微积分导数与微分典型例题与复习题部分解答

1、【例1】所以函数第二草导数与微分典型例题与复习题部分解答xsin1,x0,讨论函数f(x)二x=0在x=0处的连续性和可导性.1sin x1 (有界)，又0,故叽 f(x)IJ叫 xsin_10f(0),xf(x)在x=0处连续.f(0 x)f (0)x所以函数f(x)在 x=0处不可导.因为1xsin f (0)xx1sinx0时不收敛,【习题2.1Ex8(2)】(可导性 左右导数)2 . 1 n讨论函数f (x) x sin x , x 0在x0,x 00的连续性和可导性解：因f (0)lim x2x 0sin 100f (x)x/.V f0 f(0),2 1x sin 0xx故f(x)在

2、x=0连续.又lim x sin x0,所以f(x)在x=0可导，且f().a In x+b, x 1;,【习题2.1Ex9】 设函数f(x)=在x=1处可导，求a、b的值。e,解：因f(x)在x=1处可导,故必连续又 f (1) lim f(x) lim(alnx b) b,x 1x 1下面求f(x)在x=1处左、右导，有f(x) f(1) ex ef (1) lim limx 1 x 1 x 1 x 1f (x) f(1) alnxf (1) limlimx 1 x 1 x 1 x 1x v1,从而 lim f(x) lim f(x)x 1lim f (x) lim ex 1x 1x 1e

3、,所以f (1),f(1)=b=e .e(, 1)limx 1 x 1al n(1 x limx 1 x 1e(x 1)limx 1 x 11) lim a(xx 1 xe;因为f(x)在x=1处可导，所以 f (1) f (1),由此得1)1a ba,e.【另解:】(书P44习题2.1Ex9)因f(x)在x = 1处可导，故必连续，从而lim f (x) lim f (x),x 1x 1又 lim f (x) lim ex e, lim f(x) lim (alnx b) b, 所以 b=e .xx 1x 1x 1现在当x 1时f (x)二a/x .注意到两 个导函数都是初等函数，故在指定区

4、域连续.于是由可导性得a=(a/x)|x=1= f +(1)= f (x)=ex|x=1=e .2【习题2.1Ex10l若彳乂 x, x 1处处可导，求玄、b的值ax b, x 1解：f(x)在x=1处可导，必连续。于；是由右连续有1f (1)f (1 )lim f(x)x 1lim( ax b) a b ,x 1(1)解得b 1a .而由导数存在性得f (1)limf (x)f(1). lim(ax b) 1ax alima ,(2)x 1x1x 1x 1x 1 x 1但f (1)limf (x)f(1). limx21lim (x 1)2.由(1)、(2)解得x 1x1x 1x 1 x 1

5、a2 , b1.【另解:】(书 P44习题 2.1Ex10)因f(x)在x=1处可导,故必连续，从而1 f (1) lim f (x) lim (ax b) (ax b) |x 1 a b .x 1x 1由此得当x 1时f(x)=ax+b,且f (x)二a ;又当x 1时f (x)=2x.注意到两个导函数都是初等函数，故导函数在指定区域连续，特别是左(或，右)端点连续.于是由可导性得a= f +(1)= f _(1)=(2x)|x=1=2，由此得b二一1.【习题2.2Ex5(3)(5)(9)(10)】求下列函数的导函数：2 22 a x解:arcsin x、 y (e )arcs inxear

6、csin .jx.e(arcsin - x)arcsin 订 x e.1 x(x )(x)2arcsin x e(5)1(arccos )x(1)x|x|(9)ln(secx tan x)(10)(x a2 x21 (2x(secx tanx)secx tan xa2arcsinx) (x、a2 x2)az 22 (a2 x )(secx)x2|x| 1(ta nx) secxta nxsecx tan xa2(arcs in% ua2a22 xa x2 2a xx x2se(? xsecx tan xx2 x( a2 x2) a22a2 2 - a x2 a2 x2.secx .1。2【习题

7、 2.2Ex5(10)(11)(12)】求下列函数的导函数:2 2x a解：(10)y (x a2 x2a2 arcsin x )a(xja2x2 ) a2(arcsin )a(11) y(12) yx(、a2x2 )a2(x)aV?a1(a22、a2x2)x2a3a.a2 x2a2x2xa2x2x2(5“ 2x)5x22x /2(x2x)5x22x (2x 2)x22(x 1)5x2xex1 (ex1 exex1 exexexxx xe (1 e ) e ex 2(1 e )【习题2.2Ex5(13)(14)(15)(16)】求下列函数的导函数:解：(13)(x x)12. x2.x 14

