导数用于单调性和极值问题

1、专题十四、导数用于单调性和极值问题题型一利用导数判断函数的单调性sin xn1. 证明：函数f(x)= 在区间， n 上单调递减.X2题型二利用导数求函数的单调区间2. 求下列函数的单调区间.(1)f(x)= X3 X； (2)y= ex x+ 1.3. 求函数y= x B. x = 2为f(x)的极小值点 In x2的单调区间.题型三已知函数单调性求参数的取值范围a4. 已知函数f(x)= x2 + (xm 0，常数a R).若函数f(x)在x 2,+ )上是单调递增的，求a的取值范围.5. (1)已知函数f(x) = x3 + bx2 + cx+ d的单调减区间为1,2，求b, c的值.设

2、f(x) = ax3 + x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围.题型四用单调性与导数关系证不等式16. 当x 0时，证明不等式ln(x+ 1) x ?x2n 、17. 当 0v xv厅时，求证：x sin xv6x3.题型五、函数的极值问题8. 下列函数存在极值的是()1A. y= 2xB. y=X2C. y = 3x 1D. y= x2 小9 .设函数 f(x)= X + lnx,则()1A. x= 2为f(x)的极大值点C. x = 2为f(x)的极大值点D. x = 2为f(x)的极小值点10. 若函数y= f(x)是定义在R上的可导函数，则f (xo)= 0是xo为函数y= f(x

3、)的极值点的()A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 函数y= x ex的最小值为 .xf312. 若函数f(x)= 齐a(a0)在1 ,+ 上的最大值为，贝V a的值为.题型六、利用极值求参数范围n313. 已知函数f(x)= asinx bcosx在x= 时取得极值，则函数 y = 口一才一x)是()A .偶函数且图象关于点(n, 0)对称3 nB. 偶函数且图象关于点(-厂，0)对称3 n 丄“C. 奇函数且图象关于点(万,0)对称D. 奇函数且图象关于点(n, 0)对称14. 已知函数f(x)= x3 + ax2 + bx+ c, f(

4、x)在x= 0处取得极值，并且在区间0,2和4,5上具有 相反的单调性.(1) 求实数b的值；(2) 求实数a的取值范围.题型七、导数用于解决实际问题15. 用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等 的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方 形的边长为()A. 6B. 8C. 10D. 1216. 一工厂生产某型号车床，年产量为N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量).设每年每台的库存费为 G元，求在不考虑生产能力的条件下，每批

5、生产该车床 台，一年中库存费和生产准备费之和最小.题型八、图像问题17. 二次函数y= f(x)的图象过原点且它的导函数y= f (x)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在()A第I象限B.第n象限C.第川象限D.第W象限18.设函数f(x)在定义域内可导，()y= f(x)的图象如下图所示，则导函数y = f (x)的图象可能是巩固练习：119. 定义域为R的函数f(x)满足f=1,且f(x)的导函数f (x)2，则满足2f(x)x+ 1的x的集合为()A. x| 1x1B. x|x1C. x| x1D. x| x1n120. 函数 f(x) = sinx+ 2xf (3)

6、, f (x)为 f(x)的导函数，令 a= ， b= log32，则下列关系正 确的是()A. f(a)f(b)C. f(a) = f(b)B. f(a)f(b)D. f(|a|)0 时，1 + 2x0时，(x k)f (x) + x+ 10,求k的最大值.专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案xcos x sin x n1. 证明f (x)=x2，又 x, n ,贝U cos x0,. xcos x sin x0,n f (x)0，则 x m, -33 和3,+m ,33令 f (x)0,即 ex10,则 x (0 ,+m )；令 y 0，即 ex 1 0在x 2 ,+m )时恒成立.

7、f (x)0 在 x 2,+m )时恒成立, x20,. 2x3 a0 , a w 2x3在x 2 ,+m )上恒成立.-a W (2x3)min .T x 2 , +m ), y= 2x3是单调递增的， (2x3)min = 16,. aw 16.+ m)有且只有f (2) = 0, a的取值范围是(一2x3 16当 a= 16 时，f (x) =2 0(x 2 ,m,16.5. 解 (1) 函数f(x)的导函数f (x)= 3x2 + 2bx+ c,由题设知1x2是不等式3x2 + 2bx+ c0,. af(0)= 0证得.1规范解答令 f(x)= ln(x+ 1) x+2x2, (4 分

8、)1x2则 f (x)= 1+x 1 + x=不.(6 分)当 x (0,+g )时,f (x)0, f(x)在(0,+g )上是增函数.(8分)于是当 x 0 时，f(x) f(0)= 0 ,1当x0时，不等式ln(x+ 1)x 成立.(12分)1n7. 证明设 g(x)= x sin x 6x3, x 0,(x) = 1 cos xX- 22 ns2X-2n/ x 0,，二 0 sin xvx,x x sin22 2 2,.g (x) 0,n g(x)在0 ,上单调递减，1 3 g(x) g(0)= 0, x sin x 6x3.8. 答案D解析画出图像即可知y= x2存在极值f(0) =

9、 0.9. 答案D解析本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题.2 1 1 2 f，(x)= x+ x = x(1 ；) = 0 可得 x = 2.当 0x2 时，f (x)2 时f (x)0,. f(x)单调递增所以x = 2为极小值点.对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域.10. 答案B解析如y= x3, y= 3x2, y |x=o= 0,但x= 0不是函数y= x3的极值点.1n.答案e解析y = (x+ 1)ex= 0, x= 1当 x 1 时，y 1 时 y 01-min = f( 1)=一 e12. 答案3 1x2 + a 2x2 a x2厂厂解析f (x)= x2+

