《抛物线的几何性质》教案(公开课)

1、抛物线的几何性质教案一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导 这些性质(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、 推理等能力(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中 曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题二、教材分析1重点：抛物线的几何性质及初步运用(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出)2难点：抛物线的几何性质的应用(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用) 3疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式(解决办

2、法：引导学生证明并加以记忆)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答四、教学过程(一)复习1抛物线的定义是什么？请一同学回答应为：“平面内与一个定点 f 和一条定直线 l 的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线”2抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答应为：抛物线的标准方程是 y2=2px(p0)，y2=-2px(p 0)，x2=2py(p0)和 x2=-2py(p0)第 1 页 共 7 页下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程 y2=2px(p 0)出发来研究它的几何性质(二)几何性质怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以 y2=2px(p0)为例，用小 黑板给出下表，请学生对

3、比、研究和填写填写完毕后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线 的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1) 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近 线(2) 抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦 点的连线重合，抛物线没有中心(3) 抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点第 2 页 共 7 页(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作 比较其结果是应规定抛物线的离心率为 1注意：这样不仅引入了抛物线离心 率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了(三)应用举例为了加深对抛物线的几

4、何性质的认识，掌握描点法画图的基本方法，给出如 下例 1例 1已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点解：因为抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点程是 y2=4x后一部分由学生演板，检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况第一象限内的几个点的坐标，得：(2)描点作图描点画出抛物线在第一象限内的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线 的另一部分(如图 2-33)第 3 页 共 7 页例 2已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 m(-3，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为 y2=-2px

5、(p0)，则准线方因为抛物线上的点 m(-3，m)到焦点的距离|mf|与到准线的距离得 p=4因此，所求抛物线方程为 y2=-8x又点 m(-3，m)在此抛物线上，故 m2=-8(-3)解法二：由题设列两个方程，可求得 p 和 m由学生演板由题意在抛物线上且|mf|=5，故本例小结：(1)解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点 的焦半径)等于此点到准线的距离可得焦半径公式：设 p(x0，第 4 页 共 7 页这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握 (2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设 ab 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若 a(x1，y

6、1)、b(x2，y2)则有|ab|=x1+x2+p特别地：当 abx 轴，抛物 线的通径|ab|=2p(详见课本习题)例 3过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 f 的一条直线与这抛物线相交于 a、b两点，且 a(x1，y1)、b(x2，y2)(图 2-34)证明：(1)当 ab 与 x 轴不垂直时，设 ab 方程为：此方程的两根 y1、y2 分别是 a、b 两点的纵坐标，则有 y1y2=-p2或 y1=-p，y2=p，故 y1y2=-p2综合上述有 y1y2=-p2又a(x1，y1)、b(x2，y2)是抛物线上的两点，第 5 页 共 7 页本例小结：(1) 涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线

7、与圆锥曲线方程联立，消去一个 变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类 问题的一种常用方法(2) 本例命题 1 是课本习题中结论，要求学生记忆(四)练习1过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 a(x1，y1)、b(x2，y2)两点， 若 x1+x2=6，求|ab|的值由学生练习后口答由焦半径公式得：|ab|=x1+x2+p=82证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点请一同学演板，其他同学练习，教师巡视证明：可设抛物线方程故抛物线 y2=2px 与平行于其轴的直线只有一个交点(五)全课小结1 抛物线的几何性质；2 抛物线的应用五、布置作业1 在抛物线 y2=12x 上，求和焦点的距离等于 9 的点的坐标2 有一正三角形的两个顶点在抛物线 y2=2px 上，另一顶点在原点，求这个 三角形的边长3 图 2-35 是抛物线拱桥的示意图，当水面在 l 时，拱顶高水面 2m，水面 宽 4m，水下降 11m