小学思维数学讲义：分解质因数(二)-含答案解析

1、2aaa1 2 3分解质因数（二）教学目标1.2.能够利用短除法分解整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为. 的结构，而且 表达形式唯一”知识点拨一、质因数与分解质因数（1）. 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）. 互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数.（3）. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如： 30 =2 3 5 .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如 12 =2 2 3 =2 3 ，2、3 都叫做 12 的质因数， 其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约

2、数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法2 12例如： 2 6 ，（是短除法的符号） 所以 12 =2 2 3 ；3二、唯一分解定理任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即： n = p 1 p 2 p 3 a a a 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为 n 的质因子分解式.1 2 kpakk其中为质数，例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数.分析：210=2357，可知这三个数是 5、6 和 7.三、部分特殊数的分解111 =3 37 ；1001 =7

3、 11 13 ；11111 =41271 ；10001 =73 137 ；1995 =3 5 7 19 ；1998 =2 3 3 3 37 ； 2007 =3 3 223 ； 2008 =2 2 2 251 ；10101 =3 7 13 37 .例题精讲模块一、分数的拆分【例 1】 算式“1 1 1 1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希望杯” 。 希 望 杯【考点】分数的拆分 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 19 题，6 分【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即 是三分之一，那么剩下的只能是六分之一

4、.希+望+杯=2+3+6=1111- =( x +y )【答案】 11【例 2】 3 个质数的倒数之和是16611986，则这 3 个质数之和为多少【考点】分数的拆分 【难度】3 星 【题型】解答1 1 1【解析】 设这 3 个质数从小到大为 a 、b 、 c ，它们的倒数分别为 、 、 ，计算它们的和时需通分，且通a b cf分后的分母为 a b c ，求和得到的分数为 ,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为 a 、abcb 、 c 或它们之间的积.现在和为16611986，分母1986 =2 3 331，所以一定是 a =2 ， b =3 ， c =331 ，检验满足.所以这 3

5、个质数的和为 2 +3 +331 =336 【答案】 2 +3 +331 =336【例 3】 一个分数，分母是 901 ，分子是一个质数现在有下面两种方法： 分子和分母各加一个相同的 一位数； 分子和分母各减一个相同的一位数用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后7是 那么原来分数的分子是多少13【考点】分数的拆分 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 因为新分数约分后分母是 13 ，而原分母为 901 ，由于 901 13 =69 4 ，所以分母是加上 9 或者减 去 4 若是前者则原来分数分子为 7 70 -9 =481 ，但 481 =13 37 ，不是质数；若是后者则原来分 数分子是

6、 69 7 +4 =487 ，而 487 是质数所以原来分数分子为 487 【答案】 487【例 4】 将 1 到 9 这 9 个数字在算式()()()()()()的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】填空【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是 2 ， 3 ， 5 ，7. 将原始代入字母分析有 b d cb- ad 1- = = ，即有 cb -ad =1 ，那么很容易发现只有 35-27=1 。符合原式的填法为 a c a c a c3 2 1- = 。7 5 353 2 1【答案】

7、- =7 5 351 1 1【例 5】 求满足条件 + =的 a、b 的值(a、b 都是四位数) a b 1001【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 取 1001 的两个不同约数 x、 y ( x y ) ，得到：1 x +y x y 1= = + = + 1001 1001(x +y) 1001(x +y ) 1001(x +y ) 1001 1001x y1( x +y )，因为 x、y 都是 1001 的约1001 1001数，所以 、 都是整数所以只需令 a = x y1001（x +y）， b =x1001（x +y）就可以了而 a、b y都要大于 1001，要

8、保证 a、b 都是四位数，所以 a、b 的比值都要小于 10，即 x、y 的比值小于 10而 1001 的两个互质且比值小于 10 的约数有以下几组：（1,7）、（7,11）、（7,13）、（11,13）、（11,91）、 （13,77）所以我们依次取 x、y 为上面所列的数对中的数，代入 a、b 的表达式，得到本题的答案：2()()()()()()()()= -2a =8008,2574,2860,2184,9282,6930b =1144,1638,1540,1848,1122,1170【答案】a =8008,2574,2860,2184,9282,6930b =1144,1638,154

9、0,1848,1122,1170【巩固】 若1 1 1= + ，其中 a、b 都是四位数，且 an )，有：1 m -n m n 1 1= = - = -n n ( m -n ) n ( m -n ) n (m -n ) a b 本题 10 的约数有：1 ，10，2，51 1 +2 1 2 1 1例如：选 1 和 2，有： = = + = + ；10 10 (1 +2) 10 (1 +2) 10 (1 +2) 30 15从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的 m 和 n ，它们的数值虽然不同，但是如果 m 和 n 的比值相同，那么最后得到的 a 和 b 也是相同的本题中，从 10 的约

