高考文科数学专题复习导数训练题 文

1、在点，点，将点例4. 已知曲线 c ：，直线3 2y =3x -6 x +2222 x -3 x =000a2时，考点一：求导公式。例1.f(x)是1 f ( x ) = x33+2 x +1的导函数，则f(-1)的值是 。解析：f (x)=x2+2 ，所以 f (-1)=1+2=3答案：3考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数y = f ( x)的图象在点m (1，f (1)处的切线方程是1y = x +2 2，则f (1)+ f (1) =。解析：因为k =12，所以f (1)=12，由切线过点m (1，f (1)，可得点 m的纵坐标为52，所以f (1)=52，所以 例3.曲线f (

2、1)+f(1)=3y =x 3 -2 x 2 -4 x +2 (1，-3)答案：3处的切线方程是 。解析：y =3x 2 -4 x -4 (1，-3)处切线的斜率为k =3 -4 -4 =-5，所以设切线方程为y =-5x +b (1，-3)带入切线方程可得 b =2 ，所以，过曲线上点(1，-3)处的切线方程为：5 x +y -2 =0考点三：导数的几何意义的应用。y =x 3 -3x 2 +2 x l : y =kx(x0,y0 )x0 0 ，求直线 l 的方程及切点坐标。，且直线 l 与曲线 c 相切于点解 析 ： q直 线 过 原 点 ， 则k =yx00(x 00)。 由 点(x,

3、y00)在 曲 线 c 上 ， 则y =x -3 x +2 x 0 0 00，yx00=x02-3 x +20。又 ，在(x, y00)处 曲 线 c 的 切 线 斜 率 为k = f (x)=3x2 -6 x +20 0 0， x02-3 x +2 =3 x -6 x +20 0 0，整理得： 0 03x =，解得： 2 或x =00（舍），此时，3 1 1y =- k =- y =- x8 ， 4 。所以，直线l 的方程为 4 ，切点坐标是3 3 , - 2 8 。考点四：函数的单调性。例5.已知f (x)=ax3 +3 x 2-x +1在r上是减函数，求 的取值范围。解析：函数 f (x

4、)的导数为f (x)=3ax+6x -1。对于 x r 都有f (x)0 f (x)为减函数。由3ax2+6 x -1 0(xr)可得a 0d=36 +12 a 0，解得a -3。所以，当对3()3 23x 0，3 f ( x ) c 2，解得f ( x) =2 x -9 x +12 x +8c f (x) =6 x32时，；当时，；当时，又，22f (x)，求f (x)=x-ax -4 x +4a3 2( )a -3时，函数 f (x)在r上存在增区间。所以，当 a -3时，函数 f (x)在r 上不是单调递减函数。综合（1 ）（2）（3）可知a -3。 答案：a -3考点五：函数的极值。例

5、6. 设函数f ( x) =2 x3 +3ax2 +3bx +8c在 x =1 及 x =2 时取得极值。（1）求a、b的值；（2）若对于任意的 ，都有 成立，求c 的取值 范围。解析：（ 1 ）f (x) =6 x2+6ax +3b，因为函数f ( x)在 x =1 及 x =2 取得极值，则有f(1) =0 f(2) =0即6 +6 a +3b =0， 24 +12 a +3b =0a =-3， b =4 。（2）由（）可知， ，2-18x +12 =6( x -1)( x -2)。当x (0，1) f (x) 0 x (1，2) f (x) 0。所以，当 x =1 时，f ( x )取得

6、极大值f (1) =5 +8c f (0) =8c f (3) =9 +8c。则当x 0，3时， f ( x) 的最大值为 f (3) =9 +8c 。因为对于任意的 x 0，3，有f(x) c 恒成立，所以9 +8c c2，解得c 9，因此c的取值范围为( -，-1)u(9，+)。答案：（1）a =-3， b =4 ；（2）( -，-1)u(9，+)。考点六：函数的最值。例7. 已知 a 为实数， f (x)=(x-4)(x-a)。求导数 在区间 -2,2上的最大值和最小值。；（2）若f (-1)=0 f (x)解析：（1） ，f (x)=3x2-2ax-4。1 a =（2） f -1 =3

7、 +2a -4 =0 ， 2 。 f (x)=3x2-x-4=(3x-4)(x+1)令f (x)=0，即(3x-4)(x+1)=0，解得x =-1或x =43， 则f (x)和f(x)在区间-2,2上随 x 的变化情况如下表：0增函数0极大值减函数0极小值 增函数0ff (x)=3x(1, f (1)f ( x ) -1,3f ( x) f (-x) =-f ( x )f ( x) =2 x -12 x3和，在 上的最大值是bcdf (-1)=9 4 =- 2 ， 3 5027。所以，f (x)在区间-2,2上的最大值为f4 50 =-3 27，最小值为f (-1)=92。答案：（1）2-2a

