点、直线、平面之间的位置关系(1)

1、111ruize2.3.32.3.4 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质a 组1.在正方体 abcd-a b c d 中,直线 l(与直线 bb 不重合)平面 a c ,则有( )1 1 1 1 1 1 1a.b bl b.b bl1 1c.b b 与 l 异面 d.b b 与 l 相交1 1解析:因为 b b平面 a c ,又 l平面 a c ,则 lb b.1 1 1 1 1 1答案:b2.已知长方体 abcd-a b c d 中,在平面 ab 上任取一点 m,作 meab 于 e,则( )1 1 1 1 1a.me平面 ac b.me平面 acc.me平面 ac d.以上都有可能

2、解析:由于平面 ab 平面 ac,平面 ab 平面 ac=ab,meab,me平面 ab ,所以 me平 面 ac.答案:a3.已知 l平面 ,直线 m平面 .有下面四个命题:lm;lm;lm;lm.其中正确的两个命题是( )a. b. c. d.解析:l,l.又 m,lm,故正确.由 l, 可得 l 或 l,再由 m 内得不到 lm,故错.l,ml,m,m.,故正确.若 =m,也可满足 l,lm,故错. 答案:d4.如图所示,三棱锥 p-abc 的底面在平面 内,且 acpc,平面 pac平面 pbc,点 p,a,b 是 定点,则动点 c 的轨迹是( )a. 一条线段b. 一条直线c. 一个

3、圆d. 一个圆,但要去掉两个点解析:平面 pac平面 pbc,acpc,平面 pac平面 pbc=pc,ac平面 pac,ac平 面 pbc.又bc平面 pbc,acbc.acb=90.动点 c 的轨迹是以 ab 为直径的圆,除去 a 和 b 两点. 答案:druize5.如图所示,在三棱锥 p-abc 中,pa平面 abc,d 是侧面 pbc 上的一点,过 d 作平面 abc 的垂线 de,其中 dpc,则 de 与平面 pac 的位置关系是 .解析:de平面 abc,pa平面 abc,depa.又 de平面 pac,pa平面 pac,de平面 pac.答案:平行 6.在三棱锥 v-abc

4、中,当三条侧棱 va,vb,vc 之间满足条件 时,有 vcab.(注:填 上你认为正确的一种条件即可)解析:只要 vc平面 vab,即有 vcab;故只要 vcva,vcvb 即可.答案:vcva,vcvb(答案不唯一,只要能保证 vcab 即可)7.已知 , 是两个不同的平面,m,n 是平面 及 之外的两条不同直线,给出四个论断:mn;n;m.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 .解析:如图所示,由 ,n,m,得 mn.由 mn,n,m,得 .答案:(或)8.如图,在四棱锥 p-abcd 中,平面 pad平面 abcd,ab=ad,bad=60,e,f

5、分别是 ap,ad 的中点.求证:(1)直线 ef平面 pcd;(2)平面 bef平面 pad.证明:(1)如图, pad 中,因为 e,f 分别为 ap,ad 的中点,所以 efpd.ruize又 ef平面 pcd,pd平面 pcd,所以直线 ef平面 pcd.(2)连接 bd.因为 ab=ad,bad=60,所 abd 是正三角形.因为 f 是 ad 的中点,所 以 bfad.因为平面 pad平面 abcd,bf平面 abcd,平面 pad平面 abcd=ad,所以 bf平面 pad.又因为 bf平面 bef,所以平面 bef平面 pad.9.如图,已知平面 平面 =ab,pq 于点 q,

6、pc 于点 c,cd 于点 d.求证:(1)p,c,d, q 四点共面.(2)qdab.证明:(1)因为 pq,cd,所以 pqcd,于是 p,c,d,q 四点共面.(2)因为 ab,所以 pqab.又因为 pc,ab,所以 pcab.又因为 pqpc=p,设 p,c,d,q 四点共面于 ,则 ab,又因为 qd,所以 qdab.b 组1.设有直线 m,n 和平面 ,.下列四个命题中,正确的是 ( )a. 若 m,n,则 mnb. 若 m,n,m,n,则 c. 若 ,m,则 md. 若 ,m,m,则 m解析:选项 a 中,m,n,m 与 n 可能平行,可能相交,也可能异面;选项 b 中,m,n

