二次三项式地因式分解

1、一元二次方程的应用(一)二次三项式的因式分解教学设计说明上海民办兰生复旦中学朱斌一、内容与内容解析本节课是上海教育出版社九年义务教育课本数学八年级第一学期17.4( 1)的内容.是一元二次方程的应用第一节课， 内容是使用解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根，在实数 范围内来对二次三项式 ax2+bx+c( 0)因式分解.本课程是对七年级学习的因式分解的再思考，七年级第一学期的整式中，学生已经学习了在有理数范围内的因式分解， 特别地，对二次三项式ax2+bx+c(a 0), 一般使用十字相乘 法进行分解.在七年级第二学期实数一章，经历了从有理数到实数的数系拓展，但并没有解决二次三项式

2、ax2+bx+c( a 0)在实数范围内的因式分解问题：(1) 二次三项式ax2+bx+c(a* 0)在实数范围内能否分解？判据是什么？为什么？(2) 如果可以在实数范围内分解，如何分解？2(3) 常数a, b, c满足什么条件时，二次三项式ax+bx+c(az0)可以在有理数范围内分解？在八年级系统学习一元二次方程之后，具有对其进行研究的基础.通过从特殊到一般的探究过程，使用学生比较熟悉的配方法作为手段，由浅入深地研究二次三项式的因式分解， 最终掌握通过解与二次三项式ax2+bx+c( a* 0)相联系的一元二次方程对二次三项式ax2+bx+c(az0)进行因式分解的方法同时，学生可以从无到

3、有地对问题(1)、(2)进行研究，给有余力的同学提供思考问题(3)的基础，有利于学生以发展的眼光来认识数学.教材中，一元二次方程的公式法就是通过配方法推导的，这节课通过配方法引入，更好地帮助学生理解二次三项式的因式分解和一元二次方程求解之间的联系.同时，也为高中的进一步的数系扩充做准备，帮助学生在将来学习复数后，能够更加自然地想到如何处理复数范围内的二次三项式因式分解.建立二次三项式 ax2+bx+c( a* 0)和一2元二次方程ax +bx+c=0之间完整的对应关系.鉴于此，本课时的教学重点为：1、理解关于x的二次三项式ax2+bx+c( a* 0)能否在实数范围内进行因式分解的判据.2、掌

4、握对于b2-4 ac 0的二次三项式 ax2+bx+c(a* 0)在实数范围内因式分解的方法.二、目标与目标解析 教学目标1. 知道二次三项式的分解与一元二次方程的解的联系，会判断二次三项式在实数范围 内是否可以因式分解，并能在实数范围内通过解一元二次方程对二次三项式进行分解.2经历分析、存疑、解释、归纳、释义、总结等过程，体会从特殊到一般的数学思维 策略，感受从存疑到寻求解释的数学思辨形式，提高归纳、抽象概括的能力与代数式变形能力；在解题中体会化归的数学思想.3在不断深入、层层递进的分析中，激发学习数学的兴趣，增强探究和钻研精神；在 理解方程求根和代数式变形关系的过程中，体会数学内部之间的内

5、在联系.三、教学问题诊断分析1.面对学生差异，重视因材施教授课的对象为上海民办兰生复旦中学八年级的学生，学生总体水平较高，理解能力和运算能力都比较强.同时，有部分同学在课余已经提前学习过该内容，知道通过解方程ax2+bx+c=0(0)可以对ax2+bx+c( a工0)进行因式分解.但是只是机械运用，并不能真正理解方程求根和多项 式因式分解之间的内在联系.因此，本节课的核心任务有两个：(1) 帮助学生掌握如何通过求解方程ax2+bx+c=0( a 0)的解来对多项式 ax2+bx+c( a* 0)进 行因式分解.(2) 揭示方程ax2+bx+c=0( a* 0)和多项式ax2+bx+c(a* 0

6、)因式分解的关系.因此，本课时通过具体的问题引入，使用了和课本不同的方法来引导学生学习.课本中使用了观察、归纳的方法切入，直接归纳出二次三项式因式分解的公式.然后，通过多项式展开和求根公式来进行证明.面对授课学生的情况和需求，本课时着重于帮助他们利用已有的知识，自行探索二次三项式因式分解方法，并通过具体问题加以验证.本节课中所用的方法，仿照一元二次求根公式的配方法，对二次三项式ax2+bx+c( a* 0)进行配方，通过配方成平方差(或平方和)的形式来处理在此基础上直接发现二次三项式 因式分解的公式，并找到其与一元二次方程求根公式之间的联系.让学生对这节课的知识点有更深入的理解和感受.2唤醒相