8、x -4；（2）最大值为f4 50 =-3 27，最小值为f (-1)=92。考点七：导数的综合性问题。例8. 设函数f ( x ) =ax3+bx +c ( a 0)为奇函数，其图象在点 处的切线与直线x -6 y -7 =0垂直，导函数f ( x )的最小值为 -12 。（1）求 a ， b ， c 的值；（2）求函数f ( x )的单调递增区间，并求函数在 上的最大值和最小值。解析： （1） 为奇函数， ，即-ax 3 -bx +c =-ax 3 -bx -c c =0 ，f (x) =3ax2+b的最小值为 -12 ，b =-12，又直线x -6 y -7 =0的1斜率为 6 ，因此，

9、f (1) =3a +b =-6， a =2 ， b =-12 ， c =0 （2） 。f ( x) =6 x 2 -12 =6( x + 2)( x - 2)，列表如下：增函数极大减函数极小增函数所 以函 数f ( x )的 单调 增 区 间是( -,- 2) ( 2, +)， f ( -1) =10，f ( 2) =-8 2 f (3) =18 f ( x ) -1,3 f ( 2) =-8 2。f (3) =18，最小值是答案：（1）a =2 ，b =-12 ，c =0 ；（2 ）最大值是f (3) =18，最小值是f ( 2) =-8 2。4 强化训练 一、选择题1. 已知曲线y =x

10、 24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（a）a1 b2 c3 d42. 曲线y =x3-3 x2+1在点（1 ，1 ）处的切线方程为（b）ay =3 x -4 y =-3x +2 y =-4x +3 y =4 x -53. 函数y =( x +1) 2 ( x -1)在 x =1 处的导数等于 （ d）a1 b2 c3 d44. 已知函数f ( x)在x =1处的导数为3, 则f ( x)的解析式可能为（a）af ( x) =( x -1)2+3( x -1)bf ( x) =2( x -1)，已知a(2, +) ( -,2) ( -,0)- x 30, 63)在y =x3p (2,

11、4) p (2, 4)( n )65cf ( x) =2( x -1)2df ( x ) =x -15. 函数f ( x) =x3 +ax 2+3 x -9 f ( x )在x =-3时取得极值，则 =（ d）（a）2（b）3（c）4（d）56. 函数f ( x ) =x 3 -3 x 2 +1是减函数的区间为( d )（） （） （） （）(0, 2)7. 若函数f (x)=x2+bx +c的图象的顶点在第四象限，则函数f (x)的图象是（ a ）8. 函数f ( x ) =2 x213 在区间 上的最大值是（a）32 16a 3b 3c12d 99. 函数y =x3-3x的极大值为 m ，

12、极小值为 n ，则 m +n 为 （ a）a0 10. 三次函数b1f (x)=ax+x在 x (-,+c 2 d4 内是增函数，则 （ a）aa 0ba 0ca =1da =13p11. 在函数y =x 3 -8 x的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是 （ d ）a3b2 c1 d012. 函数f ( x)的定义域为开区间( a , b )，导函数f(x) ( a , b )内的图象如图所示，则函数f ( x)在开区间( a , b )内有极小值点（ a ）a1个 b2个 c3个 d 4个 二、填空题13. 曲线 在点 _。(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x =2

13、 所围成的三角形的面积为14. 已 知 曲 线1 4 y = x3 +3 3， 则 过 点 “ 改 为 在 点 ” 的 切 线 方 程 是_15. 已知 f ( x) 是对函数 f ( x ) 连续进行n次求导，若 f ( x) =x +x ，对于任意 x r ，都有f ( n ) ( x)=0，则n的最少值为 。16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 x 吨，运费为4万元次，一年的总存储费用为 4 x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨三、解答题x =17. 已知函数f ()x=x3 +ax 2+bx +c，当x =-1时，取得极大值 7 ；当 x =3 时，取得

14、极小值求这个极小值及a , b, c的值解：f (x)=3x2+2ax +b。令，解得，所以递增，又由于在 2 ， 1上单调递减，因此和故-2,2，32，2 3 2 3据题意，1，3是方程3 x2+2 ax +b =0的两个根，由韦达定理得-1 +3 =- b -13 = 32 a3a =-3, b =-9f (x)=x3-3x2-9x +c f (-1)=7，c =2极小值f (3)=33-332-93+2=-25极小值为25 ，a =-3, b =-9， c =2 。18. 已知函数f ( x ) =-x3 +3 x 2+9 x +a.（1）求f ( x)的单调减区间；（ 2）若f ( x

15、)在区间 2 ，2.上的最大值为20 ，求它在该区间上的最小值 .解：（1）f(x) =-3x2+6 x +9. f(x) 0 x 3,所以函数f ( x)的单调递减区间为( -,-1),(3, +).（2）因为f ( -2) =8 +12 -18 +a =2 +a , f (2) =-8+12 +18 +a =22 +a ,所以f (2) f ( -2).因为在（1，3）上f(x) 0 f ( x )在1，2上单调f ( x) f (2) f ( -1)间 -2,2上的最大值和最小值 .于是有 22 +a =20 ，解得 a =-2.分别是f ( x)在区f ( x) =-x3 +3 x 2

