初三数学函数综合题型及解题方法讲解

1、次函数综合题型精讲精练题型一：二次函数中的最值问题例1 :如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2+bx+c经过A (- 2 , - 4 ),0 (0,0), B (2 , 0) 三占八、(1 )求抛物线y=ax 2+bx+c的解析式；(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OM 的最小值.解析：(1 )把 A (- 2, - 4), O (0 , 0), B (2 , 0 )三点的坐标代入 y=ax 2+bx+c 中，得解这个方程组，得 a= -，b=1 , c=0所以解析式为y= -x2+x .2(2 )由 y= - x2+x= - ( x- 1) 2+丄，可得2 2 2抛物

2、线的对称轴为 x=1 ,并且对称轴垂直平分线段 OBOM=BMOM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，则此时 OM+AM 最小过点A作AN丄x轴于点N ,在 Rt KBN 中，AB=乎 + 4，=4d，因此OM+AM 最小值为氏g.方法提炼：已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点 A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点 A ，将点B与A 连接起来交直线与点 M，那么A B就是AM+BM 的最小值。同理，我们也可以做 出点B关于这条直线的对称点B，将点A与B连接起来交直线与点 M，那么AB 就是AM+BM 的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。、

3、 M；A /例2 :已知抛物线C1的函数解析式为 方程ax2 bx 3a 0的两根为x1， (1 )求抛物线G的顶点坐标或者l! 1 B%y ax2 bx 3a(b 0)，若抛物线C“经过点(0, 3)， 且 x1 x2X2，1x x(3)若抛物线先向上平移4个单位,(2)已知实数x 0，请证明:2,并说明x为何值时才会有x -2.x再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m,yJ , B(n, y?)是C?上的两个不同点，且满足：AOB 90 , m 0 , n 0 请你用含有m的表达式表示出厶AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次 函数OA的函数解析式。解析：(1 )抛物线过

4、(0 , 3)点，一 3a =3a =1 y=x2 + bx 3X2 + bx 3 = 0 的两根为 X1,X2 且 X1-X2 =4 X- x2 p(x1 x2)2 4x1x2 =4 且 b v0 b = 一 2=x2 2 x _3 =(x1)2 4抛物线C i的顶点坐标为(1 ,4)1L 12(2) Vx0,A X 2( x )0xJx1 1X -2,显然当X=1时，才有x -2,XX(3)方法一：由平移知识易得C 2的解析式为：y = X2A (m , m 2), B ( n , n 2)vAOB 为 Rt OA 2 +OB 2 =AB 2m 2 + m4 + n 2 + n 4 =(

5、m n) 2 +( m 2 n2) 2化简得：m n =1/Saob= 1OA?OB = 1m2 m4 ? n2 n42 2/m n = 11 Q 2 1.2 m一22、m211c ,m21m2 Saaob = 1* m2 n22=1 (m 1 )22 . m此时 m =1 ,A (1 , 1 ) Saaob的最小值为1,直线OA的一次函数解析式为y = x方法提炼：已知一元二次方程两个根X1,X2,求|X1-X2|。因为 |X1-X2|= . (x1 X2)2 4x21 1m 2, (m o);当m 1时，m 2取得最小值。例3 :如图，已知抛物线经过点 A ( 1，0 )、B ( 3，0

6、)、C (0，3)三点.(1) 求抛物线的解析式.(2) 点M是线段BC上的点(不与 B，C重合)，过M作MN /y轴交抛物线 于N，若点M的横坐标为 m，请用m的代数式表示 MN的长.(3 )在(2 )的条件下，连接 NB、NC，是否存在m，使ABNC的面积最大若 存在，求m的值；若不存在，说明理由.解析：(1 )设抛物线的解析式为：y=a (x+1 ) (x 3)，贝U：a (0+1 ) (0 3) =3，a= 1 ;抛物线的解析式：y= -( x+1 ) (x 3) = x2+2x+3 .(2)设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：r3k+b=0仏二3/L0b解得b 二 3故直线BC

