3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题

1、二元一次不等式组与简单的线性规划问题一、知识归纳：1二元一次不等式表示的平面区域：二元一次不等式 Ax By C .0在平面直角坐标系中表示直线Ax By C =0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）对于在直线Ax By C =0同一侧的所有点（x,y），实数Ax By C的符号相同，所 以只需在此直线的某一侧取一特殊点（Xo , yo）,从Ax0 By0 C的正负即可判断 Ax By C 0表示直线哪一侧的平面区域 .（特殊地，当Cm 0时，常把原点作为此特殊点）2 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（

2、x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。3 线性规划问题应用题的求解步骤：（1 ）先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；（2 ）作出相应的图象（注意特殊点与边界）（3 ）利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值；二、例题分析：例1 画出不等式2 x - 6 : 0表示的平面区域. 点（-2, t）在直线2x3y +6=0的上方，则t的取值范围是 ._x - y 5 _ 0画出不等式组x + y0表示的平面区域。并求出平面区域的面积。1(1) z6x*10y ;(2) z2xy ;(3 )切_

3、Jx*y；(4)一x - 1例3.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用 A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗 A原料不超过13吨，B原料不超过18 吨求该企业可获得最大利润。三、练习题：1 .不等式x -2 y _ 0表示的平面区域是2.3.B.2满足不等式y2 -x_0的点（x, y）的集合（用阴影表示）是C.A.B.x y 二4已知点P（x, y）的坐标满足条件y _x ，点0为坐标原点，那么| PO |的最小值等于Ix -1,最大值等于4.x - y 1 _ 0

4、 如果实数x、y满足条件y 1 _0 ，那么2x -y的最大值为Ix y 1 _0B. 1C. -2D.3|x2 兰0,5.已知点P (x, y)在不等式组y_1兰0,表示的平面区域上运动，贝Uz = x _ y的取值范围是A. - 2, - 1x 2y -2B. 2, 1C.1 , 2D. 1 , 2x - y 5 _ 06.已知满足约束条件x + y Z 0，则z = 2x亠4 y的最小值是x _3B. 6C.10D. 107.在平面直角坐标系中，不等式组yx - y_2-2 _0,-2 _0,表示的平面区域的面积是A. 4.2B. 4C. 2、. 28.已知函数f x的定义域为1-2,-

5、j,部分对应值如下表，x-204f (x )1-11f x为f x的导函数,函数f x的图像如图所示.若两正数a , b满足f 2a b ： 1 ,的取值范围是i37-2 6f f 1)B. 1 ,-c. i ,-D., 3丿l53丿3 53,6 47,39. 点P (a ,4)到直线x -2 y 2 = 0的距离为2 5，且P在3x，y-3 - 0表示的区域内，则a =x乞010. 若A为不等式组y _0表示的平面区域，则当a从2连续变化到 1时，动直线Iy -x _2x y =a扫过A中的那部分区域的面积为 门x11 .设变量x、y满足约束条件 x + y畠2，则目标函数z = 2x +

6、y的最小值为 y _3x - 63x - y - 6 三 012 .设x, y满足约束条件0,x0,y 023若目标函数z =ax +by (a 0, b 0)的是最大值为12,则 + 的最小值为 a b13.某厂生产A与B两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元.又知每生产1公斤A产品需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B产品需要电力3千瓦、煤2吨.但该厂的电 力供应不得超过100千瓦，煤最多只有120吨问如何安排生产计划以取得最大产值？14某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资 3

7、0万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利 10万元，每份进取型组合投资每年可获利 15万元。若 可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过 180万元，那么这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？15某公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？元一次不等式组与简单的线性

8、规划问题参考答案三、例题分析:例1画出不等式2 x +y-6 v 0表示的平面区域 解：先画直线2x+y-6=0 (画成虚线).取原点(0, 0),代入 2x+y-6, / 2 X 0+0-6=-6 v 0,原点在2 x +y-6v 0表示的平面区域内，不等式2x +y-6 v0表示的区域如图:点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是 _(t2/3).画出不等式组x y 5 _0x亠y二0表示的平面区域x _3解：不等式x-y+5 0表示直线x -y+5=0上及右下方的点的集合，x+y0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，xw 3表示直线x=3上及左方的点的集合不等式