7、关旧知，铺设配方通途对于八年级的学生，只有配方法是最容易想到的对二次三项式进行因式分解的合理方法但是，难点在于帮助他们自然地想到使用配方的手段来处理.因此，在教学内容的引入部分，给出两个简单的因式分解问题，x2 -4,x2 -3，帮助学生意识到，可以使用平方差的方法解决上述形式的二次二项式.2对于一般的二次三项式 ax +bx+c(a* 0),则可以通过配方转化为上述的二次二项式的形 式.练习题的前三个是变式训练：(1) x -2x (x -1)2 ； (2) x2 -2x-3 =(x T)(x-3)两题回顾七年级的做法，并帮助 学生注意到他们之间的关系.x2 -2x-4无法直接用过去的因式分

8、解方法解决，此处学生若无法主动得出结论，引导学生关注(1)(2)(3)小题的联系，即: x2-2x-3 = (x-1)2-4 , x22x-4 = (x-1)2-5 .3. 运用配方方法，得出初步结论学生运用配方方法，应该能够很好地处理问题(3),x2 _2x _4 二(x T)2 _5 二(x T _5)(x T . 5)然后抛出问题(4)，研究X2 -2x 4的因式分解这个问题，对学生是一个重大难点，处理方式可能会有多种不同的方法.经过尝试后，应该会得出无法因式分解的结论但是可能会有以下几种情况，视具体情形来进行处理.(1) 学生知道结论，但是无法说清楚理由，又分成以下几种情形：a) 无法

9、清晰讲出原因；2 2b) 应用配方：x -2x (x 1)3得到平方和，所以无法分解；c) 过去提前学过，知道其与方程x2-2x+4=0是否有实根有关，但是不知道原因.对于情况b)的学生，应该让其知晓，不能使用之前的配方法因式分解，并不代表无法 因式分解.对于情况c)的学生，首先肯定他的结果，并且可以告诉学生这是今天要学习的内容， 并且告诉他们应该要理解每一个数学定理的来龙去脉.2此时，可以提醒学生，将问题化归为x3的因式分解研究，利用待定系数法，不考虑二次项系数，x2 3一定分解为x23 =(x-m)(x- n)，其中m和 n为常数，于是，将得a +b = 02到：，即a2=-3，不存在实数

10、a,因此无法因式分解同时也代表一切化为平方Jab = 3和形式的二次三项式都无法在实数范围内因式分解.(2) 学生能够解释原因因为部分学生能力较强， 完全有可能有学生能够解释原因.应该都是想到使用待定系数2m 十 n = 2法研究，x -2x 4 =(x-m)(x -n)=，有以下几种可能：.mn = 4一 2 2 2a) 通过代数式运算(比如：m +n =4c0,(m n) =12c0等)，得到矛盾.b) 利用特殊值法，若取 x=m则ni-2 n+4=0，不存在这样的实数 mc) 直接应用韦达定理，得到 m和n为方程x2 -2x 4 = 0的两根，得到矛盾.对于使用韦达定理的同学，应当予以鼓

11、励，但是必须指出，其他同学可能还不清楚什么是韦达定理，应尽可能用学过的知识来进行思考.对于使用a), b)方法说明的同学，应当给予肯定，但是之后应当继续引导学生思考，怎 样发现x2-2x+4不可以在实数范围内因式分解，有什么判别方法最终回到配方法，来进行 说明.并让学生总结，得出初步结论：(1) 如果可以通过配方转化为平方差的形式，则可以在实数范围内因式分解；(2) 如果通过配方转为成为平方和的形式，则不可以在实数范围内因式分解.4. 特殊走向一般，归纳最终结论学生可能会遇到的错并由老师最终板演, a除掉.让学生意识让学生使用配方法研究：ax2+bx+c(a 0)的因式分解.因为之前很少遇到全

12、为字母的形式，而且牵涉到比较复杂的讨论，误有以下几种，应用实物投影仪，进行展示，指出这些容易出错的地方, 让学生进行归纳：2 1 丄1 b 2 b2 -4ac(1) ax bx (x )2 ，学生直接将二次项系数a 4a到，对于方程，可以利用等式性质作上述处理，但是多项式不能做上述操作.2axbx c = ( . axZa)2b2 -4ac4a，学生默认a是正数，并且直接将a写成b 、b2 - 4ac(：a)2，应当指出这种错误，并且说明为了减少讨论和运算难度，应该将字母a提出来. ax2 bx c (x B)2a(x2a 4a2a，这种错误是不对 b2 -4ac的正负进行讨论，直接开平方.(