7、的解析式：y= x+3 已知点M的横坐标为 m，贝U M (m， m+3 )、N (m， m 2+2m+3 故 MN= - m2+2m+3 ( m+3 ) = m 2+3m (0 v m v 3).(3)如图；/Sbnc =S mnc +S mnb -MN (OD+DB ) = ImN XOB ,2cI il3/S3nc= (- m 2+3m )X3= - ( m ,BNC的面积最大，最大值为22+二(0v m v3);27: 方法提炼：因为ABNC的面积不好直接求,当 m=/7ye-VX,0);将壬NC的面积分解为 MNC和MNB得到一个关于m的二次函数此题利的面积和。然后将厶BNC的面积表

8、示出来，用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的幵口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的幵口向上时，在顶点处取得最小值。 题型二：二次函数与三角形的综合问题例4:如图，已知：直线y x 3交x轴于点A，交y轴于点B,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A、B、C (1，0)三点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点D的坐标为(-1 ,0)，在直线y x 3上有一点P,使 ABO与 ADP 相似，求出点P的坐标；(3) 在(2)的条件下，在 x轴下方的抛物线上，是否存在点己，使 ADE的面积等于四边形 APCE的面积如果存在，请求出点 E的坐标；如果不存在，请说明理由.解：(1):由题意得

9、， 抛物线经过A、代入y = ax2 + a 1 解得：b 4c 3A( 3，0)，B( 0，3)B、C 三点，.把 A (3, 0), Bbx+ c得方程组抛物线的解析式为y =(2)由题意可得：AO若厶 ABOs 1AP 则 AOAD4x+ 3为等腰三角形，如图所示,OB(0, 3) , C (1 , 0)三点分别DR二 DP二AD=4Pi (- 1,4)若 ABOs ADP过点 ABO等腰三角形P2 作 P2 MX轴于M , Al ADP是等腰三角形，由三P2M ,即点M与点C重合(3)如图设点E (x,y),P2 (1 , 2)则M=AM=2=誣i* Jb二0当Pi(-1,4)时,S

10、四边形 AP1CE =S ZACP1 +S ACE=4+|y2 y = 4+|y y = 44x 70点E在x轴下方 y二-4 代入得：x2 - 4x+ 3= - 4 ,即.(-4) 2-4 X7=-120此方程无解当P2 ( 1 , 2)时，S四边形AP2CE =S 三角形ACP2 +S三角形ace =2 + y 2= 2 + y y| = 2点E在x轴下方 y=-2代入得：x2- 4x+ 3= - 2即 x2 4x 5 0 ,TZ=(-4) 2-4 X5=-40此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。方法提炼：求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角 形

11、，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比 来求点的坐标。要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点 的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求 不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。例5 :如图，点A在x轴上，0A=4，将线段0A绕点0顺时针旋转120 SOB的位置.(1 )求点B的坐标；(2 )求经过点A . 0、B的抛物线的解析式；P，使得以点P、0、B为顶点的三角形是等腰三角形若存(3 )在此抛物线的对称轴上，是否存在点在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.解析：/AOB=120 ，BOC=60 ，

12、又0A=0B=4，7 OCOB= X 4=2， BC=OBsin60=4 X2 二22|(1 )如图，过B点作BC丄x轴,垂足为 C，则/ BCO=90点B的坐标为(-2， (2 )抛物线过原点可设抛物线解析式为将 A (4，0)，B (-2 .、；）;0和点A . B，y=ax 2+bx，2 . - 2 .；）代入，得o* X此抛物线的解析式为y=-解得(3)存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为(2，y )，若0B=0P，则 22+|y| 2=4 2，解得 y= 2:;,当 y=2 :时，在 Rt P0D中/ PD0=90 ， sin / / P0D

13、=6O ， / POB= / POD+ / AOB=60 +120 =180即P、0、B三点在同一直线上， y=2二不符合题意，舍去，点P的坐标为(2， - 2 .；) 若 OB=PB，则 42+|y+2 |打2=4 2,解得y= - 2才,故点P的坐标为（2, - 2 .：；）, 若 OP=BP，则 22+|y| 2=4 2+|y+2 _ ：|2,解得 y= - 2 .；,故点P的坐标为（2, - 2 ：；）,综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2 , - 2 1 ；）,方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使 一个三角形成为等腰三角形