10、数中任取两个数， 共有 c +4 =10 种，但是其中比值不同的只有 5 组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题4共可拆分成 5 组具体的解如下：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + = + = + = + = +10 20 20 11 1 1 0 1 2 6 0 1 4 3 5 1 53 010 的约数有 1、2、5、10，我们可选 2 和 5：3= + = - = + + = - -= + = - = + + = - -= + = - = + + = - -= - - = + += - - = + +()()()1 5 -2 5 2 1 1

11、 = = - = -10 10 (5 -2) 10 (5 -2) 10 (5 -2) 6 15 另外的解让学生去尝试练习【答案】（1）（2）1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + = + = + = + = +10 20 20 11 110 12 60 14 35 15 30 1 1 1= -10 6 15【例 7】 如果1 1 1= - ， a，b 均为正整数，则 b 最大是多少？ 2009 a b【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】101 中学，分班考试1 1 1【解析】 从前面的例题我们知道，要将 按照如下规则写成 - 的形式：n a b1 m -n m

12、 n 1 1= = - = - ，其中 m 和 n 都是 n 的约数。n n ( m -n ) n ( m -n ) n (m -n ) a b如果要让 b 尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的 n 尽可能地小而 m 尽可能地大，因此应当 m 取最大的约数，而 n 应取最小的约数，因此 m =2009 ， n =1 ，所以 b =2009 2008 .【答案】 b =2009 2008【巩固】1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 45 ()()()()()()()()()()【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】填空【解析】【答案】1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 45

13、 (72)(120) (18)(30)(405)(135)(81)(9)(15)(45) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 45 (72)(120)(18)(30)(405)(135)(81)(9)(15)(45)【例 8】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立1 1 1 1 1 1 110 ()()()()()()【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】填空【解析】 先选 10 的三个约数，比如 5、2 和 1，表示成连减式 5 -2 -1 和连加式 5 +2 +1 则：1 1 1 1 1 1 1 10 (4)(10)(20)(80)(40)(16)1 1 1 1 1 1

14、 1如果选 10、5、2，那么有： = - - = + + 10 3 6 15 17 34 85另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的 一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了 3 个单位分数的和或差了比如，要得到1 1 1 1 1 1 1= + + ，根据前面的拆分随意选取一组，比如 = + ，再选择 10 10 12 60其中的一个分数进行拆分，比如1 1 1 1 1 1 1 = + ，所以 = + + 12 13 156 10 13 60 156【答案】1 1 1 1= + +10 13 60 1561 1 1【例

15、 9】 已知等式 = + 其中 a，b 是非零自然数，求 a+b 的最大值。15 a b【考点】分数的拆分 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第 13 题4【解析】 易知，1 m +n m n = = +15 15(m +n ) 15(m +n ) 15(m +n )，令（m，n）为互质的一对数，现在要让分母为 1，只需 m，n 是 15 的一对互质的约数即可。1 1 1当(m，n)=（1，1）时， = + ，此时，a+b=60；15 30 301 1 1当(m，n)=（1，3）时， = +15 60 201 1 1当(m，n)=（1，5）时， = +15 90 18，此时，

16、a+b=80；，此时，a+b=108；1 1 1当(m，n)=（1，15）时， = +15 240 16，此时，a+b=256；当(m，n)=（3，5）时 ，1 1 1= +15 40 24，此时，a+b=64；所以，a+b 的最大值为 256。【答案】 256模块四、分解质因数的综合应用【例 10】 a ， b 都是整数， a 大于 b ，且 a b =2009 , 那么 a -b 的最大值为 ，最小值 为 。【考点】 【难度】 【题型】填空【关键词】走美杯，3 年级，初赛【解析】 2009 =2009 1 =287 7 =49 41最大值为 2009 -1 =2008最小值为 49 -41

17、 =8【答案】最大为 2008 ，最小为 8【例 11】 写出所有数字和为 11，数字乘积为 20 的四位偶数：_【考点】 【难度】 【题型】填空【关键词】走美杯，3 年级，初赛【解析】 本题属于数字拆分，目的就是讲 11 拆成四个数字和，20 拆成 4 个数字的乘积，需要确定的是个位 数字为偶数。根据拆分的特点应该从 20 开始拆分。先将 20 分解质因数为：20 =2 2 5 ，所以各个 数位数字乘积为 20 的数字有：2、2、5、1；4、5、1、1；数字和分别为 10 和 11，符合条件的是 4、 5、1、1 这四个数字组成的四位偶数，所以答案为 1154、1514、5114 这 3 个

