小学思维数学讲义：归总问题-含答案解析

1、归总问题教学目标本讲主要学习归总问题通过本节课的学习，学生应了解归总问题的类型，以及解决归总问题的一般方 法，掌握归总问题的基本关系式，并会将这种方法应用到一些实际问题中.知识点拨归总问题与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出 “单一量”，而归总问题是找出“总量” ，再根据其它条件 求出结果所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等例题精讲模块一、简单的归总问题【例 1】 “走美比萨店”共有 5 名员工， 2 名厨师每周分别工作 36 小时，每小时工资 10 美元； 3 名服务生 每周工作 30 小时，每小时工资 5 美元。如果你是“走美比萨店”的老板，你每周该向员工制服的 工

2、资一共为 美元。【考点】简单的归总问题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】走美杯，3 年级，初赛【解析】 2 36 10 +3 30 5 =720 +450 =1170 （美元）【答案】 1170 美元【例 2】 某车间需要加工 3960 个零件，3 个工人 10 小时加工了 1320 个，其余的要求在 15 小时内完成，需 要增加多少个工人？【考点】简单的归总问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 每个工人每小时加工：1320 3 10 =44 （个），现在还剩下： 3960 -1320 =2640 （个）零件，15 小 时内完成需要工人 2640 44 15 =4 （个），即需要增

3、加 1 个工人【答案】 1 个工人【例 3】 光明小学有 50 个学生帮学校搬砖，要搬 2000 块，4 次搬了一半。照这样算，再增加 50 个学生， 还要几次运完？【考点】简单的归总问题 【难度】2 星 【题型】解答1【解析】 先求出每个学生每次运的砖数: 2000 4 50 =5 (块).2再求出现在的学生一次过运的砖数: (50+50)5=500(块).最后求出还要运的次数: 2000 12500 =2 (次)，简便方法: 4(50+50)50=2(次)。【答案】 2 次【例 4】 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 60 千米，5 小时到达若要 4 小时到达，则每小时需要多行 多少千米？

4、【考点】简单的归总问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量从甲地到乙地的路程是多少千米？ 60 5 =300 (千米)14 小时到达，每小时需要行多少千米？300 4 =75 (千米)(3)每小时多行多少千米？ 75 -60 =15 (千米)【答案】 15 千米【例 5】 一项工程，8 个人工作15 小时可以完成，如果 12 个人工作，多少小时可以完成？【考点】简单的归总问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 工程总量相当于 1 个人工作多少小时？ 15 8 =120 (小时)12 个人完成这项工程需要多少小时？120 12 =10 (小时)【答

5、案】 10 小时模块二、复杂的归总问题【例 6】 过年了，同学们要亲手做一些工艺品送给敬老院的老人，开始时艺术小组的同学们先做一天，随 后增加 15 位同学和他们一起又做了两天，恰好完成，假设每位同学的工作效率相同，且一位同学 单独完成需要 60 天，那么艺术小组的同学有_位。【考点】复杂的归总问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，一试，第 7 题【解析】 方法一：设一个同学一天完成1 份工作量，那么总工作量为1 60=60 （份），增加的15 个同学两天完 成的工作量为： 15 2=30 （份），那么剩下的的工作量即为艺术小组 3 天的工作量，所以人数为：(60-30)

6、3=10 （位）。方法二：一个人的工效： 艺术小组有 10 人。1 1 1/天，设艺术小组有 x 人，则： x + ( x +15) 2 =1 ，解得 x =10 ， 60 60 60【答案】 10 人【例 7】 有 20 人修筑一条公路，计划 15 天完成动工 3 天后抽出 5 人植树，留下的人继续修路如果 每个人的工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？【考点】复杂的归总问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 有 20 人修筑一条公路，计划 15 天完成，说明这条公路的总工作量有：20 15 =300 人次，动工 3 天 后抽出 5 人植树，20 人修 3 天完成了 20 3 =6

7、0 人次，那么总工作量还剩下 300 -60 =240 人次，这 些剩下的工作给 15 人做，每人就还需要工作 240 15 =16（天），这样，实际工作就有 3 +16 =19（天）【答案】 19 天【巩固】 学校买来一批粉笔，原计划 18 个班可用 60 天，实际用 45 天后，有 3 个班外出了，剩下的粉笔够 用多少天？【考点】复杂的归总问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 剩下的粉笔 18 个班可用 60 -45 =15（天），现在有18 -3 =15（个）班级，可用的天数为：18 15 15 =18 （天）【答案】 18 天【例 8】 修一条公路，原计划 60 人工作，80 天