14、，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。题型三：二次函数与四边形的综合问题例6:综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点.（1 ）求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；（2 ）点P是x轴上一个动点，过 P作直线I / A（交抛物线于点 Q，试探究：随着 物线上是否存在点 Q，使以点A. P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形若存在，请 条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.（3 ）请在直线AC上找一点M，使解析：（1 ）当 y=0 时，-x2+2x+3=0点A在点B的左侧，A . B的坐标分别为（-1，0 ），（3，当 x=0 时，y

15、=3 .C点的坐标为（0, 3 ）设直线AC的解析式为y=k 1X+b 1 （k1丸）,y= - x2+2x+3 与x轴交于A. B两点，与DBD的周长最小，求出 M点的坐标.，解得 X1= - 1 , X2=3 .点的运动，在抛飞1=30 )kj=3二3直线AC的解析式为y=3x+3 ./y= - x2+2x+3=-（ x - 1） 2+4 ,顶点D的坐标为（1 , 4 ）.（2）抛物线上有三个这样的点Q , 当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点 当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为-3 , 代入抛物线可得点 Q2坐标为（1+ . L,- 3）; 当点Q在Q3位置时，点Q

16、3的纵坐标为-3 ,代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1 - . ,- 3）;综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1 （2, 3）, Q2 （ 1+听,-3）, Q3 （1 -解得Qi的坐标为（2 , 3）;它 ii,- 3).(3 )点B作BB JAC于点F，使BF=BF，贝U B 为点B关于直线 AC的对称点. 连接B D交直线AC与点M，则点M为所求，过点B 作B EJ x轴于点E.Z1和/2都是/3的余角，v 353 10RtAOC Rt XFB ,型二竖由 A (- 1 , 0), B (3, 0), CAC=Vlb, AB=4 .BF- 412|_，BB =2BF=BF=2

17、41由Z1= Z2 可得 RtAOC RtBEB,AO _CQ_ CAU 壬 EEB E=丄二，BE=V103&OE=BE - OB=5-3=5215设直线B 的解析式为点的坐标为(-解得号尹心甞4821.亍).y=k 2x+b 2 (k2 丸).直线BD的解析式为:4y=nx+4813?联立BD与AC的直线解析式可得:尸3覽+3J*9工二-解得351.32,g132，35M点的坐标为（)方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。 题型四：二次函数与圆的综合问题例7:如图，半径为2的OC3 2x30）若抛物线y(1 )(2)(3)

18、解析:与x轴的正半轴交于点 A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，bx c过A、B两点.求抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在点若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点， （1 ）如答图1，P，使得/PBO= / POB存在，求出点 P的坐标；若不存在说明理由；的面积为MAB求S的最大（小）值.连接OB ./ BC=2，OC=10B=、0， 、3)-y（3， 0），迈93X3 2x3B (0，3b c.3 ）代入二次函数的表达式2.33，.30，解得:2.3x3J3.（2）存在.如答图2，作线段OB的垂直平分线 b 0，73），o （0，与抛物线的交点即为点直线i的表达式为y0 ），

19、3代入抛物线的表达式,2解得x2(3)如答图 设 M ( Xm,3 22.3xx331 -2103、)3，作MH丄x轴于点ym )，贝卩Sa mab=S梯形MBOH +s mha Sa oab=1(MH+OB21)0H+ HAMH OAOB2 21 _ 1 1=尹*尹5 -2ym.32Txm2 33xm/ 3 ，Samab屈xm3(32xmxm2233_3223.3Xmxm23(xm3 29*32) T= x23 m - ym3,32当时，Samab取得最大值，最大值为2题型五：二次函数中的证明问题1例8 :如图11，已知二次函数y （x 2）（ax b）的像过点 A（-4，3），B（4，4）

20、.（1 ）求二次函数的解析式：（2）求证： ACB是直角三角形；P作PH垂直x轴于点（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点为顶点的三角形与 ABC相似若存在，求出点 P的坐H，是否存在以P、H、D、标；若不存在，请说明理由。解：（1 ）将 A（-4，3），B（4，4）代人 y1一（x 2）（ax b）中，整理得:484a-b 724a b 32解得二次函数的解析式为：y整理13215y一 xx-(2 )由4886a 13b -201 (x 48得：整理2)(13x-20)，213x 6x -400 x12,x2201320从而有：AC2=4+9BC2=36+16AC2+ BC 2=