8、x x x(14)y(xx)(ex )ex (Tn x) xx x(15)y(xlnx)ln2 x(e )2In x2ln xe (ln x) x(16)y(arcta na . x ln .) arcta n11xxaxxx1ln1ln1x2xln x xIn x 12ln x (In x)In xTn x2 .1l n(x a)2ln(xa)(a)Xa 21 ( )2xa2Xa 21 ( )2x32a 4 4x a【习题 2.2Ex6(1)-(4)】设f(x)可导，求下列函数的导函数：解：(1)yf (1x)_._ 1f (x .x)(x 疋 X)12( xf (xx).注:f (x X)

9、 f (u) |u x x(2)yf(ex)ef(x)f(ex) ef(x)f(ex)ef(x)f (ex)(ex)ef(x)f(ex)ef(x)f (x)f (ex)exef(x)f (ex)ef(x)f (x)ef(x)f (ex)exf (ex)f (x).注：f (ex)f (u儿 ex(3)yarctan f(3x)f (3x)f (3x) (3x)3f (3x)1 f(3x)21 f(3x)21 f(3x)2 .(4)y2ln(1 f (x)1 f2(x) 2f(x)f (x)2 21 f (x)1 f (x).【习题2.2Ex7】(论证题)设f(x)是可导的偶函数，证明f (x)

10、奇函数.证：x,由f为偶函数得f(-x)= f(x),两边求导得(-x) f(-x) =f (x)，即f (-x) =-f (x)， x ,所以f (x)是奇函数【习题2.2Ex8】(论证题)设f(x)是可导的奇函数，证明f (x)奇偶函数.证：x ,由f为奇函数得f(-x)= - f(x),两边求导得(-x) f(-x) =- f (x)，即f (-X)二f (x), x ,所以f (X)是偶函数【习题2.2Ex9】(论证题)设f(x)是可导的偶函数，且f (0)存在，证明f (0)=0 .证：x ,由f为偶函数得f(-x)= f(x) ； 因 f (0)存在，故f (0)f(0) lim

11、f(x) f(0)令limf( h) f(0) lim f(h) f(0)f(0),x0xx 0 t 0 h 0hh0h所以f (0) 0.【习题2.3Ex1(1)(2)】求下列函数的二阶导函数:2解:(1) y ln(1 x2)(1 x ) 2x1 x【习题2.3Ex1(5)(6)】求下列函数的二阶导函数: (1 x2)2 x2.1 x2 2x x V1 x21 1 x2. 1 x211 x22x_ (1x2)x(1 x2)122x(1x2)22 (12 2x ) 2x22(1 x )2(1(1x2) x2)2.yYYY(2) y (e cos2x) (e ) cos2x e (cos2x)

12、xxe ( x) cos2x e ( sin2x)(2x)XXXe cos2x e ( 2sin2x) e (cos2x 2sin 2x),2(1 x)2xe (cos2x 2sin 2x)(e x) (cos2x 2sin 2x)xe (cos2x 2sin 2x)xe (cos2x 2sin 2x)xe ( 2sin2x 4cos2x)解：(5) yIn(x1 x2)11 x2(1x2)1 一1(1 x2)2(1 x2)2 3x )xe (4sin2x 3cos2x).(6) y2(1 x)22(1 x)24(1 x)4(1 x)4(1 x)4(1 x)x .1 x2 x v 1 x2.

13、1 x2【习题2.3Ex2(2)】求下列函数的二阶导函数:解： y2(xex )2e2x(ex )x2X2 2exe (x )x22 x2e2x ee (12x2),ye (12x2)x2(ex ) (12x22x2) ex (12x2)x2 22x2e (x ) (1 2x ) e 4xex 2x(1 2x2) ex 4x ex (6x 4x3).2234y lx 2 e2 (6 2 4 23 ) 44e4 .【习题2.3Ex3(1)-(3)】设f(x)可导，求下列函数的导函数:解: (1) yyf(x2)f (x2)(x2) 2x f (x2).2 2 2 22xf (x )2f (x )