10、a2 = x + a2当 x , a时 f (x)0, f(x)在(,a,+ )上是递减的，当一ax0, f(x)在(a,a)上是递增的.当 x= a时，f(, a)= 2：=彳3, . a3= 0.因为函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性，2所以应有2w ?aw 4，解得6w a 3.15. 答案B解析设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为 Vcm3，由题意，得 V= x(48 2x)2(0x24), V= 12(24 x)(8 x).令 V= 0,则在(0,24)内有 x = 8,故当 x= 8 时，V 有最 大值.NC2N解析设每批生产x台，则一年生产批一年中库存费和生产

11、准备费之和y= Gx+ xx(0xN).C2Ny= Ci .由 y= 0 及 0xo，故b+ b，由 y= f (x)的图象可知，2a0,. a0, -亦0, 选A.18. 答案A解析f(x)在( a, 0)上为增函数，在(0,+ )上变化规律是减t增t减，因此f (x)的图象在(一a, 0)上，f (x)0，在(0,+a )上f (X)的符号变化规律是负T正t负，故选A.19. 答案B1解析令 g(x) = 2f(x) x 1,： f (x)2, g (x)= 2f (x) 10,. g(x)为单调增函数，:f(1) = 1 , g(1)= 2f(1) 1 1 = 0,当 x1 时，g(x)

12、0,即 2f(x)x+ 1，故选 B.20. 答案An解析: f (x)= cosx + 2f(),nnnf (刁=cos3+2f肓),n1即 f (p= 2. f(x) = sinx x.又 f (x)= cosx 1 w 0,故f(x)在 R上递减.厂1又一 20, f(x)单调递增，当1x1 时，f (x)0, f(x)单调递减，.在 x= 1 时，f(x)取极 大值 f( 1) = m + 2，在 x= 1 时，f(x)取极小值 f(1) = m 2. f(x) = 0 在0,2上有解,f10,/ 2 m 0,贝Uf 20,f10,此时无解；若a0,则f 20,635a花.23. 答案

13、(3, 2)解析f (x)= 3x2 3,设切点为 P(xo, yo)，则切线方程为 y(x3 3xo)= (3x0 3)(x xo),v切线经过点 A(1, m), m (x0 3x0)= (3x6 3)(1 X0),. m = 2x3 + 3x0 3, m = 6xo+ 6x0,.当OX01时，此函数单调递增，当X01时，此函数单调递减，当X0=0 时，m= 3,当 X0= 1 时，m = 2,.当一3m0 时,e2x1, f，(x) = 2(1 e2x)0 时，f(x)0 时，1 + 2x e2x0，即 1 + 2x0, f(x)在(0,+s )递增.令 g(x) = ax2 + 2(a

14、 + 1)x+ aA = 4(a+ 1)2 4a2= 8a + 4当a0时,A 0,此时g(x) = 0的两根X1 =a+ 1 ；2a + 1a,x2 =a + 1 + ： 2a + 1aT a0,. X1o, x20,v x (0,+ ), f (x)0故 f(x)在(0,+ )递增.13 当 a0 时，A = 8a+ 4 0,即卩 a 2时，g(x) 0, f (x)0,即2a0,X2 =a + 1 ：2a+ 1a0令 f (x)0 , X (X1, X2),f (x)0时，f(x)在(0,+ )递增.1当2a0 时，f(x)在(X1, X2)递增,亠a + 1 + J 2a+ 1 a +

15、 1/ 2a+ 1在(0 , x1)禾廿(X2,+m )递减(其中 X1 =-, x2 =-).aa1当 a 时，f(x)在(0, +m )递减.26. 分析如图，设出AD的长，进而求出|AB|表示出面积S,然后利用导数求最值.S= 2x(4 x2)(0x2),解析设矩形边长为 AD= 2x,则|AB| = y= 4-x2，则矩形面积 即 S= 8x- 2x3,. S= 8 6x2,令S= 0,解得Xi =2_3,X2 =2当 0x0 ;当 一x2 时,S 0,S取得最大值，此时,c338S最大=厂，y=3.即矩形的边长分别为4;2 8时，矩形的面积最大.3 3点评本题的关键是利用抛物线方程，

16、求出矩形的另一边长.27. 解析函数f(x)的定义域为(0,+ ),1 a11f (x)= 7二一，由导数的几何意义，且切线与y= x垂直.4 x x215得f(1)=厂a -1 = -2，二 a=4.x 53(2)由(1)知 f(x)=4+;x lnx 2，151x2 4x 5-f (x)=1获-1=4x .令f (x)= 0解得x= 1或5, 1不在定义域之内故舍去.当 x (0,5), f (x)0,. f(x)在(5,+ )递增.5 13- f(x)在 x= 5 时取极小值 f(5) = 4+ 4 ln5 2= ln5.28. 分析解析(1)f(x)的定义域为(3,+ ),f (x) = ex a.若aW 0，贝U f (X)0,所以f(X)在(m,+m )单调递增.若 a0,则当 x ( Ina)时，f (x)0,所以f(x)在( 8, |na)单调递减，在(Ina,+ )单调递增.(2)由于 a = 1,所以(x k)f (x) + x+1= (x k)(ex 1) + x+ 1.故当 x0 时，(x k)f (x) + x+ 10 等价于x+1+ x (x0).e ix+ 1令 g(x) = x + x,e ixex 1exex x 2贝H g (x)= ex 12 + 1 = ex 12-.由知，函数h(x)= ex x 2在(0