xx 解 1 ln 12ln. 2 xc 1 (ln ) 12ln dx x 11 (2ln1) 2 12ln dx x 1 lnduuc u 1 lndxdx x 例例13 求求 23 31.xx dx 23 31xx dx 解 3 3 2 2 (1). 3 xc 1 32 2 (1)3xx dx 1 33 2 (1)1xdx 1 33

11、2 (1)xdx 13 22 2 3 u duuc 例例14 求求 22 . dx xa 22 ()() dxdx xaxa xa 解解 111 () 2 dx a xaxa 111 () 2 dxdx axaxa 111 ()() 2 d xad xa axaxa 1 (lnln) 2 xaxac a 1 ln. 2 xa c axa 例例15 求求 2 sin.xdx 2 1 cos2 sin 2 x xdxdx 解解 1 (cos2) 2 dxxdx 11 cos2(2 ) 24 dxxdx 11 sin2. 24 xxc 11 cos2 22 dxxdx xxtansec 解解 xxd

12、sec x x d sec xxtansec )tan(secxx x xx xxx d tansec tansecsec 2 )tan(secdxx cxxtansecln 类似可得类似可得 xxdcsccxxcotcscln 例例16. 求sec d .x x 小结小结积分常用技巧积分常用技巧: (1) 分项积分分项积分: (2) 降低幂次降低幂次: (3) 统一函数统一函数: 利用三角公式利用三角公式 ; 凑微分法（陪元方法）凑微分法（陪元方法） (4) 巧妙换元或配元。巧妙换元或配元。 等xx 22 cossin1 ; )2cos1 (sin 2 1 2 xx; )2cos1 (cos

13、 2 1 2 xx 利用积化和差利用积化和差; 分式分项等分式分项等; 利用倍角公式利用倍角公式 , 如如 作业作业 p155 1 (1)-(18) 二、第二换元积分法二、第二换元积分法 0,xtt且 f x dx 设设将积分将积分 化为化为 ( )( )ftdtf tc ,ftdt 1 ( ),f x dxfxc + 若若 则则 若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。 例例1 1 求求 1 . 1 dx x 解解 ,tx 令令 2 ,xt2,dxtdt 1 1 dx x 2 1 t dt t 1 1 2 1 t dt t 1 2 1 dx

14、dt t 2ln 1.ttc 则则于是于是 2ln 1.xxc 例例2 2 求求 解解 . 1 1 dx e x x et 1 令令 2 1, x et则 , 1 2 2 dt t t dx dx e x 1 1 dt t 1 2 2 dt tt 1 1 1 1 1 ln1ln1ln 1 t ttcc t .11ln2cxe x ,1ln 2 tx 11 ln 11 x x e c e 说明说明 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的 根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lk xx, n tx n 例例3 3

15、求求. )1( 1 3 dx xx 解解令令 6 tx ,6 5dt tdx dx xx )1( 1 3 dt tt t )1( 6 23 5 dt t t 2 2 1 6 dt t t 2 2 1 11 6 dt t 2 1 1 16ctt arctan 6 .arctan 6 66 cxx 三、三、分部积分法分部积分法 由导数公式由导数公式vuvuuv ) ( 积分得积分得:xvuxvuuvdd 分部积分公式分部积分公式 xvuuvxvudd 或或 uvvuvudd 分部积分法一般用于是解决分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积两种不同类型函数乘积 的不定积分问题的的不定积分问题的.

16、 例例1. 求求.dlnxxx 解解: 令令 ,ln xu vx 则则 1 ,dudx x 2 2 1 xv 原式原式 =xx ln 2 1 2 xxd 2 1 cxxx 22 4 1 ln 2 1 uv dxuvu vdx 分析：分析：被积函数被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积是幂函数与对数函数的乘积, 采用分部积分采用分部积分. 例例2 2 求积分求积分.cos xdxx 解（一）解（一） 令令,cos xu dvdxxdx 2 2 1 xdxxcos xdx x x x sin 2 cos 2 22 显然，显然， 选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.vu , 解（二）

