08第八章平面向量【讲义】

1、第八章平面向量 一、基础知识定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。 向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量)，规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和 结合律。定理2非零向量a, b共线的充要条件是存在实数 -0，使得a= b.f定理3平面向量的

2、基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数 x, y，使得c=xi+yi，则(x, y)叫做c坐标。定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为v ,则a, b的数量积记作a -b=|a| -|b|co =|a| -|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影(注：投影可能为负值)。定理4 平面向量的坐标运算：若a=(xi, yi), b=(X2, y

3、2)，1. a+b=(xi+X2, yi+y2), a-b=(xi-X2, yi-y2)，2. 2a=(Axi, 2yi), a - (b+c)=a - b+a - c，Xi X2 十 yi y3. a - b=xiX2+yiy2, cos(a, b)=:(a, b 严 0),4. a/b：= xiy2=X2yi, a _ b= x1x2+y iy2=0.定义5 若点P是直线PiP2上异于P1,P2的一点，则存在唯一实数 入，使R P = APP2，入叫p分P P2 OP OP所成的比，若O为平面内任意一点，则 OP1-。由此可得若Pi，p，P2的坐标分别为(Xi,1+扎捲 +?X2X - X

4、i_ y - yiX2 一 xy2 - yX = 1 yiy2yi), (x, y), (X2, y2)，则定义6设F是坐标平面内的一个图形将F上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向，平移|a|=. h2 k2 个单位得到图形 F，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到F上对应的点为 p(x,y)，x = x + h 一 一则称为平移公式。y = y+k定理 5 对于任意向量 a=(Xi, yi), b=(X2, y2), |a - b|a|- |b|,并且 |a+b冃a|+|b|.【证明】因为 |af |bf-|a b|2=(X； + y2)(X； + y；)-(xiX

5、2+yiy2)2=(xiyKX2yi)2初,又|a b同,|a| |b|%，所以 |a| |b|耳a - b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|珥a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1 )对n维向量，a=(xi, X2, ,xn), b=(yi, y2, , , yn)，同样有|ab冃a|b|， 化简即为柯西不等式：(xiX；X；)(yi-y；)(Xiyi+X2y2+,+Xnyn)2 羽，又 |ab|%,|a|- |b|X)，所以 |a| |b|耳a - b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|珥a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1 )对n维向量

6、，a=(xi, X2, ,xn), b=(yi, y2, , , yn)，同样有|a -b冃a|b|， 化简即为柯西不等式：(X；X；亠 亠 x；)(y： y；亠一 yi) -(Xiyi+X2y2+, +Xnyn)2。2)对于任意 n 个向量，ai, a2, , ,an，有 丨 ai, a2, , ,an冃 ai|+|a?|+, +|an|。二、方向与例题1向量定义和运算法则的运用。例1 设0是正n边形A、A2, An的中心，求证： OA1 0A2亠亠OAn=O.2： 【证明】 记s =0入-0A2亠-亠0An，若S = 0，则将正n边形绕中心0旋转后与n 原正n边形重合，所以 S不变，这不可

7、能，所以 S = 0.例2 给定ABC，求证：G是ABC重心的充要条件是 GA + GB+GC=0.【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长 AD至P，使DP=GD，则AG =2GD =GP.又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BG / PC，所以GB二CP.所以 GA GB GC =GC CP PG =0.充分性。若GA + GB +GC =0，延长AG交BC于D,使GP=AG，连结CP,_KU GA = PG.因为 GC PG PC = 0，则 GB 二 PC，所以 GB/CP，所以 AG 平分 BC同理BG平分CA。所以G为重心。例3 在凸四边形AB

8、CD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证： 2 2 2 2 2 2 2AB 2+BC2+CD2+DA 2=AC 2+BD 2+4PQ2。【证明】 如图所示，结结BQ，QD。因为 BP PQ 二 BQ, DP PQ = DQ，2 2所以BQ DQ= (BP PQ)2 (DP PQ)222 2 =BPDP2PQ2BP PQ2DPPQ2 2.22 2 2=BP DP 2PQ 2(BP DP) PQ=BP DP 2PQ .又因为 BQ QC 二 BC,BQ QA 二 BA,QA QC = 0,2 2 2 2 2同理 BABC =QA QC2BQ ，2 .2 2 . 2 2CDDA QAQC 2

9、QD ，一 2 2 2 2 2 2由，可得 BA BC CD 4QA 2(BQ QD )2 2 2 2 2-2=AC 2(2BP 2PQ)=AC BD 4PQ。得证。2 证利用定理2证明共线。例4 AABC外心为0,垂心为H，重心为 G。求证：0, G，H为共线，且 0G: GH=1 : 2一 一 2【证明】 首先0G =0A AG =0A AM3一 1 一 一 1 一 一 一=OA(AB AC) =OA (2AO OB OC)331 (OA OB OC).3其次设BO交外接圆于另一点E,则连结CE后得CE_ BC. 又 AH _ BC，所以 AH/CE。又EA _AB , CH _AB，所以

