二元一次不等式与简单的线性规划问答

1、1会从实际情境中抽象出 二元一次不等式组.2. 了解二元一次不等式的 几何意义，能用平面区域 表示二元一次不等式组.3会从实际情境中抽象出 一些简单的二元线性规划 问题，并能加以解决A 第三节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题备考方向要明了 怎么考考什么1.考查形式：选择题或填空题.2命题角度：求目标函数的最大值或最小值，或以最值为载体求其参数的值（范围），如2012年广东T5，新课标全国T14，山东T5 等.利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案，女口2012年江西T8等.（3）将线性规划问题与其他知识相结合，如向量、不等式、导数 等相结合命题，如 2012年陕西T14，福建T9等归

2、纳知识整合1.二元一次不等式表示的平面区域（1） 一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax + By + C 0表示直线 Ax + By+ C= 0某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不包括边界直线.不等式Ax + By + C0所表示的平面区域（半平面）包括边界直线.对于直线Ax + By + C= 0同一侧的所有点（x, y）,使得Ax + By+ C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合Ax + By + C0 ;而位于另一个半平面内的点，其坐标适合 Ax + By + Cv 0.(3) 可在直线 Ax + By+ C = 0的某一侧任取一点，一般取特殊点(xo, y

3、o),从Axo + Byo+ C的符号来判断 Ax + By + C0(或Ax + By + C0)所表示的区域.(4) 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域 的公共部分.2 .线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x, y组成的不等式线性约束条件由x, y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x, y的函数解析式，如z 2x+ 3y等线性目标函数关于x, y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x, y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题探究

4、1.点Pi(xi, yi)和P2(X2, y2)位于直线 Ax + By+ C= 0的两侧的充要条件是什么？提示：(Axi+ Byi + C)(Ax2 + By2 + C)0.2 .可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一?提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一.自测牛刀小试i.(教材习题改编)不等式X 2y + 60表示的区域在直线 x 2y + 6 = 0的()A .右上方B .右下方解析：选C 画出图形如图所示，可知该区域在直线x 2y + 6= 0的左上方.2.（教材习题改编）不等式（x 2y + 1）（x + y 3） 0在直角坐标平面内表示的区域（用阴影部

5、分表示），应是下列图形中的（解析：选 C (x 2y + 1)(x + y 3) 0 ,x 2y +1 0 ,或x + y 30A.x+ y 1 W0 B.x + y 1 0C.x 2y + 2 WOx+ y 1 WOD.x 2y2O解析：选A 两条直线方程为：x+ y 1 = 0 , x 2y + 2 = 0.将点(1,1)代入x + y 1得 1O ，代入 x2y2 得 1O ，即点 (1,1) 在 x2y2O 的内部，在 xy 1O 的内部，xy 1 0 ，故所求二元一次不等式组为x 2y20.4.下列各点中，与点(1,2)位于直线x+ y 1 = 0的同一侧的是()A(0,0)B( 1

6、,1)C. (1,3) D. (2， 3)解析：选 C 当 x= 1, y = 2 时，x + y 1 = 1 + 2 1 = 20 ,当 x = 1 , y = 3 时，x+ y 1 = 1 + 3 1 = 10 ,故(1,3)与(1,2)位于直线x+ y 1 = 0的同侧.xyW1，5. (2012 广东高考)已知变量x,y满足约束条件 x y W1, 则z = x+ 2y的最小值x1 0，为()A. 3B. 1C. 5D . 6xyW1 ，解析：选 C 变量 x， y 满足的不等式组 xyW1 ， 表示的平面区域如图所示，作x1 0辅助线10: x + 2y = 0,并平移到过点 A(

7、1 , 2)时，z= x + 2y达到最小，最小值为 5.兀一次不等式（组）表示的平面区域例1（2012 福建高考）若直线y = 2x上存在点（x , y）满足约束条件x + y 3 0,x 2y 3 m,A1B . 13C.D . 22自主解答如图所示：约束条件x+ y 3 0,x 2y 3mx + y 3 = 0,得A点坐标为（1,2）,位置运动到过 A点的位置时，m取最大值.解方程组y = 2x,故m的最大值是1.答案B仃说；述:小二元一次不等式表示的平面区域的画法在平面直角坐标系中，设有直线Ax + By+ C= 0(B不为0)及点P(xo, yo)，贝U若B0 , Axo + Byo

8、 + C0，则点P在直线的上方，此时不等式Ax + By + C0表示直线Ax + By + C= 0的上方的区域.(2) 若B0 , Axo + Byo + C0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax + By + C0表示直线Ax + By + C= o的下方的区域.(注：若B为负，则可先将其变为正)(3) 若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分.o x 2,1已知关于x, y的不等式组x+ y 2,所表示的平面区域的面积为4，贝U kkx y + 2 X)的值为()A. 1B. 3C. 1 或3D . o解析：选A 其中平面区域kx y + 2 X)是含有坐标原点的半平