18、答案。【答案】1154、1514、5114【例 12】 在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字 5 看成 8，由此得乘积为 1872那 么原来的乘积是多少?【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 1872=22223313=口口口口，其中某个口为 8，一一验证只有：1872=4839，1872=7824 满 足当为 1872=4839 时，小马虎错把 5 看成 8，也就是错把 45 看成 48，所以正确的乘积应该是 4539=1755当为 1872=7824 时，小马虎错把 5 看成 8，也就是错把 75 看成 78，所以正确的乘积 应该是 75

19、24=1800所以原来的积为 1755 或 1800【答案】1755 或 1800【例 13】 两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不 同的算式，但巧合的是，他们计算的结果都是 936.如果正确的乘积不能被 6 整除，那么它等于多 少？【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 注意 936 中有质因数 13，故易见将其分解成两个两位数相乘的形式有13 72 ， 26 36 ， 39 24 ， 52 18 ， 78 12 这 5 种可能，由于两人各抄错了一个数字，因此两人的算式中应有两个位置上的数 字相同.经枚举可知，他们所

20、抄错的算式可能是( 13 72 ，18 52 )，( 13 72 ，12 78 )，( 26 36 ，24 39 )5或( 52 18 ，12 78 ).对于第一种情况，两人抄错的是第一个乘数的个位数字和第二个乘数的十位数 字，正确的算式应是13 52 或18 72 ，后者乘积是 6 的倍数，与题意不符，故原算式应为前者，正 确的乘法算式是13 52 =676 .对后三种情况作类似分析，可得出2 3 =6 种可能的原乘法算式，但它 们的结果都是 6 的倍数，不合题意.因此 676 即为所求.【答案】676【例 14】 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过 10 的

21、自然数甲、乙两名运 动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到的环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少 4 环求甲、乙的 总环数各是多少？【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 应对应为 5 个小于 10 的自然数乘积通常我们会考虑将 1764 的 6 个质因数组合为 5 个因数，从而 这 5 个 因 数 一 定 都 是 大 于 1 的 ， 于 是 得 到 了 如 下 几 种 分 解 情 况 1764=43377 =26377=22977 但是发现其中任何两组的和的差均不是 4.原因是我们忽略了在题目叙述实 际环境中还会有 1 环存在，从而要考虑含有因数 1 的另外

22、 2 种情况 1784=16677=14977所 以总的情况对应的和依次为 4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25 ，2+2+9+7+7=27 ， 1+6+6+7+7=27 ， l+4+9+7+7=28对应的和中只有 24，28 相差 4，所以甲的 5 箭环数为 4、3、3、7、7，乙的 5 箭环 数为 1、4、9、7、7所以甲的总环数为 24，乙的总环数为 28。【答案】甲的总环数为 24，乙的总环数为 28【例 15】 某校师生为贫困地区捐款 1995 元这个学校共有 35 名教师，14 个教学班各班学生人数相同且多于 30 人不超过 45 人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么

23、平均每人捐款多少元?【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 这个学校最少有 35+1430=455 名师生，最多有 35+1445=665 名师生，并且师生总人数能整除 19951995=35133，在 455665 之间的约数只有 5133=665，所以师生总数为 665 人，则平均每 人捐款 1995665=3 元【答案】3【例 16】 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树 312 棵，老师与学 生每人种的树一样多，并且不超过 10 棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3 星 【题型】解

24、答【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过 10 所以通过枚举法来解(注意 人数是减去 1 后是 3 的倍数)：1 312 ， 312 -1 =311 不是 3 的倍数； 2 156 ，156 -1 =155 不是 3 的 倍数；3 104 ，104 -1 =103 不是 3 的倍数； 4 78 ，78 -1 =77 不是 3 的倍数；6 52 ， 52 -1 =51 是 3 的倍数； 8 39 ， 39 -1 =38 不是 3 的倍数；共有 51 个学生，每个人种了 6 棵树.【答案】共有 51 个学生，每个人种了 6 棵树【巩固】 某班同学在班主任老师带领下去

25、种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多， 共种了 1073 棵，那么平均每人种了棵树？【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把 1073 数相乘，一个数为人数一个数 为每人种的棵数，1073 =29 37 ，注意到人数是减去 1 是 3 倍数，所以人数是 37 均每人种了 29 棵。【答案】29【例 17】 幼儿园里给小朋友分苹果，420 个苹果正好均分。但今天刚好又新人园一位小朋友，这样每个小朋 友就要少分 2 个苹果。原来有 个小朋友。【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 8 题，10 分【解析】 420 =2 2 3 5 7 =2 210 =3 140 =5 84 =6 70 =7 606222=10 42 =12 35=14 30 =15 28=20 21上式中只有 1430=(14+1)(30-2)=1528 符合题意，所以原有 14