17、解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin .cossincxxx 分析：分析：被积函数被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积是幂函数与三角函数的乘积, 采用分部积分采用分部积分. uv dxuvu vdx (1) v要容易求出要容易求出; (2) 要要比比vduudv容易积出容易积出. ddudvuvvduuvxuvuv x 或 分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择 , u v , u v 一般来说，一般来说， 选取的原则是：选取的原则是： 解题技巧：解题技巧： 分部积分法求不定积分

18、的关键分部积分法求不定积分的关键 是要确定是要确定u，由计算的经验，可以得出以下顺序：，由计算的经验，可以得出以下顺序： “（反三角函数）、（反三角函数）、（对数函数）、（对数函数）、（幂函（幂函 数）、数）、（指数函数）、（指数函数）、（三角函数）（三角函数）” ，当两，当两 种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序 在前的函数作为在前的函数作为u. 即即 把被积函数视为两个函数之积把被积函数视为两个函数之积 , 按按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序的顺序, 前者为前者为 后者为后者为u. v 例例3. 求求.darccosxx 解解: 令

19、令,arccosxu 1 v , 则则 , 2 1 1 x u xv 原式原式 =xxarccos x x x d 2 1 xxarccos)1d()1 ( 22 2 1 2 1 xx xxarccoscx 2 1 uv dxuvu vdx 例例4 求求 arctan.xxdx 解解 设设 u = arctanx, v= x, 则则 2 1 arctanarctan() 2 xxdxxdx 2 2 2 11 arctan 22 1 x xxdx x 2 2 111 arctan1 221 xxdx x 2 11 (1)arctan. 22 xxxc “ 反对幂指三反对幂指三”前者为前者为 后者

20、为后者为u. v uv dxuvu vdx 2 2 11 , 12 dudx vx x 例例5 求求 ln.xdx 解解 设设 u = lnx, dv = dx, 则则 1 ,dudx vx x ln xdx 于于是是 “ 反对幂指三反对幂指三”前者为前者为 后者为后者为u. v uv dxuvu vdx 1 1x nxxdx x lnxxxc 例例6 求求 2 sin.xxdx 22 sin( cos )xxdxx dx 2 cos2 cosxxxxdx 2 cos2sinxxxdx 2 cos2( sinsin)xxxxxdx 2 cos2 sin2cos.xxxxxc 设设 u = x

21、2, , 则则 du = 2xdx, v = - -cosx, 于是于是 解：解： sinvx = uv dxuvu vdx 例例7 求求 sin. x exdx sinsin xx exdxxde 解解 sincos xx exexdx sincos xx exxde sincossin. xxx exexexdx 上式最后一项正好是所求积分上式最后一项正好是所求积分, 移到等式左边然后除移到等式左边然后除 以以2, 可知可知 e x sinx 的一个原函数为的一个原函数为 1 (sincos ), 2 x exx 1 sin(sincos ). 2 xx exdxexxc 于于是是 uv

22、dxuvu vdx 说明说明: 分部积分题目的主要类型分部积分题目的主要类型: 1) 直接分部化简积分直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式分部产生循环式 , 由此解出积分式由此解出积分式 ; (注意注意: 两次分部选择的两次分部选择的 u , v 函数类型要一致函数类型要一致 , 解出积分后加解出积分后加 c ) 不定积分计算练习题不定积分计算练习题 5 1.d. x ex 1 2.d. 12 x x- 1 3.d. ln x xx 2 11 4.sind.x xx 72 8.tansecd.xx x () 2 2 arctan 6.d. 1 x x x+ arcsin 2 10 7.d. 1 x x x- 2 5.d. 23 x x x- 1 9. 12 dx x+ () arctan 11. 1 x dx xx+ 4 1 10.dx xx+ 14.arcsin d.x x 12.sin d.xx x 2 ln 16.d. x x x 15.ln d.x x 13.d. x xex - 例例1 求求. 23 1 dx x du u 1 2 1 1 ln 2 uc 1 ln 32. 2 xc 解解: 令令32 ,ux则则d2d ,ux故故 原式原式 注意换回原变量注意换回原