14、 xf (x )(x )2 2 22 f (x ) 2x f (x ).f (x)f(x)f (x)f (x)f (x) f(x) f (x)f (x)2f(x)f (x)f(x) f (x)22f (x)1f ( 1 )x1 1f (1) (1)1 12 f (1).xxxx1111112 f()(2)f ()2 f()xxxxxx23xf(1)x :12 fx1 1()()xx23x11f ()- 41xx:(丄)x(3) yy【习题2.3Ex5(1)】求下列函数的n阶导函数：2解: (1) y (sin x) 2sin x(sin x) 2sinxcosx sin 2x ,ny(sin

15、2x)2cos2x 2sin( 2x),2y(2cos2x)22sin 2x 22sin(2x2；),y(22sin 2x)23 cos2x23 sin(2x3 ；),(n) n 1ny 2 sin 2x _(n 1).【习题 2.3Ex5(2)-(4)】(2)y(ax)ax ln a ,y(ax ln a)x aIn2a ,y(ax ln2a) axln3 a ,y(n)xna Ina.(3)y(x ln x)ln x1xxln x1 ,yln x 11 1 X ,xyx 12x ,(4)yx 2(1)22 1 x 3 ,(n)y2x(1)n(n 2)! x (n1) (n1)-(4)y(x

16、ex)exxe(1x )ex7y(1x)exx e(1x )e(2x)ex ,y(2x)exx e(2x )e(3x)ex ,(n)y(nx )ex .导数.I x = a cost【习题2.4Ex3(1)】求参数方程确定的 函数y=f (x)的y = bsin t解:*解:dxSgassintt%t。aa【习题2.4Ex4(2)】(书P57)求由方程所确定的隐函数 Injx2 y2 arctan的一阶导数 业ydx2 122x解:方程改写为Jn(xy ) arctan两边关于x求导得:2( x2( x2yy)y2)1y1 (x/y)2xy2 yy2xxy2 ,y化简为x yyy xy,即y

17、yx 12x，由此得yxyxy x2y 2xd2y d2 1 dy2 dy2x2(yx)2x(y 1)2y2xyy xx y(xy)2(yx)2(y x)2(x2 y2)_(x/y)2( x2 y2)1(x/y)22(x2 y2)(x y)3复习题二部分解答1 .填空题:1(1) f(t) limt 1 * xx设f(x)可导而极限2txte2t,则 f(t) e2t2te2t(1 2t)e2t.himh f af (a)a存在，贝ya- fmHhhdi(af3,则由 lim(x 2)0 得x 2(8)曲线f (2)= lim f (x)0,于是 f (2)m2H XXx=ef sin2t y

18、=et cos t在t=0处x=0, y=1,导数为设f(x)可导，则limf(4 x) f(2)lim f2(2x)f (2)f (2)x 2x 2x 22 x已知f(2) 2,则limf(2 x) f(2)1f(2 x) f(2)-lim1f (2)1.x 02 x2 2x 2 0x2(5)设 f(x) -x(x+1)(x+2)(x+n),f x) =(x+1)(x+2)(x+n) + x(x+2)(x+n)+ + x(x+1)(x+3)(x+n). 由此得f(0)= n!,(6)设 y=f(ln x) ef(x)，其中 f 可微,则11dy ydx f (ln x)ef(x) f (ln

19、 x)ef f(x) dx ef(x f (ln x) f (ln x) f(x) dx. xxyl o(et cost) (etsin2t) t0cost sint1sin2t 2cos2t t 02故在t=0的切线方程为2y-x-2=0;法线方程为y+2x-1=0.x=l n(1 +12)(9)已知y=arctan t(arctan t)1ln(1t2)1,则2t111t21t22t2 ex11x(10)设函数 f(x) 1 x,则f (x)1-2(11 xx) 1 1,得f (x)2( 1)(1x) 2,f (x)2(1 2)(1x) 3,f (x)2(1 23)(1x) 4,f(n)(

20、x)2(1)nn!(1x) n12(1)n n!n 1 (1x)0,x=0解:f (0).f (x) limx 0 x叫： 1/xx 0 1 e因为f (0)f (0),所以函数r ex, x 0lim f(x),又x 0lim e x 1,x 0分析：设g(x)=e x ,则g(x)及其导数g(x)=ex在( ,0皆为初等函数,故连续, 所以 g_(0)= eX|x=0= 1 .设 h(x)= x2+ax+b,贝U h(x)及其导数 h(x)=2x+a在0,+ ) 皆为初等函数，故连续，所以h_ (0)=(2x+a)|x=0=a .解:因f(x)在x=0处可导，故必连续，从而 ！叫f(x)l