7、,m ,n, 与 可能平行,可能相交;选项 c 中,m,m 与 可能垂直,可能斜交.答案:d2.1ruize如图,在斜三棱柱 abc-a b c 中,bac=90,bc ac,则点 c 在平面 abc 上的射影 h 必1 1 1 1 1在 ( )a. 直线 ab 上b. 直线 bc 上c. 直线 ac 上d. abc 的内部解析:因为 bc ac,abac,bc ab=b,1 1所以 ac平面 abc .1又 ac平面 abc,所以平面 abc平面 abc .又平面 abc平面 abc =直线 ab,1所以过点 c 再作 c h平面 abc,则 hab,1 1即点 c 在平面 abc 上的射影

8、 h 在直线 ab 上.1答案:a3.在三棱锥 p-abc 中,平面 pac平面 abc,pca=90,abc 是边长为 4 的正三角形,pc=4,m 是 ab 边上的一动点,则 pm 的最小值为( )a.2 b.2c.4 d.4解析:连接 cm,则由题意知 pc平面 abc,可得 pccm,所以 pm=,要求 pm 的最小值只需求出 cm 的最小值即可, abc 中,当 cmab 时 cm 有最小值,此时有 cm=4=2,所以 pm 的最小值为 2.答案:b4.如图,已知平面 平面 =l,ea,垂足为 a,eb,垂足为 b,直线 a,aab,则直线 a 与直 线 l 的位置关系是 .解析:e

9、a,平面 平面 =l,即 l,lea.同理 leb.又 eaeb=e,l平面 eab.eb,a平面 ,eba.又 aab,ebab=b,a平面 eab,al.ruize答案:平行 5.如图,a,b, c,d 为空间四点,在abc 中,ab=2,ac=bc=,等边三角形 adb 以 ab 为轴运动, 当平面 adb平面 abc 时,cd= .解析:取 ab 的中点 e,连接 de,ce,因为adb 是等边三角形,所以 deab.当平面 adb平面 abc 时,因为平面 adb平面 abc=ab,所以 de平面 abc.可知 dece.由已知可得 de=,ec=1,在 rtdec 中,cd=2.答

10、案:26.如图,在空间四边形 abcd 中,平面 abd平面 bcd,bad=90,且 ab=ad,则 ad 与平面 bcd 所成的角是 .解析:过 a 作 aobd 于点 o,平面 abd平面 bcd,ao平面 bcd,则ado 即为 ad 与平面 bcd 所成的角. bad=90,ab=ad,ado=45.答案:45ruize7.如图所示,在四棱锥 p-abcd 中,底面 abcd 是边长为 a 的菱形,dab=60,侧面 pad 为 正三角形,其所在平面垂直于底面 abcd.(1) 求证:adpb;(2) 若 e 为 bc 边的中点,能否在棱 pc 上找到一点 f,使平面 def平面 a

11、bcd?并证明你的 结论.(1)证明:设 g 为 ad 的中点,连接 pg,bg,如图.pad 为正三角形,pgad.在菱形 abcd 中,dab=60,g 为 ad 的中点, bgad.又 bgpg=g,ad平面 pgb.pb平面 pgb,adpb.(2)解:当 f 为 pc 的中点时,满足平面 def平面 abcd. 设 f 为 pc 的中点,连接 gc 交 de 于 h,连接 fh. gbde,且 e 为 bc 中点,h 为 gc 中点. fhpg.由(1)知 pg平面 abcd,fh平面 abcd. fh平面 def,平面 def平面 abcd.8.如图,在边长为 4 的正方形 abcd 中,点 e,f 分别是 ab,bc 上的点,将aed 和dcf 折起, 使 a,c 两点重合于点 p.(1) 求证:pdef;(2) 当 be=bf=bc 时,求四棱锥 p-bedf 的体积.(1)ruize证明:折起前 adae,cdcf,折起后 pdpe,pdpf.pepf=p,pd平面 pef.ef 平面 pef,pdef.(2)解:当 be=bf=bc 时,由(1)可得 pd平面 pef,此时,ef=,s =, =s =34=6.bef ade cdfpfe 的高为 h =