8、完成现在工作 20 天后，又增加了 30 人，这样剩下的工作 再用多少天可以完成？【考点】复杂的归总问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 修完这条公路共需要：60 80 =4800 (个)劳动日，60 人工作 20 天后，还剩下：4800 -60 20 =3600 (个) 劳动日，剩下的工作又增加 30 人，也就是 90 人需要再用： 3600 （60+30）=40 （天）【答案】 40 天【例 9】 某厂运来一批煤，计划每天用 5 吨，40 天用完，如果改进锅炉，每天节约 1 吨，这批煤可以用多 少天？【考点】复杂的归总问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 从“计划每天用 5 吨

9、，40 天用完”中，可求出煤的总吨数，把总吨数除以改进锅炉后每天用煤量，可 得用煤天数。540（51）200450（天）答：这批煤可以用 50 天。2【答案】 50 天【例 10】 某工程队预计 30 天修完一条水渠，先由 18 人修了 12 天后完成工程的一半，如果要提前 9 天完成， 还要增加多少人？【考点】复杂的归总问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 18 人修 12 天水渠共：18 12 =216 个劳动日，故总工程量为 216 2 =432 个劳动日，还剩 216 个劳 动日，现需 30 -12 -9 =9 （天）完成，故需 216 9 =24 （人），所以还需补 6 人【答

10、案】 6 人【巩固】 家具厂生产一批桌椅，原计划每天生产 30 套，12 天完成实际只用原来时间的一半就完成了任务， 那么实际每天比计划多生产多少套？【考点】复杂的归总问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 这批桌椅一共有： 30 12 =360 (套)，实际上用了 12 2 =6 (天)，实际每天生产： 360 6 =60 (套)， 实际每天比计划多生产： 60 -30 =30 (套)【答案】 30 套【例 11】 某工厂一个车间，原计划 20 人 4 天做 1280 个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在工作效率 相同的情况下，需要 15 个人 7 天才能全部完成，问增加了多少个零件

11、？【考点】复杂的归总问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 要求增加了多少个零件，只需先求出每人每天生产多少个零件，然后求出 15 个人 7 天生产的零件数， 最后用它减去 1280 个零件就可得出所要求的问题。（1） 每人每天生产的零件数 1280204=16（个）（2） 15 人 7 天生产的零件数 16157=1680（个）（3） 增加的零件数 1680-1280=400（个）综合算式（1280204）157-1280=16157-1280=1680-1280=400（个）答：增加了 400 个零件 【答案】 400 个零件【巩固】 光华机械厂一个车间，原计划 15 人 3 天做 9

12、00 个零件。生产开始后，又增加一批任务，在工作效 率相同下，要 10 个人 8 天完成。问增加了几个零件?【考点】复杂的归总问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 先求出每个人每天做的个数: 900153=20(个).再求出共做的个数: 20108=1600(个).最后求出增加 的个数: 1600-900=700(个).【答案】 700 个【例 12】 某车间要加工一批零件，原计划由 18 人，每天工作 8 小时，7.5 天完成任务.由于缩短工期，要求 4 天完成任务，可是又要增加 6 人.求每天加班工作几小时？【考点】复杂的归总问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 我们把 1 个

13、工人工作 1 小时，作为 1 个工时.根据已知条件，加工这批零件，原计划需要多少“工时” 呢？求出“工时”数，使我们知道了工作总量.有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工 期延长或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要能够达到加工零件所需“工时” 总数，再求出要加班 的工时数，问题就解决了。原计划加工这批零件需要的“工时”：8187.5=1080（工时）增加 6 人后每天工作几小时：1080（18+6）4=11.25（小时）每天加班工作几小时？ 11.25-8=3.25（小 时），每天要加班工作 3.25 小时。【答案】 3.25 小时模块三、归一、归总中的智巧趣题【例 13】 一个工人

14、在森林中锯木头，他用 8 分钟把一根树干锯成了 3 段，那么把树干锯成 8 段需要多长时 间？【考点】归一、归总中的智巧趣题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 前面我们已经学习过植树问题，把一根木头锯成 3 段，实际上只需要锯 3 -1 =2 （下），所以锯一下 需要 8 2 =4 (分钟)，现在要把树干锯成 8 段，也就是要锯 8 -1 =7（下），需要时间为：4 7 =28 (分3钟)【答案】 28 分钟【巩固】 一个工人在森林中锯木头，他用 12 分钟把一根树干锯成了 4 段，如果保持工作速度不变，要把每 段木头再锯成两段，还需要多少分钟？【考点】归一、归总中的智巧趣题 【难度】3

15、星 【题型】解答【解析】 把一根木头锯成 4 段，实际上只需要锯 4 -1 =3 （下），所以锯一下需要12 3 =4 (分钟)，现在要求 把每段木头再锯成两段，也就是还需要锯 4 下，则还需要： 4 4 =16 (分钟)【答案】 16 分钟【巩固】 一个工人在森林中锯木头，他用 40 分钟把一根树干锯成了 5 段，如果保持工作速度不变，要把每 段木头再锯成两段，还需要多少分钟？【考点】归一、归总中的智巧趣题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 把一根木头锯成 5 段，实际上只需要锯 5 -1 =4 （下），所以锯一下需要 40 4 =10 (分钟)，现在要求 把每段木头再锯成两段，也就是还

