函数的单调性与导数(获奖教案

1、3.3.1 函数的单调性与导数教材分析“函数单调性与导数”是高中数学（选修 1-1）第三章导数及其应用的第三节，本节的 教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容， 学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础.由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调 性.通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤 其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决 问题的优越性.课时分配本节内容用 1 课时完成，主要经历从生活中的变化率问题抽象概括出函

2、数平均变化率概 念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活.教学目标重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.难点： 探究函数的单调性与导数的关系; 如何用导数判断函数的单调性.知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系;2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法.2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神， 引导学生养成自主学习的学习习惯.自主探究点：通过问题的探究，体会知识

3、的类比迁移 .以已知探求未知，从特殊到一般的数 学思想方法.考试点：利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，而不是导数的单调性决定函数的单调性.教具准备：多媒体课件,三角板课堂模式：学案导学一.引入新课师：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y x2的单调性，如何进行？生：用定义法、图像法.师： 因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？ 生：注意定义域.师：如果遇到函数y =x 3 -3 x，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？师：定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐 ,又不能画出它

4、的图像，那该如何解决 呢？揭示并板书课题：函数的单调性与导数【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识（判断二次函数的单调性）入手， 提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣.师：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减 的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们 可以对数量的变化规律有一个基本的了解函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?二探究新知师：如图（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h (t ) =-4

5、.9t2+6.5t +10的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数v(t ) =h(t ) =-9.8t +6.5的图像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 生：通过观察图像，可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度 v(t ) =h(t ) 0应地，h随时间t的增加而增加，即h(t )是增函数相（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少，即h(t )是减函数相应地，v(t ) =h(t ) 0；（2）函数 y =x 的定义域为 r ，在 (-,+)上单调递减，在(0, +)上单调递增；而y

6、/ =2 x，当x 0时，其导数y / 0时，其导数y / 0；当x =0时，其导数y / =0（3）函数 y =x 的定义域为 r ，在定义域上为增函数；而y/ =3 x 2，若x 0，则其导数3x20，当x =0时，其导数3x2=0；（4 ）函数y =1x的定义域为( -,0) (0,+)，在 ( -,0)上单调递减，在(0, +)上单调递减,而y/=-1x 2，因为 x 0 ,所以 y 0，那么函数y = f ( x)在这个区间内单调递增；如果f / ( x) 0 0，切线是“左下右上”式的，这时，函数f ( x )在x0附近单调递增；在x =x1处，f/( x ) 0，那么函数y =

7、f ( x)在这个区间内单调递增；如果f/( x ) 0，那么函数y = f ( x )在这个区间内单调递减说明：如果f / ( x) =0，那么函数y = f ( x )在这个区间内是常函数【设计意图】通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成一般性结论 .让学 生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系.四运用新知例 1、已知导函数f ( x )的下列信息：当1 x 0；当 x 4 ，或 x 1 时， f( x) 0；当x =4，或x =1时，f ( x) =0试画出函数y = f ( x )图像的大致形状解：当1 x 0 ，可知 y = f ( x )在

8、此区间内单调递增；当x 4，或x 1时，f ( x) ) 0因此，f ( x) =x3 +3 x在 r 上单调递增，如图 1 所示（2）因为f ( x) =x 2 -2 x -3，所以，f ( x) =2 x -2 =2 (x-1)当f ( x) 0 ，即 x 1 时，函数 f ( x ) =x 2 -2 x -3单调递增；当f ( x ) 0 ，即 x 1 时，函数 f ( x ) =x 2-2 x -3单调递减；函数f ( x) =x2-2 x -3的图像如图 2 所示（3）因为f ( x) =sin x -x x (0,p)，所以，f ( x ) =cos x -1 0，即时，函数f (

9、 x) =x 2 -2 x -3；当f( x) 0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f ( x) 0.解得x 1或x -1y =x +1x的单调增区间是：( -,-1)和(1, +)令( x -1)( x +1)x 20，解得-1 x 0或0 x 1y =x +1x的单调减区间是：( -1,0)和( 0,1)练习： p 1 题93五.课堂小结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数y = f ( x )单调区间【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构. 六. 布置作业必做：课本 p a 组 1,29选做：1、求下列函数的单调区间：(1)y =2 x3 -6 x 2+7(

10、2)y =1x+2 x(3)y =sin x , x 0,2p(4)y =x ln x2 、 已 知f ( x ) =x 3 +bx 2 +cx +d的 图 像 过 点p (0, 2)且 在x =-1处 的 切 线 方 程 为6 x -y +7 =0，求（1）f ( x)的解析式；（2）求函数y = f ( x )的单调区间.3、已知函数f ( x) =ax3+3 x2-x +1在 r 上是减函数，求 a 的取值范围.【设计意图】体现了分层、有梯度的教学，学生动手练习,加强学生的应用意识.七.教后反思1. 本节课的亮点：教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的二次函数为研究的起点，发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，从而到更多的，更复杂的函数，从中发现规律，并推广到一般.这个过程中既让学生获得了关于新知的内容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问