13、4) 其他运算错误.老师应指出以上错误，帮助学生理解代数式变形中的等价性.在得到正确的结果后， 由学生进行总结，并思考和已经学过的什么知识有联系.引导学生发现其与方程:2ax bx 0 (a0)之间的联系，并能用2ax bx c = 0(a0)的求b2-4 ac 0的情况，对于给出根来进行二次三项式：ax2 bx c (a 0)的因式分解.学生应该能发现方程和多项式因式分解之间有关系，但是b 2ax bx c = a( x )2a“=a(x - S(x b4a2a2a最终结论可能有一定的难度.教师应写出来，帮助学生进行比较:2ax bx 0的两个实数根：-b + Jb2-4ac-b-Jb2-4

14、ac%1 一2a2 一2a；(x严)(2a巾一 b 便)=a(x-xi)(x-x2)，以得到最终结果. 2a鉴于以上，本课时内容的教学难点如下：1、 通过配方法研究多项式ax2+bx+c如何在实数范围内进行因式分解.2、 通过对于ax2+bx+c的因式分解，发现其与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系.四、教学支持条件分析本课时内容主要以老师黑板板演和学生解答展示为主.通过师生之间的对话，关注怎么做？为什么？层层推进. 借助不同的问题，不断深入研究，从特殊到一般， 加深学生对该知 识点的理解.(1) 黑板 用以老师的推导过程和结论的展示，左半边黑板在使用投影仪的时候会被 遮住，主要进行一些解

15、题过程的展示，右边黑板进行主要结论的推导和提纲性的说明.(2) 实物投影仪 用以学生的解答展示，提供典型错误和正确做法，帮助学生更好理(3) 投影仪 将总结内容做成 PPT进行投影，加深学生对于所学知识的印象.教师活动学生活动与预设设计意图一、复习引入1因式分解的意义回顾：什么是因式分解？2、习题引入2(1) x -42(2) x-3如何因式分解？3、引出本节课研究内容： 形如 ax +bx+c( a 0)的二 次三项式在实数范围内的因式分解回顾因式分解的意义将一个多项式化为几个整式的 积的形式.学生口答：2x -4=( x-2)( x+2)x2 _3=(x_V3)(x + V3)唤醒学生对于

16、因式分解的记 忆，并为之后的研究作铺垫.回顾因式分解的基本方法一 公式法(平方差) 并通过这两个习题了解实数 范围内的因式分解.为接下来研究的配方法结合 平方差公式作预备.同时指出，x -3在有理数范围内不能分解因式，在实数范 围内才能分解因式.二、学习新知1、练习：尝试将以下多项 式分解因式2(1) X-2X+12(2) x -2 x-3(3) x2-2 x-4上面的三个二次三项式都 能在实数范围内分解因 式，那么是否所有的二次 三项式都能分解因式呢？学生在练习纸上完成，老师巡视 后通过实物投影仪展示.2 2(1) x -2x+仁(x+1)2(2) x -2 x-3=( x-3)( x+1)

17、(3) x2 _2x_4 = (x_1)2 _5 =(x _1 _ V5)(x _1+V5)22 x -2 x+4 = ( x-1) +3 所以无 法分解.学生回答：无法分解.因为该式无法转化为 平方差的形式.教师应引导学生意识到使用平其中(1) (2)为了帮助学生 唤醒对于过去学习因式分解 的常见方法.弓1导他们认识到过去的方法 并非对于一切二次三项式都 能直接应用.为学生第(3)题能够想到通 过配方并运用平方差公式解 决作铺垫.第(3)题用过去学习的四种 方法无法解决，但是通过配方 法，结合运用平方差公式即 可帮助学生在课后体会因式 分解和一兀次方程求根之 间的关系.帮助学生理解因式分解的

18、本 质，知道多项式分解的形 式.并利用多项式的意义，得f通过配方法熟悉广从特殊到一般U得到通过一元二、(通过具体习题加以巩固，、具体二次三项式研究二次三项式T次方程求解实数_k并研究特殊的形如在实数范围内的ax2+bx+c (a 丰范围内分解二次)ax2+bxy+cy 2 的二元二L因式分解方法T0)的因式分解F三项式的方法 0 时，原式=a(x 也亠)(x日)2a2a 当b2-4 ac0时，原式无法在 实数范围内因式分解.常见错误(1) 分不清楚多项式和方程的 区别，应将二次项系数提出 来，而不是直接除掉.(2) 默认a为正数，未考虑a0 的情形.另外将 a放到平方 中，增加了运算难度.(3