16、需要锯 5 下，则还需要： 10 5 =50 (分钟)【答案】 50 分钟【例 14】 用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水如果倒进 2 杯水，连罐共重 6 千克；如果倒进 5 杯水，连 罐共重 9 千克这个空罐重多少千克？【考点】归一、归总中的智巧趣题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 根据倒进 2 杯水，连罐共重 6 千克；如果倒进 5 杯水，连罐共重 9 千克，可知重量由 6 千克增加到 9 千克是因为多倒进了（5 -2）杯水，因此可先求出 1 杯水的重量，最后再减去水的重量，即空罐的 重量：每杯水的重量：（9 -6）（5-2）=1(千克)空罐的重量： 6 -12 =4 (千克)或 9

17、-15 =4 (千克)【答案】 4 千克【例 15】 姐妹二人在同一环境中学习，妹妹勤学，学一知三姐姐懒惰，学三忘二，请你算算妹妹在 6 年 间所学懂的知识，姐姐需要多少年才能学懂？【考点】归一、归总中的智巧趣题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 已知妹妹学一知三，她用 6 年所学懂的知识由学一知一的人来学，需要6 3 =18 (年)姐姐学三忘 二，也就是学三知一，学一知一的人一年所学懂的知识姐姐来学，需要13 =3 (年)，所以学一知一 的人 18 年所学懂的知识姐姐来学，需要18 3 =54 (年)也就是妹妹 6 年学懂的知识，姐姐需要 54 年才能学懂【答案】 54 年【例 16】

18、甲、乙、丙三人在外出时买了 8 个面包，平均分给三个人吃甲没有带钱，乙付了 5 个面包的钱， 丙付了 3 个面包的钱后来，甲带来了他应付的四元八角钱，请问，应还给乙、丙各多少钱？【考点】归一、归总中的智巧趣题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 由已知条件可知，甲要付出的钱是 4 元 8 角，即 48 角因为甲没有带钱，而三个人吃的面包一样多， 可知乙、丙都应付 48 角这样三个人应付的总数是 3 个 48 角，正好是 8 个面包的总价这样就可 以求出面包的单价，同时也可求出乙付的 5 个面包与丙付的 3 个面包的钱最后以每人应付的 48 角 为标准，多付的就是应收回的钱即： 8 个面包的总

19、价是： 48 3 =144 ( 角)，面包的单价是： 144 8 =18 ( 角 ) ， 乙应收回的钱是： 18 5 - 48 = 42( 角 ) =4 元 2 角， 丙应收回的钱是： 18 3 -48 =6 (角)【答案】乙应收回的钱是 4 元 2 角，丙应收回的钱是 6 角模块四、归一、归总问题之对比分析法【例 17】 10 辆小车和 3 辆卡车一次运货 32 吨，15 辆小车和 3 辆卡车一次运货 42 吨每辆卡车和每辆小车 每次各运货多少吨？【考点】归一、归总问题之对比分析法 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】比较思想方法【解析】 摘录条件：10 辆小车 +3 辆卡车 =32 吨1

20、5 辆小车 +3 辆卡车 =42 吨4比较条件，看看什么量变了，什么量没变，两个变化的量之间的关系是什么？从对应量的变化，可 以 看 出（42 - 32）吨 正 好 与（15 -10）辆 小 车 的 载 重 量 相 对 应 ， 因 此 每 辆 小 车 每 次 可 以 运 货 ： （42 -32）（15-10）=2(吨)，那么每辆卡车每次可以运货 4 吨其实这就是二元一次方程的思想【答案】每辆小车每次可以运货： 2 吨，那么每辆卡车每次可以运货 4 吨【巩固】 学校买来一些足球和篮球.已知买 3 个足球和 5 个篮球共花了 281 元；买 3 个足球和 7 个篮球共花了 355 元.现在要买 5

21、 个足球、4 个篮球共花多少元？【考点】归一、归总问题之对比分析法 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】比较思想方法【解析】 要求 5 个足球和 4 个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元.根据已知条件 分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差 7 -5 =2 ( 个) ，总价差 355 -281 =74 (元 ).74 元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问 题得解列式为：1 一个篮球的价钱：（355 -281）（7-5）=37(元）2 一个足球的价钱：（281 -37 5）3=32 (元)3 共花多少元？ 32