10、AHCE为平行四边形。所以AH =EC,所以 OH 二 OA AH = OA EC = OA EO OC = OA OB OC ,所以 OH 二 30G ,所以OG与OH共线，所以o, G, h共线所以 OG: GH=1 : 23利用数量积证明垂直。例5 给定非零向量a, b.求证：|a+b|=|a-b的充要条件是 a_ b.【证明】|a+b|=|a-b|：= (a+b)2=(a-b)2= a2+2a b+b2=a2-2a b+b2u a - b=0= a_b.例6 已知ABC内接于O O, AB=AC , D为AB中点，E为AACD重心。求证：OE _ CD【证明】 设OA二a,OB二b,O

11、C =c ,- 1 则OD (a b),2 1 1 111 OE = a c (a b) = c a b.3 23261又 CD (a b) -c ,2所以 OE CD 二-a -c b ila b-c1236八22 丿小丄。123331=一 a (b-c).(因为 |af=|b|2=|c|2=|OH|2)3又因为AB=AC , OB=OC，所以OA为BC的中垂线。所以 a (b-c)=0.所以 OE _ CD。4.向量的坐标运算。例7 已知四边形 ABCD是正方形，BE/AC , AC=CE , EC的延长线交 BA的延长线于点 F，求证： AF=AE。【证明】女口图所示，以CD所在的直线为

12、x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A,B 坐标分别为(-1 ,1 )和(0,1)设 E点的坐标为(x, y)，则 BE =(x, y-1), AC = (1,-1)，因为 BE/ AC , 所以-x-(y-1)=0.又因为|CE 冃 ACI， 所以 X2+y2=2.口1+ V31-3由，解得x, y.2 2所以 AE =(3 +屮3, 一1|AE|2=4+2/3. 2 2丿设 F(x,1)，则 CF =(x,1)。由 CF 和 CE 共线得丄 30-丄 3 =0.2 2所以 x= -(2.3)，即 f(2 - .3,1),所以 | AF=4+ 2.3 -| AE f，所以 a

13、f=ae。三、基础训练题1.以下命题中正确的是 .a=b的充要条件是|a|=|b|,且a/b:(a b) c=(a c) b :若a b=a -c,则b=c；若a, b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n ；若AB二a,CD二b , 且a, b共线，则 A , B , C, D共线；a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影为-4。2. 已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：BC CD EC :2BC - DC :FE ED ； 2ED fa与Ac，相等的有.3. 已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a - b=0，则 |x|+|y|=.4.

14、 设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|,则a和b的夹角为.5. 已知 a, b 不共线，MN =a+kb, MP =la+b，则“ kl-1=0 ”是“ M , N , P 共线”的 条件.6.在ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且 BN二2NA, BM与CN交于D，若BD = BM，贝U 且.7.已知OA,OB不共线，点C分AB所成的比为2, OC =九OA + 40B，则九=.8已知OA = a,OB=b, a b=|a-b|=2，当AOB面积最大时，a与b的夹角为.9把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(

15、1, -1),若a _ b，cb=4，_则b 的坐标为.10. 将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则U b的坐标为.411. 在RtBAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问PQ与BC的夹角二取 何值时BP CQ的值最大？并求出这个最大值。12. 在四边形 ABCD 中，AB 二 a, BC 二 b,CD 二 C,DA = d，如果 a- b=b c=c d=d a，试判 断四边形ABCD的形状。四、高考水平训练题1 .点O是平面上一定点，A， B， C是此平面上不共线的三个点，动点P满足OP =OA +九 AB + AC ，扎E 0,址)则点P的轨迹

16、一定通过 AABC的心。l|AB| |AC| 丿2.在 AABC 中，AB = a, BC = b，且 a b1(k R)，则k的取 值范围是.4. 平面内四点 a， b， c， d 满足 | AB |=3, | BC |=7,|CD |=11,| DA |= 9，则 AC BD 的取值有个.5 .已知 AiA2A3A4A5是半径为r的。O内接正五边形，P为。O上任意一点，则i PA112 +| PA212 +1PA312 +1PA412 +1PA512 取值的集合是.6. O 为ABC 所在平面内一点，A, B，C 为ABC 的角，若 sinA -OA+sinB -OB +sinC OC =

17、 O， 则点O为ABC的心.7对于非零向量 a, b, fh|=|b|”是“ (a+b)丄(a-b)”的条件.8 .在ABC 中，AB = a, BC = C, CA = b，又(c b)： (b a)： (a c)=1: 2 : 3,则ABC 三边 长之比 |a|： |b|： |c|=.甲甲匸9.已知 p 为ABC 内一点，且 PA 2PB 3PC = O，CP 交 AB 于 d，求证：DP = PC.10 .已知AABC 的垂心为 H ，HBC，AHCA，AHAB的外心分别为O1，O?，O3，令HA = a, HB = b, HC = c, HO1 = p，求证：(1)2p=b+c-a；

18、(2) hO1O2O3的外心。11.设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为V中的一个单位向量，已知从 V到V的变换T，由 T(x)=-x+2(x a)a(x EV)确定，(1) 对于V的任意两个向量x, y,求证：T(x) T(y)=x y;(2) 对于V的任意向量x，计算TT(x)-x ;(3) 设 u=(1,0); V =(0,1)，若 T(U)=V，求 a.六、联赛二试水平训练题1 .已知A，B为两条定直线 AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两 片 AP AR ,宀、 AM PN RT , 宀点，为定比，M，N，T分别为线段 AB，PQ，RS上的点，为另一定BQ BCMB NQ TS比，试问M，N，T三点的位置关系如何？证明你的结