21、im f (x) lim (x2 ax b) b,!im0 f (x)x 0x 0所以，b=1,而且当x0时f(x)=x2+ax+1 (比原定义增加x=0的定义).现在当x 0时f (x)二2x +a .注意到两个导 函数都是初等函数，故在指定区域连续.于是由可导性得5.设函数f(x)= lim f (x) lim f (x),x 0x 0xlim f (x) lim (a be ) a b,x 0x 0于是得(a)MO.讨论 f(x)在 x=alim |x a| (x)x a x a(a),a= f +(0)= f (0)=( e x)|x=o= 1 .7.求下列函数的导数(1) yaxxa

22、 (a 0,1)解:y=(axxa) (ax) xa+ax(xa)=(axln a)xa+ax(axa-1)= axxalna+ax+1xa-1. y=f(f(x)+f(sink),其中 f 可导.解:y=f(f(x) +f(sin2x)f(f(x)f(x) f(sin2x)(sin2x) =f (f(x)f (x)+ f(si n2x)2s in x(sinx) =f(f(x)f(x)+ f (si nY) sin2x.1)十(1 e2x)2x e y ln( ex. 12x ex2x (e e2x e)1ex 1 e2x2e2x2 1 e2xx2xe 1 exeexC，.1e2x1 e2x

23、(4) y=xf(x2)2,其中 f 可导.解:y=2xf(x2)xf(x2) =2xf (x2)f(x2)+xf(x2) =2xf(x2)f(x2)+xf (x2)(2x) = 2xf(x2)2+4x3f(x2)f (x2).(5)y d 口2 x)3x 2(2 x)3(1 x)5 (1 x)5 x 2(2 x)3ydx (1 x)51 .io(2(1 x)102 x -(2 x)3x 2(1x)5x)3 3 x2(2 x)22(x 2)10(1 x)(1 x)5 5(1 x)4 x2(2 x)3ddxxlntan cotx ln(1 sinx)2 x sec 2x 2ta n-22csc

24、x ln(1 sinx)cotx cosxsin x1sinx22cos xcsc x ln(1 sinx) 2 -sinx sin x2csc xln(1 si nx) 1.8.求下列方程所确定的隐函数的导数(2) e2x y cos(xy)e 1.解:原式两边对x取导数得e2x y(2y)sin(xy)(y xy)0,由此得2e2x ye2x yy sin( x sin( xy )xy)8.求下列方程所确定的隐函数的导数需(1) (cosy)x=(si nx)y ;解:原式两边取对数得xlncosy ylnsinx,两边对x取导数得In cosysin y V、.cosxy In sin

25、x y sin x由此得dydx9.求星形线x cosy,cosxIn cos y y sin x sin y x - cos y在 24In cos y ycot xIn sin xIn sin x xtan ydydxx=cos3t,3,y=si n3t (si n3t) (cos3t)处的切线和法线方程由此得切线斜率为k|23sin tcost23cos tsin t史Ii2, ,2dx |sin t costtan t3y.1,所以切线方程为法线方程为24244 424，2x 4法线斜率为k - 1.0.【附注】(i)由(x,y)=：，4 解得 t33，同样有43tan 41,k 1(

26、ii)为求3x=cos3t,y=si n3t的二阶导数d：y，可考虑d2ydx2d(y)dxd(dy/dx)dx(tant)3(cos t)2 .sec t3x=cos3t,dy . tan t. dx123cos tsin t3cos4 tsin t2另解:直接使用书P56公式 鸽 3(t) (t).dx2 (t)323333d y (sin t) (cos t) (sin t) (cos t)dx2(cos31)f2 22 2(3sincost) (_3cos_t sin t)_(3sincost)(_3cos_tsin t)3cos21 sintf2323(9cost sin t)( 2

27、sin t cos t sin t) cost sin t( 2costsin t cos t)6327 cos t sin t2 2 2 2(2 cos t sin t) sin t cost sin tcost( 2 sin t cos t)3cos5 tsin 2t2 2 2 2(2cos t sin t) ( 2sin t cos t)1443cos tsin t3cos t sin t【复习题二12】 设某商品的需求函数为 Q=150 2P2.(1) 求当价格P=6时的边际需求，并解释其经济意义；(2) 求当价格P=6时的需求价格弹性,解释经济意义；(3) 当价格P=6时，若价格下降