9、面.直线kx y + 2 = 0又过定点(O,2),这样就可以根据平面区域的面积为4 ,确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k= 1.r “二 利用线性规划求最值x 4y+ 3 WO,例 2变量 x, y 满足 3x+ 5y 25 1,设z = 4x 3y,求z的最大值.x 4y + 3 0,自主解答由约束条件3x + 5y 251 ,作出(x, y)的可行域如图所示.4 z由 z = 4x 3y,得 y = _x 33求z = 4x 3y的最大值，相当于求直线4 z尸3x - 3在y轴上的截距z的最小值.344 zz平移

10、直线y=孑知，当直线汁3x3过点B时，3最小，z最大.x 4y+ 3 = 0 ,由解得B(5,2).3x + 5y 25 = 0,故 zmax = 4 X5 3 X2 = 14.保持例题条件不变，如何解决下列问题.y(1) 设z=，求z的最小值;x(2) 设z= x2 + y2,求z的取值范围.解： vz = y=二x X 0Z的值即是可行域中的点与原点0连线的斜率.观察图形可知 Zmin = k0B= -5(2)z = x2+ y2的几何意义是可行域上的点到原点0的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中,x = 1 ,由解得C(1,1).x 4y+ 3 = 0 ,dmin =

11、|0C | = * ： 2 ,.2 WZW29.i卞注r,泸！目标函数最值问题分析(1) 线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.(2) 求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义一一在y轴上的截距或其相反数.(3) 对目标函数不是一次函数的问题，常考虑目标函数的几何意义，如-.x2+ y2表示点(x, y)与原点(0,0)之间的距离；,x a 2 + y b 2表示点(x, y)与点(a, b)之间的yy b距离.一表示点(x, y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x, y)与点(a, b)连线的斜率.这xx a些代数式的几何意义能使所

12、求代数问题转化为几何问题.x - y + 6 0 ,2 .已知实数x, y满足 x + y 0,若z = ax + y的最大值为3a + 9，最小值为x 3,3a 3，则实数a的取值范围为解析：作出x, y满足的可行域，如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点 C 处取得最小值，又kBc= 1 , kAB= 1 ,. 1 a1,即一 1 a1.答案：1,1r亦线性规划的实际应用例3 （2012 江西高考）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表（）年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2力兀0.55力兀韭菜

13、6吨0.9力兀0.3力兀为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入一总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A. 50,0B . 30,20C. 20,30D . 0,50自主解答设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为 z= (0.55 X4x 1.2x)+ (0.3 X6y 0.9y) = x + 0.9 y.线性约束条件为x+ y50 ,1.2 x+ 0.9 y 0,y 0,x + y 50 ,4x+ 3y180 , 即x ,y .画出可行域，如图所示.x + y = 50 ,作出直线I。： x + 0.9y = 0 ,向上平移至过点 A

14、时，z取得最大值，由4x + 3y = 180 ,解得 A(30,20).答案B1，说；“沁 i解答线性规划实际问题的一般步骤(1) 根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数；(2) 准确作出可行域，求出最优解；(3) 将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案.3. A, B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工 3小时在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时.A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工

15、作日内创造的最大利润是 元.3x+ y 11 ,解析：设生产A, B两种产品各x件，y件，则x, y满足约束条件 x + 3y0 ,则截距-取最大值时，z也取最大值；截距一取最小值时，z也取最小值.bbzz若b,则截距b取最大值时，z取最小值；截距-取最小值时，取最大值.按 =(a, b)方向平移直线 ax+ by = 0, z越来越大.点悄扫除間;M障碍创新交汇与线性规划有关的交汇问题1 线性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以及解析几何的相关知识交汇命题.2 解决此类问题的思维精髓是“数形结合”，作图要精确，图上操作要规范.典例(2012 江苏高考)已知正数 a, b, c 满足：5c

16、3ab a + cln c,b则的取值范围是a解析由条件可得a b3 + -5c ca b4 W4, c cb a一尧c c3x + y 5 ,abb y令一=x，= y，则问题转化为约束条件为x + y ex,范围作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作y= ex的切线，切线方程为y = ex，切点P(1 , e)在区域内.故当直线 y = zx过点P(1 , e)时，zmin = e ；当直线y1 7b=zx 过点 C ,时，zmax = 7 ,故 e,7.2 2a答案e,7名师点评1 本题具有以下创新点(1) 命题角度新颖，本题不是直接给出线性约束条件和目标函数求最值，因

17、而需要将所 给不等式组进行合理转化后，约束条件才明朗.(2) 考查知识点新颖，本题将不等式，对数、指数函数，导数以及曲线的切线问题相交 汇，运算求解能力、运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题的能力要求较高.2 .解决本题的关键(1) 正确将不等式 5c 3a wb W4c a, clnb淘+ clnc进行合理转化， 明确约束条件， 将 其转化为线性规划问题；b(2) 正确识别-的几何意义，将其转化为斜率问题求解.a变式训练1 .已知平面直角坐标系 xOy上的区域D由不等式组0wxw ： 2 ,y 0 ,3 (2012 陕西高考)设函数f(x)=2x 1, xWO,D是由x轴和曲线y