22、5+37 4 =308 (元)【答案】 308【例 18】 30 辆小车和 3 辆卡车一次运货 75 吨，45 辆小车和 6 辆卡车一次运货 120 吨.每辆卡车和每辆 小车每次各运货多少吨？【考点】归一、归总问题之对比分析法 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】比较思想方法【解析】 摘录条件： 30 辆小车+3 辆卡车 =75 吨45 辆小车+6 辆卡车 =120 吨比较条件，转化为： 60 辆小车+6 辆卡车 =150 吨45 辆小车+6 辆卡车 =120 吨从对应量的变化，可以看出（150 -120 ）吨正好与（ 60 -45 ）辆小车的载重量相对应，因此每辆小 车每次可以运货 (15

23、0 -120) (60 -45) =2 吨，那么每辆卡车每次可以运货 (75 -30 2) 3 =5 吨.【答案】因此每辆小车每次可以运货 2 吨，那么每辆卡车每次可以运货 5 吨【巩固】 妈妈买了 2 斤苹果，4 斤菠萝，花去 14 元；爸爸买了 3 斤苹果，2 斤菠萝，花去 13 元；那么 1 斤 苹果，1 斤菠萝各多少钱？【考点】归一、归总问题之对比分析法 【难度】3 星 【题型】解【关键词】比较思想方法【解析】 摘录条件： 2 斤苹果+4 斤菠萝 =14 元3 斤苹果+2 斤菠萝 =13 元比较条件转化为: 2 斤苹果+4 斤菠萝 =14 元6 斤苹果+4 斤菠萝 =26 元上下对比分

24、析知道（ 26 -14 ）元正好与（ 6 -2 ）斤苹果相对应，所以苹果价格为：(26-14)(6-2)=3（元），1 斤菠萝(14-23)(6-2)=2 （元）【答案】苹果 3 元，菠萝 2 元【巩固】 阿呆去商店买了 2 个笔袋，3 支圆珠笔，用去 25 元；小新去商店买了 1 个笔袋，2 支圆珠笔，用去 14 元；那么买 1 个笔袋，1 支圆珠笔，分别需要多少元？【考点】归一、归总问题之对比分析法 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】比较思想方法【解析】 摘录条件： 2 个笔袋+3 支圆珠笔=25 元 （1）式 ；1 个笔袋+2 支圆珠笔=14 元 （2）式 ；由第 2 个式子知道：2

25、 个笔袋+4 支圆珠笔=28 元 （3）式 ；由 1 和 3 式可以知道：1 支圆珠笔=3 元，那么再由 2 式可以知道：1 个笔袋=8 元。【答案】1 个笔袋=8 元，1 支圆珠笔=3 元【巩固】 星期天，妈妈从超市买了 4 支小梦龙和 3 支可爱多冰淇淋，用去 24 元钱。妈妈对小丽说：上星期5天我买了 3 支小梦龙和 5 支可爱多冰淇淋用去 29 元钱，你算一算，小梦龙每支 _元，可爱 多冰淇淋每支_ 元。【考点】归一、归总问题之对比分析法 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 11 题【解析】 对比发现 1 支小梦龙比 2 支可爱多少 29-24=5 元，那么

26、 4 支小梦龙比 8 支可爱多少 20 元，讲 4 支小 梦龙换成 8 支可爱多，那么 8+3=11 之可爱多需要 24+20=44 元，可爱多 4 元 1 支，小梦龙(24-34)4=3 元每支。【答案】小梦龙 3 元/支，可爱多 4 元/支【例 19】 买 2 条毛巾，3 块肥皂，要付 18 元；买 3 条毛巾，2 块肥皂，要付 19 元(毛巾，肥皂，都分别是同 一品种的)。那么买 1 条毛巾，1 块肥皂要付_元。【考点】归一、归总问题之对比分析法 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第 11 题【解析】 买 2 条毛巾，3 块肥皂，要付 18 元；买 3 条毛巾，

27、2 块肥皂，要付 19 元，那么买 5 条毛巾，5 块肥 皂，要付 18+19=37 元，所以买 1 条毛巾，1 块肥皂要付 7.4 元。【答案】 7.4 元【巩固】 购买 3 斤苹果，2 斤桔子需 690 元；购 8 斤苹果，9 斤桔子需 2280 元，那么苹果、桔子各买 1 斤需_元.【考点】归一、归总问题之对比分析法 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，一试，第 9 题【解析】 买 3+8 斤苹果和 2+9 斤苹果.须 6.9+22.8=29.7 元.所以各买 1 斤需要 29.711=2.7 元.【答案】 2.7 元【巩固】 小强和小明一同到便利店购物，图 5 是他们两人购物的单据，由此计算出盐每袋 每袋 元。元，醋图 5【考点】归一、归总问题之对比分析法 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 13 题【解析】 3 袋盐和 5 袋醋共 15 元，那么如果买 5 份这样的，即 15 袋盐和 25 袋醋共 75 元；5 袋盐和 3 袋醋共 17 元，那么如果买 3 份这样的，即 15 袋盐和 9 袋醋共 51 元；所以 16 袋醋共 24 元，每