21、13+52=65AB2=64+1=65故ACB是直角三角形 AC2+ BC2=AB 2131 5(3)设 p(x,x2-x-5)488 6PH= 13x21x-5 HD= 20-x AC= 13 BC= 2 13488613(X0 )当 PHD s公CB时有:PH HDACBC13 215x x - 即: 48-8650 -13/ 50 35、5(-13 13X220-x132.、1320 (舍去)13整理此时,13 2x24yi5125x -43513390DH当ZDHP s公CB时有：出AC13 215x x-48861320-x即: 13V13Xi122-13122 284.1313综上

22、所述,例9:在平面直角坐标系PHBC整理13 2 x4817 X -820 (舍去时,yi13“ 122 284、 P2 (-1313xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点(点在第一象限内).连接OP ,满足条件的点有两个即咲詈耆过点0作OP的垂线交抛物线于另一点 Q .连接PQ,交y轴于点M .作PA丄x轴于点A, QB丄x 轴于点B .设点P的横坐标为 m .(1) 如图1，当m=工时， 求线段OP的长和tan / POM勺值； 在y轴上找一点。，使厶 OC是以OQ为腰的等腰三角形，求点 C的坐标；(2) 如图2，连接AM、BM，分别与 用含m的代数式表示点Q的

23、坐标； 求证：四边形 ODME是矩形.解析：(1 )把x=一代入y=x 2，得OP、OQ相交于点D、E./ PA丄 x 轴， PA / MO. tan /设 Q (n, n2), / tan / QOB=tan2n 2 .n=当 OQ=OC当 OQ=CQPOM=tan/ POM,时，则Ci (0,(0,y=2 , P妊，2), OP=6壬,C2C3 (0, 1 ).AP时，贝UP(, m2),设 Q (n , n2) , / APOs(2 )2 n_n in2 ID得n= _丄，IT设直线PO的解析式为:(一丄1)Q-丄Xy=kx+b，把 P ( m , m2)、Q ()代入，得:解得 b=1

24、 , M 0, 1)，/ QBO=Z MOA=90 QBOs MOA/ MAO=Z QOB, QO/ MA同理可证：EM/ OD又/ EOD=90 ,四边形ODME是矩形.题型六：自变量取值范围问题例10 :如图，在平面直角坐标系 xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点 A . C. D均在坐标轴上，且4AB=5 , sinB=(1 )求过A . C . D三点的抛物线的解析式；(2) 记直线AB的解析式为yi=mx+n , (1)中抛物线的解析式为 y2=ax2+bx+c，求当yi y时, 自变量x的取值范围；(3) 设直线AB与(1 )中抛物线的另一个交点为E, P点为抛物线上 A . E两

25、点之间的一个动点，的AE积最大并求出面积的最大值.当P点在何处时，解析：(1 )四边形ABCD是菱形，4 AB=AD=CD=BC=5 , sinB=sinD=Rt OCD中 OC=CDsinD=4, OD=3 ;OA=AD - OD=2 ，即：A (- 2 , 0 )、B (- 5, 4 )、C (0, 4 )、D (3, 0); 设抛物线的解析式为：y=a (x+2 ) (x - 3),得：22 x( - 3) a=4 , a=抛物线：y=-二x2+ .33(2 )由 A (- 2, 0 )、B (- 5 , 4)得直线 AB : y1=-1上x2 + -：x+4，则:2 2 2解得：71=01 1由(1)得：y2=-43玄2 =5_ 22 y11_；lx+可得点p (寺由(2)得：E ( 5 ,警，则直线PE： y=-11x+9 ;49；Sa pa=S pa+S ae= 乂2 11,0), AF=OA+OF=综上所述，当P (-,题型七：二次函数实际应用问题时，PAE面积最大，为=+丄)=3 2343IT34312试销过程中发现-2X+100 .(利润=售价-制造每月销售量y例11 :