18、= f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,在D上的最大值为1解析：当x0时，求导得f(x)=，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率x1程为y= x 1，画图可知区域 D为三角形，三个顶点的坐标分别为 一, 0 , 平移直线x 2y = 0,可知在点(0, 1)处z取得最大值2.答案：2EMUNKHO JIAHGI、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）x X),1.不等式组 x + 3y 4,所表示的平面区域的面积等于 （）3x+y W42B. 3D._解析：选C平面区域如图.x + 3y= 4, 解3x + y= 4,得 A(1,1),4易得 B(0,4) , C

19、0,-,34 8叶4 - 3=;.1 8/SAABC= 2 X3 X1|x| W|y|,2.在平面直角坐标系 xOy中，满足不等式组的点（x, y）的集合用阴影表|x|1示为下列图中的（）ABC1)解析：选C |x| = |y|把平面分成四部分，|x| |y|表示含y轴的两个区域；|x|0,3. （2012 天津高考）设变量x, y满足约束条件x-2y+ 4 0,则目标函数z= 3xx - 1 O ,2y的最小值为（）A. 5B . 4C. 2D . 3解析：选B 不等式表示的平面区域是如图所示的阴影部分，作辅助线10: 3x 2y = 0 ,结合图形可知，当直线3x 2y = z平移到过点（

20、0,2）时，z= 3x 2y的值最小，最小值为x - y+ 1 0 ,则x的取值范围是（)y 2,A (0,2)C. (2 , +s)B. (0,2D . 2 , +8 )解析：选D 画出线性约束条件的可行域 （如图）.y一一一的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.xx - y + 1 = 0,由得 A(1,2),y=2,故k冰OA= 2.x y 10 ,5. (2012 辽宁高考)设变量x, y满足0 x+ y20 ,0 y15 ,则2x+ 3y的最大值为（）A. 20B. 35C. 45D . 55解析：选D 作出不等式组对应的平面区域（如图所示）,平移2直线y =-x,易知直线

21、经过可行域上的点A（5,15）时，2x+ 3y3取得最大值55.表示的平面区域内，则点x y 4 WO,6 . (2013 衡水模拟)点P(2 , t)在不等式组x+ y 3 WO,P（2，t）到直线3x + 4y+ 10 = 0距离的最大值为（）A. 2B. 4C. 6D . 8解析：选 B 画出不等式组表示的平面区域（如图阴影部分所示）.结合图形可知，点 A至煩线3x+ 4y + 10 = 0的距离最大.由x= 2|3 X2 + 4 X1 + 10|得A点坐标为(2,1)，故所求最大距离为d max =. = 4.x+ y 3 = 0- 32+ 42、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共

22、15分）7.已知点（一3 , 1）和点（4 , 6）在直线3x 2y a= 0的两侧，贝U a的取值范围为解析：根据题意知(9 + 2 a) (12 +12 a)0 , 即(a + 7)(a 24)0，解得-7a0 ,|oP|cos ZAOP（O为坐标原点）的最大值是解析:| cos ZAOP 即为上的投影，即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值.x 4y+ 3 = 0 ,由可得交点的坐标为（5,2），此时3x + 5y = 25 ,| cos ZAOP取值最大,IoP |cos ZAOP的最大值为5.答案：59某公司租赁甲、乙两种设备生产 A, B两类产品，甲种设备每天能生产 A类产

23、品5 件和B类产品10件，乙种设备每天能生产 A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每 天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为 300元，现该公司至少要生产 A类产品50 件，B类产品140件，所需租赁费最少为 .解析：设租赁甲设备 x台，乙设备y台，5x+ 6y 50 ,10x + 20y140 , 则*x N ,y N*,设租赁费用为 w, w = 200 x+ 300 y.约束条件构成的平面区域如图：5x + 6y = 50 ,解10x+ 20y = 140 ,得 A(4,5). w min = 200 X4 + 300 X5 = 2 300.答案：2 300三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）x y+ 5 0 ,表示的平面区域，并回答下列冋10 . (2013 合肥模拟)画出不等式组x + y0,x 0表示直线x y + 5= 0上及其右下方的 点的集合，x + y0表示直线x + y= 0上及其右上方的点的集合，x0,表示的平面区域如图所示.XW35结合图中可行域得 x 2, 3 , y 3,8.(2)由图形及不等式组知x wy =cx + 5 ,5_wx3，且 x Z ,2当x = 3时，一3 y8，有12个整点; 当x = 2时，一2 y7，有10个整点;当x = 1时，一1 y6，有8个整点；当x = 0时，0 y 5