9、组表示平面区域即为图示的三角 形区域：例2.设x, y满足约束条件:|x -4 y _ -33x 5y _25 ,x _1分别求(1) z =6 x 10 y ; ( 2) z = 2x 一 y ; ( 3)x2与最小值。解：(1)先作可行域，如下图所示中厶ABC的区域，且求22得 A(5,2)、B(1,1)、C(1,)5作出直线l：6x 100，再将直线I。平移，当I。的平行亠y? ; ( 4)的最大值x +1线1勺过点B时，可使z=6x 10 y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z =6x 10 y达到最大值。故 zmin = 6 1101=16 , Zmax = 65102 =

10、 50(2)同上，作出直线1 : 2x - y = 0，再将直线l0平移，当l0的平行线h过点C时，可使z =2xy达到最小值；当l的平行线L过点A时，可使z =2xy达到最大值。zmax则 zmin(3) ,表示区域内的点(x,y)到原点的距离。则(x,y)落在点B(1,1)时，最小，(x,y)落在点 A(5,2)时，最大，故 rn =, .ma 25 4 = ,29(4)表示区域内的点(x,y)与点D(_1,0)连线的斜率。则(x, y)落在点A(5,2)时，最小,卄22111(x, y)落在点 C (1,)时，最大，故-.min ，max535例3.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨

11、甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用 A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗 A原料不超过13吨，B原料不超过18 吨求该企业可获得最大利润。例3.解析 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系:A原料B原料甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y0y 0则有：，目标函数z =5x 3y3x +y 兰132x 3y _18作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知:当x = 3, y = 4时可获得最大利润为 27万元。四、练习题：1.D .2 .B.3._i710_. 4. B . 5. C .6.B

12、. 7.B .8.B15259 . a =_16_; 10 .; 11 . _3_12. _- 8 - 6解析：12 .不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by= z (a0, b0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交 点(4,6)时，目标函数z=ax+by (a0, b0)取得最大12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,十 2323 2a 3b 13 b a 1325而 =()()2 =a b a b 66 a b 6613.某厂生产A与B两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元.又知每生产1公斤A产品需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B产品

13、需要电力3千瓦、煤2吨.但该厂的电力供 应不得超过100千瓦，煤最多只有120吨问如何安排生产计划以取得最大产值?x 3 0, y A 02x +3y 兰 100 13解:设生产A与B两种产品分别为x公斤，y公斤，总产值为 Z元。则4x+2y兰120且 z = 600 x 亠 400 y作可行域：作直线1: 600x+400y=0，即直线1: 3x+2y=0,把直线I向右上方 平移至I1的位置时，直线经过可行域上的点A,且与原点距离最大，此时z=600x+400y取最大值.解方程组2x +3y =100丿,得A的坐标为x=20， y=20-2x +y = 60答：生产A产品20公斤、B产品20

14、公斤才能才能使产值最大。14某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资 30万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元。若可作投资用的资金中， 金融投资不超过160万元，房地产投资不超过 180万元，那么这两 种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？14解：设稳健型投资 x份，进取型投资y份，利润总额为z (X 10万元)，则目标函数为z=(xT.5y) (X 10万元),20 x +40 y 兰 160x + 2y 兰8线性约束条件为：30

15、x+30y兰180，即x + y兰6x H0, y 30x 色0,y 色0一x + 2 y = 8作出可行域(图略)，解方程组，得交点M (4,2)X + y = 6作直线x 1.50，平移I，当I过点M时，z取最大值：zmax =(4 3) 10万元=70万元。y-500lx5 x 亠 2 y = 900.解得 x =100 , y =20015.某公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？15解：设公司在甲电视台和乙电视台做广