例谈分类讨论的类型及解题策略

1、最新资料推荐例谈分类讨论的类型及解题策略例谈分类讨论的 类型与解题策略 湖南中方县第一中学 (418005)杨自西 在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对 各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索 性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。本文就分类讨论的若干类型及解法作一总结，供参考 .1.数学中 的某些概念、定理、性质、法则、公式是分类定义或分类给出的，在 运用它们时要进行分类讨论数学中的某些概念、定理、性质、法则、 公式是分类定义或分类给出的

2、，在运用它们时要进行分类讨论例1.设 0x1 ,a0 且 al，比较 |loga(1 x)| 与|loga(1 + x)| 的大小.分析：对数函数的性质与底数a有关，可分两类讨论.解：v 0x101 x1 ,1+ x1 当 0a1 时，|loga(1 x)|loga(1 + x)| = loga(1 x) loga(1 + x) = loga(1 x2)0; 当 a1 时，|loga(1 x)| |loga(1 + x)| = - loga(1 x)- loga(1 + x)=- loga(1 x2)0 由、可知，|loga(1 x)|loga(1+ x)|.例2.已知集合A和集合B各含有12

3、个元素，AB含有4个元 素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：.CAB且C中含有3个元素；.CA .分析：由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类:属于A元素；不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种.解：C121C82 + C122C8 井 C123C8O 1084. 另解：(排除法)：C320- C012C38=1084.评注：本题是包含与排除的基本问题，正确地解题的前提是正确分类，达到分类完整及每类互斥的要求.并且要确定C中元素如何取法.2.研究含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的量变而导 致结果发生质变质变，因而也要进行分类讨论.例3 . (

4、2003年北京西城模拟试题)解关于x的不等式ax2-22x-ax(aR). 分析：含参的一元不等式的解集问题，先讨论二次项系数，再对开口方 向讨论，再对其两根大小进行分类讨论.解：原不等式可化为ax2+(a-2)x-20, (1)a=0 时，x-1，即卩 x(-,-1. (2)a0 时，不等式 即为(ax- 2)(x+1)0. a0时， 不等式化为 0) 1)(2(+xax , 当120aa,即a0时，不等式解为),21,(+a. 当120aa，此时a 不存在. a0时，不等式化为0)1)(2(+xax , 当120aa,即-2a0 时，不等式解为1,2a当120aa,即 a-2时，不等式解为

5、2,1a. 当=120aa,即a=-2 时，不等式解为x=-1. 综上：a=0时, x(-,-1); a0 时，x),21,(+a;-2a0 时，x 1,2a ; a-2时，x2, 1a;a=-2 时，xx|x=-1. 评述：本题分类讨论后采用最新资料推荐分列式归纳结论，即针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题有不 同的结论，归纳结论时应采用分列式.例4.（2019年全国高考试题） 设a为实数，函数1|）（2+二axxxf , Rx （1）讨论）（xf的奇偶性；（2）求）（xf的最小值.解：（1）略;（2） （i ） 当 ax 时，43）21（1）（22+二+二axaxxxf.当 21a,则函

6、数）（xf在,（a上单调递减，从而函数）（xf在,（a上的最小值为 1）（2+= aaf.若21a,则函数）（xf 在,（a 上的最小值为af+=43）21（, 且）（）21（aff.（ii ）当 ax 时，函数 43）21（1）（22+二+二axaxxxf 若21a,贝S函 数）（xf 在,（a 上的最 小值为af=43）21（, 且）（）21（aff若21a,则函数）（xf在）,+a上单调递增，从而函数）（xf在）,+a 上的最小值为1）（2+= aaf . 综上，当21a时，函数）（xf 的最小值为a43;当2121a时，函数）（xf的最小值为12+a;当21a 时，函数）（xf的最小值

7、为a+43.评述：分类讨论的的原则：不重 复;不遗漏;分层次，不越级讨论.含参问题，结合参数的意义及 对结果的影响而分类讨论.3 .在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定或形状不确定），引起问题结果有多种可能，就需 要对各种情况分别进行讨论.在研究几何问题时，由于图形的变化（图 形位置不确定或形状不确定），引起问题结果有多种可能，就需要对 各种情况分别进行讨论例5 .设一双曲线的两条渐近线方程为 2x-y+仁0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.分析 分析：由双曲线的 渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解：（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改

8、为1) 3()1(222二byax，条渐近线的斜率为 2二ab, b=2. 555222=+=aaabace.(2)当双曲线的焦点在直线x=1时，仿(1)知双曲线的一条渐近 线的斜率为2二ba,此时25=e. 综上(1)(2)可知，双曲线的离 心率等于255或.例6.已知方程kx2 + y2 = 4,其中k为实数，对于 不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出曲线简 图.分析：由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx2 + y2 = 4的特点，对参数k分k1、k = 1、0k1、k = 0、kO五种情况进行讨论.解： 由方程kx2 + y2 = 4,分k1、k= 1、0k1

9、、k = 0、kO五种情况讨 论如下：当k1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y轴上，a = 2, b= 2k; 当k = 1时，表示圆，圆心在原点，r = 2; 当0k1时， 表示椭圆，其中心在原点，焦点在 x轴上，a = 2k, b = 2; 当k =0时，表示两条平行直线y = 2； 当k0时，表示双曲线，中 心在原点，焦点在y轴上.所有五种情况的简图依次如下所示：评述：以上都是由图形的不确定性所引起的分类讨论型问题，应把所有 情况分类讨论后，找出满足条件的条件或结论.4 .含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，其解题的基本策略，就是按照特殊元素或 特殊位置的特征进行恰当的划分，转化为最基本、最简单的排列组合 问题，然后结合加法原理或乘法原理完成解答. 含有特殊元素或特殊最新资料推荐位置的排列组合问题，其解题的基本策略，就是按照特殊元素或特殊 位置的特征进行恰当的划分，转化为最基本、最简单的排列组合问题， 然后结合加法原理或乘法原理完成解答 .例7.（ 1999年全国高考 题）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作 物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求 A、B两种作物的 间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种.解：分类讨论：（1）先考虑作物A种植在第一垄时，作物B有3种种植方法；（2）再考虑作物A种植在第二垄时，作物B有2种种植方法；（3