28、2%,总收益将变化百分之几？是增加还是减少？解:显然 Q(P)二一4P.当 P=6 时,Q=78 , Q(6)= 24.(1)当P=6时，边际需求Q (6)= 24V 0.其经济意义为:在价格P=6时,价格上涨(或下降)一个单位时，需求量Q将由78个单位起减少(或增加) 24个单位商品.(小大f大小；小小f大)当价格P=6时，需求价格弹性为7；(24)72391 .85,即当P=6时，1.85 1,该商品为高弹性商品；这说明在价格P=6时，价格上 涨(或下降)1%，需求量Q将从28个单位起减少(或增加)1.85%.此时边际收益 R (P) 0,提高价格会使总收益减少，降低价格会使总收益增加.(

29、3)商品销售总收益和边际收益分别为R(P)=P Q(P)=150P 2P3,R(P)=150 6P2.由此得R(6)=468, R 6)= 66,从而P=6时的收益价格弹性为Prp rR(P)急66)0.846,13即当价格P=6时,收益价格弹性2%,总收益将增加1.692%.rp 0.846 0.这就是说，若价格下降 (小小f大)其它杂题（求函数的导数、微分，导数的应用）【例1】求函数y=x2在点x=2处的导数。解 1： f (2) lim f(2 x) f(2)x 0x解2 :或俗処时彎严)lim X 21 . 2设 f (x) xsin0,lim f(x) f(0)x 0【例2】解：f

30、(0)时,f (x)limx 0sin2【例3】解：y2x2 ， 1 xsin 2x2 是由 y1 xy sin(x 求dy dx【例4】(2x)222lim lim(4x 0xX 0xx2疋卿xw222)。x) 4。f (x)xx)，求 f(2)及 f (0).1 2 sin x 0 lim x 0 x2x sin 2x sin x2xlimx2sin x2x2xx22 2细 xx) (2(x)x)(11 xxf2)2sin u，复合而成,22(1 x )(1 x2)22xcos21 x2y =ln tan x，求dydx解：函数y=lntanx是由y=ln u，u二tan x复合而成,则d

31、ydydy她u (蠹炉側冷强洽1 dxdx dMdu(dx uuusin xcosx【例5】y= e3u3解：函数y e是由ye, u x复合而成,，求乎.dx（i嗣n）xJsin1例6】ln sin x,求 21cos x cotx . sin x【例7】y3 1 2x2，求dy dx .解：dy(112x2)31(122x2) 3(1 2x2)4x3 3 (1 2x2)2dx3【例8】解:dydxlncos(ex),求密In cos(ex)【例9】解:1 x、cos(ex) cos(e )e:sin1e xsin1(e x)求dydxsin1x(sin 1)xsin!e x1cos_xr)

32、xsin1 e x1 cos 。x【例10】y sin nx sin x ( n为常数)，求-y . dx解：y (sin nx) sinnx + sin nx (sin nx)ncosnx sinnx+sin nx n sinn 1x (sin x)ncos nx sinx+nsinn 1x cosxn sinn 1x sin(n+1)x.【例11】 求函数y x3当x 2, x 0. 02时的微分。解：先求函数在任意点x的微分，dy (x3) x 3x2 x。再求函数当x 2, x 0. 02时的微分，dyx 2, x 0.023x2 xL 2, x 0.02 =3 22。.炉0.24。【

33、例 12】y e1 3xcos x,求 dy。解：应用积的微分法则，得dy d(e1 3xcos x) cosxd(e1 3x) e1 3xd(cos x)(cosx)e1 3x( 3dx) e1 3x( sin xdx) e1 3x(3cos x sin x)dx。【例13】在括号中填入适当的函数，使等式成立。解：(1)因为d(x2) 2xdx，所以11xidx -Gdxx)221 2OTirhbMxdx。(1) d( ) xdx；(2) d( ) cos t dt。一般地，有d(_x2 C) xdx (C为任意常数)。27函数的微分(2)因为 d(sin t) cos tdt，所以11 巾

34、cocos tdtdt1ddsSn 站)觀 1 sn t)。1因此 d(_sin t C) cos tdt (C为任意常数)。【例14】解: dy2y ln(1exx2ed ln(1求dy丿， 。eex2)ed(x2)et 2xdx1 ex111 ex2ed(x2)11 ex2ex22xdx22xex彳 x21 edx.【例15】求函数yarcta n的微分。解：y1212x2x11 x2所以dy1y dx 2 dx1 x2【例16】设1 xe1 x，求1 x解：y e 1 x1 x)e1严)1 X e 1X(1 x) (1 x)(1 x)2=e (1x)(1 x)3【例17】(对数求导法)设y x(s