19、) 不讨论b2-4ac的正负，直 接用平方差展开.对于前述的 结论没有真正理解.通过错误解答的展示，帮助同 学回顾配方的过程，认识配方 解题的关键，加强整式变形的 能力.4、比较归纳 请学生回答问题.将以上结果和已经学过的 知识进行比较，观察 2ax +bx+c(a丰0)的因式分 解和什么有关.将两者进行比较、联系和 归纳，并介绍自己的结果.5、巩固新知使用上述结论，对前述的 四个练习题进行验证. 由老师进行引导，学生口 答.学生回答：和一兀二次方程ax +bx+c=0( a丰0)有关.(1) 如果 ax+bx+c=O(a 0)没 有实数根，ax +bx+c( a* 0)无法 在实数范围内因式

20、分解；2(2) 如果 ax +bx+c=0(a* 0)有 两个实数根xi和X2，则:2ax +bx+c = a( x- xi)( x- X2)学生分别研究方程：2x -2x+仁02x -2x-3=0x2-2x-4=0x2-2x+4=0的解的情况，并利用 上述结论直接得出多项式因式 分解的结论.2通过对 ax +bx+c(a* 0)进行 因式分解，观察到其能否分解 的关键在于 b -4ac，以及分 解式中的常数和2ax +bx+c=0( a * 0)的两根非 常相近，得出上述结论.关注学生的数学直觉和学生 对于代数式的变形能力.通过具体问题的操练，帮助学 生熟悉通过一元二次方程分解二次三项式的方

21、法.二、运用新知例题：应用解一兀一次方 程的方法分解因式2(1) x +x-32(2) 2 x-3 x-1完成上述二次三项式的因 式分解，并找到两位同学 进行板演.2(1) 设 x +x-3=0，则:x1 ,x2 2 2原式=(x_仆用)(x_ 1届) 2 2(2) 设 2x-3x-1=0 ,则:3+7173-后x1 _, x2 _44原式=23+后)3一后)44通过例题的练习，帮助学生巩 固使用通过一元二次方程对 二次三项式因式分解的方法.关注公式中的二次项系数和XX1 与 X X2 .四、拓展延伸对含有两个字母的二次三 项式进行因式分解2 2(1) x +xy-3 y2 2(2) 2 x-

22、3 xy-y请同学思考，口述，老师 完成该题的解答.将x看作主元，将y看作字母系 数来处理.2 2(1) 设 x+yx-3y =0,则：-y +A7y-yyX1 ,x2 -2 2原式=&一八：7)2 22 2(2) 设 2x -3 yx- y =0,则：3y + 扁y3y -V17yX1 ,X2 44原式二？3出込)(x-也)442 2对于形如： ax +bxy+cy (ac *0)的二次三项式，通过将字母 y看作系数，将上式转化为已 经解决的 ax2+bx+c( a* 0)形 式的问题.通过该习题，培养学生的化归 能力，能够将新问题转化为已 经解决的旧问题进行研究.此时，判别式b y -4

23、acy在开 平方后，可以化为关于y的单 项式，原式就可以进行因式分 解了.五、课堂总结 再次对今天的学习内容进 行总结.(1) 从具体问题入手，经 历从特殊到一般的研究过 程；(2) 使用配方结合平方 差的方法，对二次三项式 ax2+bx+c( a丰0)在实数范 围内的因式分解进行了研 究.(3) 学会通过解对应一 元二次方程的方法对二次 三项式进行因式分解的方 法.教师强调：今后，因式分 解的范围就从有理数范围 扩充到实数范围.学生交流与讨论通过课堂总结，帮助学生了解(1) 学习内容：使用解一元 二次方程的方法对二次三项 式因式分解.(2) 研究手段：通过配方法 结合平方差公式进行研究.(3

24、) 研究途径：通过从特殊 到一般、从具体到抽象的途径 来进行研究.希望能够帮助学生更好地记 忆和理解本节课的知识点和 数学方法.作业布置1、数学练习册，17.42、校本练习册，17.4六、目标检测设计对于本课时的教学目标的检测，主要都放在教学的过程中穿插进行.本节课中，学生共要笔算三次问题，分别是：练习题：用已经学过的方法，对下列二次三项式进行因式分解. 研究：使用配方法，研究二次三项式ax2+bx+c(a 0)的因式分解.例题：使用解一元二次方程的方法，完成下列因式分解的问题.1练习题(1) x2-2x+1(2) x2-2 x-3(3) x2-2x-4(4) x2-2 x+4先给出练习题(1) (2) (3),再巡视和展示完成后，再给出习题(4)继续研究.练习题