16、 +9 x -2. 上的最小值为7.因 此f ( -1) =1 +3 -9 -2 =-7,即 函 数f ( x)在 区 间19. 设 t 0 ，点p （ t ，0）是函数f ( x) =x 3 +ax与g ( x) =bx 2 +c的图象的一个公共点，两函数的图象在点 p处有相同的切线。（1）用 t 表示a , b, c；（2）若函数y = f ( x ) -g ( x)在（1，3）上单调递减，求t的取值范围。解：（1）因为函数f ( x) g ( x)的图象都过点（ t ，0），所以f (t ) =0，即 t +at =0 .因为 t 0, 所以 a =-t .g (t ) =0, 即bt2

17、+c =0, 所以c =ab.又因为f ( x) g ( x)在点（ t ，0）处有相同的切线，所以f (t) =g (t).而f (x) =3 x 2 +a, g (x) =2bx, 所以3t 2 +a =2bt.将 a =-t 代入上式得 b =t . 因此 c =ab =-t . 故 a =-t ， b =t ， c =-t .（2）y = f ( x) -g ( x) =x3 -t 2 x -tx 2 +t 3 , y=3 x2 -2tx -t 2=(3 x +t )( x -t ).当y =(3x +t )( x -t ) 0, 则 - x t由 y 0，若 3 ；若tt 0, 则t

18、 x - .3由题意，函数y = f ( x ) -g ( x)在（1，3）上单调递减，则t t( -1,3) ( - , t )或( -1,3) (t ,- ).3 3所以t 3或 -t33.即t -9或t 3.又当-9 t 3时，函数y = f ( x ) -g ( x)在（1，3）上单调递减.所以 t 的取f (x)=x3+bx2+cx f (x)=3x2+2bx+cg ( x) =x -6x g(x) =3x -632和( - 2, 2)m2 333-11)， (1，3-11)， (1，3值范围为( -,-93, +).20. 设函数f (x)=x3+bx2+cx ( x r )，已知

19、g ( x ) = f ( x ) - f(x)是奇函数。（1）求b、c的值。（2 ）求g ( x )的单调区间与极值。解：（1） ， 。从而g ( x) = f ( x) -f 函数，(x) =x 3 +bx 2 +cx -(3x2 +2bx +c) x3 +(b -3)x2 +(c -2b) x -c是一个奇所以g (0) =0得 c =0 ，由奇函数定义得 b =3 ；（2）由（）知 ，从而 ，由此可知，( -,- 2) ( 2, +)是函数g ( x )是单调递增区间；是函数g ( x )是单调递减区间；g ( x )在x =- 2时，取得极大值，极大值为 4 2 ，g ( x )在

20、x = 2 时，取得极小值，极小值为 -4 2 。21. 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比 为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解 ： 设 长 方 体 的 宽 为 x （ m ） ， 则 长 为 2 x (m) ， 高 为h =18 -12 x4=4.5 -3 x(m)3 0x 2 .故长方体的体积为v (x)=2x2(4.5-3x )=9x2-6 x3(3)0 x 32从而v (x) =18 x -18x 2 (4.5 -3 x) =18x(1 -x).令v (x)=0，解得 x =0 （舍去）或 x =1 ，因此

21、x =1 .当0 x 0；当1 x 32时，v (x)0，故在 x =1处 v (x)取得极大值，并且这个极大值就是 v (x)的最大值。从而最大体积 v =v (x)=91-61(m)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为 3m 。22. 已知函数1 1 f ( x) = x3 + ax3 22+bx在区间， 内各有一个极值点（ 1 ）求a 2 -4b的最大值；当a2-4b =8时，设函数y = f ( x)在点a(1， f (1)处的切线为 l ，若l 在点 a处穿过函数y = f ( x)的图象（即动点在点

22、 a附近沿曲线y = f ( x)运动，经过点 a时，从l的一侧进入另一侧），求函数f ( x)的表达式解：（1）因为函数1 1f ( x) = x3 + ax 2 +bx 3 2在区间， 内分别有一个极值点，所以f (x) =x2+ax +b =0 在 -11)， (1，3 内分别有一个实根，x x x -x = a 2 -4b知在点2（+ 1 + x - 2 +222设两实根为x ，x1 2（ 1 2 ），则 2 1 ，且0 x -x 42 1于是0 a2-4b 4，0 a2-4b 16，且当x =-1，x =3 1 2，即a =-2， b =-3时等号成立故a 2 -4b的最大值是16（2）解法一：由f(1) =1 +a +b f ( x ) (1， f (1)处的切线 l 的方程是y - f (1) = f(1)(x -1)，即2 1y =(1+a +b ) x - - a3 2，因为切线l在点a(1， f ( x)处空过y = f ( x)的图象，所以2 1g ( x) = f ( x) -(1+a +b ) x - - a3 2在x =1两边附